[場所1E103(月曜日4限)]
HPに行く.
問題69
(X,{\frak T}_X), (Y,{\frak T}_Y)を位相空間とする.写像(X,{\frak T}_X)\to (Y,{\frak T}_Y)がある.次の条件は同値であることを示せ.
(1) fは(X,{\frak T}_X)から(Y,{\frak T}_Y)への連続写像である.
(2) Yの任意の開集合Hに対してf^{-1}(H)がXの開集合である.
(3) Yの任意の閉集合Kに対してf^{-1}(K)がXの閉集合である.
(略解答)
(1) から (2) f が連続であるとは、任意の x\in X と任意の f(x) の任意の近傍 U において、ある x の近傍 V が存在して、f(V)\subset U となること.
これは、(2) を意味している.なぜか?
(2) から (3) 補集合をとって考えよ.
(3) から (1) 任意の f(x) とその近傍 V において、V に含まれる f(x) の開近傍をとって(3)の条件を使うことで、x に開近傍で、V に写されるものが取れる.
問題70
(X,{\frak T}_X), (Y,{\frak T}_Y) を位相空間とする.
写像 (X,{\frak T}_X)\to (Y,{\frak T}_Y) がある.
次の条件は同値であることを示せ.
(1) f は (X,{\frak T}_X) から (Y,{\frak T}_Y) への連続写像である.
(2) A\subset X に対し、f(\text{Cl} A)\subset \text{Cl}f(A) ここで、Clはそれぞれの位相空間における閉包である.
(3) Y の一つの開基 \beta に関する各開集合 W に対し、f^{-1}(W) は X の開集合である.
(略解答)
(1) から (2) :y が f(A) の閉包であることは、任意の y の近傍 V に対して、V\cap f(A)\neq \emptyset であることを言えばよい.
(1) と (3) の同値性: 開基の性質(全ての開集合は開基に含まれる開集合の幾つかの和集合である)を使えば自明にできる.
(2) から 問題70の(3) :y\in V を閉近傍とし、f^{-1}(V)=:A が閉集合であることを示す.つまり \text{Cl}(A)=A を示せばよい.
(注)
配ったプリントでは、(2) の条件が A\subset Y となっていましたが、正しくは、A\subset X ですのでご注意 を.
問題71
\beta を位相空間 (X,{\frak T}) の開基とする.
\beta\cap Y=\{B\cap Y|B\in \beta\} は部分空間 (Y,{\frak T}\cap Y) の開基となることを示せ.
(ヒント)
開基の定義と部分空間の位相の定義を思い出せ.
問題76
(引用:X を位相空間 A\subset X とし、G は X の開集合であるとする.
このとき、\text{Cl}(A\cap G)\supset \text{Cl}(A)\cap G が成り立つことを示せ.
特に、 A\cap G =\emptyset\Rightarrow \text{Cl}(A)\cap G=\emptyset
を示せ.)
は G が開集合でないと成り立たない.そのような例を挙げよ.
(略解答)
A として開集合で、その集積点が G に含まれるようにすればよい.
問題77
Xを集合とする.X の各部分集合 A に対し X の部分集合 u(A) を対応させる写像u:\rho(X)\to \rho(X)(\rho(X) は X のべき集合)があって
A,B を X の任意の部分集合とするとき、次の4条件を満たすものとする.
(i) A\subset u(A)
(ii) u(u(A))=u(A)
(iii) u(A\cup B)=u(A)\cup u(B)
(iv) u(\emptyset)=\emptyset
このとき、{\frak T}=\{X-A|A\in\rho(X),u(A)=A\} は X の一つの位相となり、この位相空間 (X,{\frak T}) における閉包 \text{Cl}(A) は u(A) と一致する.
(略解答)
{\frak T} が位相となることを示せ.
B が A の閉包であるとは、任意の x\in B と任意の近傍 U に対して、U\cap A\neq \emptyset となること.x\in u(A) となる任意の x に対して、ある x の開集合 U が存在して、U\cap A=\emptyset であるとすると矛盾することを示す.
U は開集合なので、この補空間をとると、u(B)=B となる閉集合となる.
いま、x\not\in B なので、x は A^c に入ることになって矛盾.
(注)問題文で、{\frak T} の定義に u(A)=A であることが抜けていました.
修正したプリントはホームページの方にアップしました.
問題78
位相空間 (X,{\frak T})が近傍系 {\mathcal U}=\{{\mathcal U}(x)|x\in X\} によって
定められている場合、 y\in Y に対して、
{\mathcal U}(y)\cap Y=\{U\cap Y|U\in {\mathcal U}(y)\}
とおけば、\mathcal{V}=\{\mathcal{U}(y)\cap Y|y\in Y\} は Y の近傍系となり、この近傍の
定める Y の位相は {\frak T} によって定められる Y 上の相対位相と一致することを示せ.
