[場所1E103（月曜日4限）]
HPに行く．
問題69
$(X,{\frak T}_X)$, $(Y,{\frak T}_Y)$を位相空間とする．写像$(X,{\frak T}_X)\to (Y,{\frak T}_Y)$がある．次の条件は同値であることを示せ．
(1) $f$は$(X,{\frak T}_X)$から$(Y,{\frak T}_Y)$への連続写像である．
(2) $Y$の任意の開集合$H$に対して$f^{-1}(H)$が$X$の開集合である．
(3) $Y$の任意の閉集合$K$に対して$f^{-1}(K)$が$X$の閉集合である．
(略解答)
(1) から (2) $f$ が連続であるとは、任意の $x\in X$ と任意の $f(x)$ の任意の近傍 $U$ において、ある $x$ の近傍 $V$ が存在して、$f(V)\subset U$ となること．
これは、(2) を意味している．なぜか？
(2) から (3) 補集合をとって考えよ．
(3) から (1) 任意の $f(x)$ とその近傍 $V$ において、$V$ に含まれる $f(x)$ の開近傍をとって(3)の条件を使うことで、$x$ に開近傍で、$V$ に写されるものが取れる．
問題70
$(X,{\frak T}_X)$, $(Y,{\frak T}_Y)$ を位相空間とする．
写像 $(X,{\frak T}_X)\to (Y,{\frak T}_Y)$ がある．
次の条件は同値であることを示せ．
(1) $f$ は $(X,{\frak T}_X)$ から $(Y,{\frak T}_Y)$ への連続写像である．
(2) $A\subset X$ に対し、$f(\text{Cl} A)\subset \text{Cl}f(A)$ ここで、Clはそれぞれの位相空間における閉包である．
(3) $Y$ の一つの開基 $\beta$ に関する各開集合 $W$ に対し、$f^{-1}(W)$ は $X$ の開集合である．
(略解答)
(1) から (2) ：$y$ が $f(A)$ の閉包であることは、任意の $y$ の近傍 $V$ に対して、$V\cap f(A)\neq \emptyset$ であることを言えばよい．
(1) と (3) の同値性： 開基の性質（全ての開集合は開基に含まれる開集合の幾つかの和集合である）を使えば自明にできる．
(2) から 問題70の(3) ：$y\in V$ を閉近傍とし、$f^{-1}(V)=:A$ が閉集合であることを示す．つまり $\text{Cl}(A)=A$ を示せばよい．
（注）
配ったプリントでは、(2) の条件が $A\subset Y$ となっていましたが、正しくは、$A\subset X$ ですのでご注意 を．
問題71
$\beta$ を位相空間 $(X,{\frak T})$ の開基とする．
$\beta\cap Y=\{B\cap Y|B\in \beta\}$ は部分空間 $(Y,{\frak T}\cap Y)$ の開基となることを示せ．
(ヒント)
開基の定義と部分空間の位相の定義を思い出せ．
問題76
(引用：$X$ を位相空間 $A\subset X$ とし、$G$ は $X$ の開集合であるとする．
このとき、$\text{Cl}(A\cap G)\supset \text{Cl}(A)\cap G$ が成り立つことを示せ．
特に、 $A\cap G =\emptyset\Rightarrow \text{Cl}(A)\cap G=\emptyset $
を示せ．）
は $G$ が開集合でないと成り立たない．そのような例を挙げよ．
(略解答)
$A$ として開集合で、その集積点が $G$ に含まれるようにすればよい．
問題77
$X$を集合とする．$X$ の各部分集合 $A$ に対し $X$ の部分集合 $u(A)$ を対応させる写像$u:\rho(X)\to \rho(X)$（$\rho(X)$ は $X$ のべき集合）があって
$A,B$ を $X$ の任意の部分集合とするとき、次の４条件を満たすものとする．
(i) $A\subset u(A)$
(ii) $u(u(A))=u(A)$
(iii) $u(A\cup B)=u(A)\cup u(B)$
