線形代数II演習(第8回)

[場所1E103（水曜日4限）]

配布プリント

HPに行く．

今日は、全員の発表を行いました．
ほとんどが自明にできるような問題ばかりでしたが、２問ほど若干思考力のいる
問題が含まれていました．

残った２問は次回解いてください．


最後に、大急ぎで表現行列のところを行いました．
表現行列のことに関しては、去年のページがあります．
そちらを読んでもらうことにして、ブログ上の解説はさぼろうと思います．

授業では配布プリントはありませんでしたが、返したレポートの
答えを後で作って今回の８回のプリントとしました．上の配布プリントから取ってください．


ちなみに、今回の講義の方では、本年度の京大の特色入試（コインの問題）を扱ったようですね．
入試問題を見てみましたが、いかにも京大の問題という感じですね．

授業ではそれを線形代数を使って解くということをやったようで．
大学の数学を使えば、そのような解答ができますね．
高校生として解くにはやはり、パターンを詳しく解析したらよいのでしょうか．


n元体

大学生っぽく簡潔に解くためには2元体 ${\mathbb F}_2$ を扱う必要があります．
一般に素数 $n$ に対して、${\mathbb F}_n$ という体を定義することができます．
${\mathbb F}_n$ は、PSL(2,7) の記事（←）にも書きました．

$\{0,1,2,\cdots,n-1\}$ なる $n$ 個からなる元からできており、和と積はその足し算、掛算であって、もしその答えが $n$ 以上になったら、その余りをとるという約束で定義されています．
$n$ が素数という条件により、実は、$0$ 以外の元で割ることもできます．
そのような、加減乗除が入った $n$ 個の数を ${\mathbb F}_n$ とし $n$ 元体といいます．

まとめれば、$n$ が素数であれば、${\mathbb F}_n$ は体になるわけです．

${\mathbb F}_2$ は、$\{0,1\}$ からなる体で、和は

+|0|1

0|0|1

1|1|0

となり、積は

x|0|1

0|0|0

1|0|1

となります．

問題はこの${\mathbb F}_2$ を基礎体とした $n$ 次元ベクトル空間 ${\mathbb F}_2^n$

での話になります．コインの裏を $0$ とし、表を $1$ として考えていけばよいわけですね．

こうしたわくぐみにしてしまえば問題は全く線形代数の問題となります．

最後の問題は全ての ${\mathbb F}_2^n$ の元が $(1,1,1,0,0)$ などの並んだベクトルだけで

生成するかという問題になります．

詳しいところは講義の方でやったと思うのでここでは省略します．