微積分II演習(第9回)

[場所1E103（金曜日5限）]

配布プリント

HPに行く．

今日は、

• 積分計算

に入りました．積分は、重積分が主ですが、それを累次積分に直して計算します．

長方形領域

$D=[a,b]\times[c,d]$ 上の積分は、
$$\int\int_Df(x,y)dxdy=\int_a^b\left(\int_c^df(x,y)dx\right)dy$$
となおして計算します．


積分の変数変換ですが、
求めたい積分の領域に移るような、求めやすい領域からの写像を考えてください．
つまり、
$$\varphi:D\to \varphi(D)\subset {\mathbb R}^2$$
求める積分の領域 $\varphi(D)$ に写ってくるように、$D$ と$\varphi$
を構成すればよい．
そうすると、積分 $\int\int_{\varphi(D)}f(x,y)dxdy$ は
$\int\int_Df(x(u,v),y(u,v))|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}|dudv$
として計算できます．

三角形領域

原点と $(a,0),(0,b)$ を頂点とする三角形で囲まれる領域 $D$ とすると、
斜辺の方程式は、$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ なので、
$$\int\int_Df(x,y)dxdy=\int_0^b(\int_0^{(1-\frac{y}{b})a}f(x,y)dx)dy$$
のように累次積分に帰着されます．

一般に $(a,b),(c,d),(e,f)$ を頂点とする3角形領域を $D$ とすると、
$$(x,y)\mapsto ((c-a)x+(e-a)y+a,(d-b)x+(f-b)y+b)$$
なる変換により、$(0,0),(1,0),(0,1)$ がそれぞれ、$(a,b),(c,d),(e,f)$ となるような変形が作られます．
このような、原点が原点に移るとは限らない一次式による変換をアフィン変換といいます．

また、アフィン変換により直線は直線にうつり、三角形は三角形に写ります．
よって、平面上のどんな三角形もこの変換により、$(0,0),(1,0),(0,1)$ を頂点とする三角形に写ります．

この変換のヤコビアンを計算すると、
$$\det\begin{pmatrix}c-a&e-a\\d-b&f-b\end{pmatrix}=(c-a)(f-b)-(e-a)(d-b)=cf-ed-af+ad-cb+eb=:\Delta$$
となり、積分は
$$\int\int_Df(x,y)dxdy=\Delta\times\int_0^1(\int_0^yf((c-a)x+(e-a)y+a,(d-b)x+(f-b)y+b)dx)dy$$
となります．


円盤領域
円盤領域の場合、ほとんどの場合、極座標表示により求めます．
$D=\{(x,y)|x^2+y^2\le r^2\}$ であるとすると、
$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ とする．
$$\frac{\partial (x,y)}{\partial(r,\theta)}=\det\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-r\sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}=r$$
が求まり、積分計算は、
$$\int\int_Df(x,y)dxdy=\int_0^r\int_0^{2\pi}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta$$
となります．

円盤の中心がずれているがずれている場合は平行移動します．（宿題C-9-1）
また、楕円の場合は、$(x/a)^2+(y/b)^2=1$ のとき、
$$(x,y)\to (ax,by)$$
 なるアフィン変換で半径 1 の円盤に帰着させます．
ヤコビアンは $ab$ です．

平行四辺形領域
$D=\{(x,y)||x-2y+1|\le 1,|x+2y-1|\le 3|\}$
は平行四辺形の領域になります．
$x/2\le y \le x/2+1$
かつ、
$-x/2-1\le y\le -x/2+2$
が成り立ちます．

この平行四辺形の内部で積分します．

平行四辺形をゆがんだ正方形として考えれば、アフィン変換で、$[0,1]\times[0,1]$ に持っていくことができます．



原点を $(-2,0)$ に、 $(1,0)$ を $(-1,-1/2)$ に、$(0,1)$ を $(1,3/2)$ に持っていきます．

このとき、変換は、$(x,y)\mapsto(-2,0)+x((-1,-1/2)-(-2,0))+y((1,3/2)-(-2,0))=(-2+x+3y,-x/2+3y/2)$

ヤコビアンは $\det\begin{pmatrix}1&3\\-1/2&3/2\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\det\begin{pmatrix}1&3\\-1&3\end{pmatrix}=3$

このヤコビアンは上の平行四辺形領域の面積に相当します．

よって、積分は、

$$\int\int_Df(x,y)dxdy=3\int_0^1(\int_0^1f(-2+x+3y,-x/2+3y/2)dx)dy$$

となります．

宿題は $x^2+xy+y^2=1$ となる傾いた楕円についての積分でしたが

原点を中心とした $\theta$ 回転は

$$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$

なる線形変換となります． 

回転は面積を変えませんから、ヤコビアンは1です．