(iv) $u(\emptyset)=\emptyset$
このとき、${\frak T}=\{X-A|A\in\rho(X),u(A)=A\}$ は $X$ の一つの位相となり、この位相空間 $(X,{\frak T})$ における閉包 $\text{Cl}(A)$ は $u(A)$ と一致する．
(略解答)
${\frak T}$ が位相となることを示せ．
$B$ が $A$ の閉包であるとは、任意の $x\in B$ と任意の近傍 $U$ に対して、$U\cap A\neq \emptyset$ となること．$x\in u(A)$ となる任意の $x$ に対して、ある $x$ の開集合 $U$ が存在して、$U\cap A=\emptyset$ であるとすると矛盾することを示す．
$U$ は開集合なので、この補空間をとると、$u(B)=B$ となる閉集合となる．
いま、$x\not\in B$ なので、$x$ は $A^c$ に入ることになって矛盾．
（注）問題文で、${\frak T}$ の定義に $u(A)=A$ であることが抜けていました．
修正したプリントはホームページの方にアップしました．
問題78
位相空間 $(X,{\frak T})$が近傍系 ${\mathcal U}=\{{\mathcal U}(x)|x\in X\}$ によって
定められている場合、 $y\in Y$ に対して、
$${\mathcal U}(y)\cap Y=\{U\cap Y|U\in {\mathcal U}(y)\}$$
とおけば、$\mathcal{V}=\{\mathcal{U}(y)\cap Y|y\in Y\}$ は $Y$ の近傍系となり、この近傍の
定める $Y$ の位相は ${\frak T}$ によって定められる $Y$ 上の相対位相と一致することを示せ．
（ヒント）
これが $Y$ の近傍系であることはすぐに確かめられる．また、相対位相は、任意の $Y$ の開集合 $V$ は、$X$ の開集合 $U$ を使って、$V=U\cap Y$ とかけることを使う．
HPに行く．
問題69
$(X,{\frak T}_X)$, $(Y,{\frak T}_Y)$を位相空間とする．写像$(X,{\frak T}_X)\to (Y,{\frak T}_Y)$がある．次の条件は同値であることを示せ．
(1) $f$は$(X,{\frak T}_X)$から$(Y,{\frak T}_Y)$への連続写像である．
(2) $Y$の任意の開集合$H$に対して$f^{-1}(H)$が$X$の開集合である．
(3) $Y$の任意の閉集合$K$に対して$f^{-1}(K)$が$X$の閉集合である．
(略解答)
(1) から (2) $f$ が連続であるとは、任意の $x\in X$ と任意の $f(x)$ の任意の近傍 $U$ において、ある $x$ の近傍 $V$ が存在して、$f(V)\subset U$ となること．
これは、(2) を意味している．なぜか？
(2) から (3) 補集合をとって考えよ．
(3) から (1) 任意の $f(x)$ とその近傍 $V$ において、$V$ に含まれる $f(x)$ の開近傍をとって(3)の条件を使うことで、$x$ に開近傍で、$V$ に写されるものが取れる．
問題70
$(X,{\frak T}_X)$, $(Y,{\frak T}_Y)$ を位相空間とする．
写像 $(X,{\frak T}_X)\to (Y,{\frak T}_Y)$ がある．
次の条件は同値であることを示せ．
(1) $f$ は $(X,{\frak T}_X)$ から $(Y,{\frak T}_Y)$ への連続写像である．
(2) $A\subset X$ に対し、$f(\text{Cl} A)\subset \text{Cl}f(A)$ ここで、Clはそれぞれの位相空間における閉包である．
(3) $Y$ の一つの開基 $\beta$ に関する各開集合 $W$ に対し、$f^{-1}(W)$ は $X$ の開集合である．
(略解答)
(1) から (2) ：$y$ が $f(A)$ の閉包であることは、任意の $y$ の近傍 $V$ に対して、$V\cap f(A)\neq \emptyset$ であることを言えばよい．
(1) と (3) の同値性： 開基の性質（全ての開集合は開基に含まれる開集合の幾つかの和集合である）を使えば自明にできる．
(2) から 問題70の(3) ：$y\in V$ を閉近傍とし、$f^{-1}(V)=:A$ が閉集合であることを示す．つまり $\text{Cl}(A)=A$ を示せばよい．
（注）
配ったプリントでは、(2) の条件が $A\subset Y$ となっていましたが、正しくは、$A\subset X$ ですのでご注意 を．
問題71
$\beta$ を位相空間 $(X,{\frak T})$ の開基とする．
$\beta\cap Y=\{B\cap Y|B\in \beta\}$ は部分空間 $(Y,{\frak T}\cap Y)$ の開基となることを示せ．
(ヒント)
開基の定義と部分空間の位相の定義を思い出せ．
問題76
(引用：$X$ を位相空間 $A\subset X$ とし、$G$ は $X$ の開集合であるとする．
このとき、$\text{Cl}(A\cap G)\supset \text{Cl}(A)\cap G$ が成り立つことを示せ．
特に、 $A\cap G =\emptyset\Rightarrow \text{Cl}(A)\cap G=\emptyset $
を示せ．）
は $G$ が開集合でないと成り立たない．そのような例を挙げよ．
$A$ として開集合で、その集積点が $G$ に含まれるようにすればよい．
問題77
$X$を集合とする．$X$ の各部分集合 $A$ に対し $X$ の部分集合 $u(A)$ を対応させる写像$u:\rho(X)\to \rho(X)$（$\rho(X)$ は $X$ のべき集合）があって
$A,B$ を $X$ の任意の部分集合とするとき、次の４条件を満たすものとする．
(i) $A\subset u(A)$
(ii) $u(u(A))=u(A)$
(iii) $u(A\cup B)=u(A)\cup u(B)$
(iv) $u(\emptyset)=\emptyset$
このとき、${\frak T}=\{X-A|A\in\rho(X),u(A)=A\}$ は $X$ の一つの位相となり、この位相空間 $(X,{\frak T})$ における閉包 $\text{Cl}(A)$ は $u(A)$ と一致する．
(略解答)
${\frak T}$ が位相となることを示せ．
$B$ が $A$ の閉包であるとは、任意の $x\in B$ と任意の近傍 $U$ に対して、$U\cap A\neq \emptyset$ となること．$x\in u(A)$ となる任意の $x$ に対して、ある $x$ の開集合 $U$ が存在して、$U\cap A=\emptyset$ であるとすると矛盾することを示す．
$U$ は開集合なので、この補空間をとると、$u(B)=B$ となる閉集合となる．
いま、$x\not\in B$ なので、$x$ は $A^c$ に入ることになって矛盾．
（注）問題文で、${\frak T}$ の定義に $u(A)=A$ であることが抜けていました．
修正したプリントはホームページの方にアップしました．
問題78
位相空間 $(X,{\frak T})$が近傍系 ${\mathcal U}=\{{\mathcal U}(x)|x\in X\}$ によって
定められている場合、 $y\in Y$ に対して、
$${\mathcal U}(y)\cap Y=\{U\cap Y|U\in {\mathcal U}(y)\}$$
とおけば、$\mathcal{V}=\{\mathcal{U}(y)\cap Y|y\in Y\}$ は $Y$ の近傍系となり、この近傍の
定める $Y$ の位相は ${\frak T}$ によって定められる $Y$ 上の相対位相と一致することを示せ．
（ヒント）
これが $Y$ の近傍系であることはすぐに確かめられる．また、相対位相は、任意の $Y$ の開集合 $V$ は、$X$ の開集合 $U$ を使って、$V=U\cap Y$ とかけることを使う．
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