(ヒント)
これが Y の近傍系であることはすぐに確かめられる.また、相対位相は、任意の Y の開集合 V は、X の開集合 U を使って、V=U\cap Y とかけることを使う.
HPに行く.
問題69
(X,{\frak T}_X), (Y,{\frak T}_Y)を位相空間とする.写像(X,{\frak T}_X)\to (Y,{\frak T}_Y)がある.次の条件は同値であることを示せ.
(1) fは(X,{\frak T}_X)から(Y,{\frak T}_Y)への連続写像である.
(2) Yの任意の開集合Hに対してf^{-1}(H)がXの開集合である.
(3) Yの任意の閉集合Kに対してf^{-1}(K)がXの閉集合である.
(略解答)
(1) から (2) f が連続であるとは、任意の x\in X と任意の f(x) の任意の近傍 U において、ある x の近傍 V が存在して、f(V)\subset U となること.
これは、(2) を意味している.なぜか?
(2) から (3) 補集合をとって考えよ.
(3) から (1) 任意の f(x) とその近傍 V において、V に含まれる f(x) の開近傍をとって(3)の条件を使うことで、x に開近傍で、V に写されるものが取れる.
問題70
(X,{\frak T}_X), (Y,{\frak T}_Y) を位相空間とする.
写像 (X,{\frak T}_X)\to (Y,{\frak T}_Y) がある.
次の条件は同値であることを示せ.
(1) f は (X,{\frak T}_X) から (Y,{\frak T}_Y) への連続写像である.
(2) A\subset X に対し、f(\text{Cl} A)\subset \text{Cl}f(A) ここで、Clはそれぞれの位相空間における閉包である.
(3) Y の一つの開基 \beta に関する各開集合 W に対し、f^{-1}(W) は X の開集合である.
(略解答)
(1) から (2) :y が f(A) の閉包であることは、任意の y の近傍 V に対して、V\cap f(A)\neq \emptyset であることを言えばよい.
(1) と (3) の同値性: 開基の性質(全ての開集合は開基に含まれる開集合の幾つかの和集合である)を使えば自明にできる.
(2) から 問題70の(3) :y\in V を閉近傍とし、f^{-1}(V)=:A が閉集合であることを示す.つまり \text{Cl}(A)=A を示せばよい.
(注)
配ったプリントでは、(2) の条件が A\subset Y となっていましたが、正しくは、A\subset X ですのでご注意 を.
問題71
\beta を位相空間 (X,{\frak T}) の開基とする.
\beta\cap Y=\{B\cap Y|B\in \beta\} は部分空間 (Y,{\frak T}\cap Y) の開基となることを示せ.
(ヒント)
開基の定義と部分空間の位相の定義を思い出せ.
問題76
(引用:X を位相空間 A\subset X とし、G は X の開集合であるとする.
このとき、\text{Cl}(A\cap G)\supset \text{Cl}(A)\cap G が成り立つことを示せ.
特に、 A\cap G =\emptyset\Rightarrow \text{Cl}(A)\cap G=\emptyset
を示せ.)
は G が開集合でないと成り立たない.そのような例を挙げよ.
A として開集合で、その集積点が G に含まれるようにすればよい.
問題77
Xを集合とする.X の各部分集合 A に対し X の部分集合 u(A) を対応させる写像u:\rho(X)\to \rho(X)(\rho(X) は X のべき集合)があって
A,B を X の任意の部分集合とするとき、次の4条件を満たすものとする.
(i) A\subset u(A)
(ii) u(u(A))=u(A)
(iii) u(A\cup B)=u(A)\cup u(B)
(iv) u(\emptyset)=\emptyset
このとき、{\frak T}=\{X-A|A\in\rho(X),u(A)=A\} は X の一つの位相となり、この位相空間 (X,{\frak T}) における閉包 \text{Cl}(A) は u(A) と一致する.
(略解答)
{\frak T} が位相となることを示せ.
B が A の閉包であるとは、任意の x\in B と任意の近傍 U に対して、U\cap A\neq \emptyset となること.x\in u(A) となる任意の x に対して、ある x の開集合 U が存在して、U\cap A=\emptyset であるとすると矛盾することを示す.
U は開集合なので、この補空間をとると、u(B)=B となる閉集合となる.
いま、x\not\in B なので、x は A^c に入ることになって矛盾.
(注)問題文で、{\frak T} の定義に u(A)=A であることが抜けていました.
修正したプリントはホームページの方にアップしました.
問題78
位相空間 (X,{\frak T})が近傍系 {\mathcal U}=\{{\mathcal U}(x)|x\in X\} によって
定められている場合、 y\in Y に対して、
{\mathcal U}(y)\cap Y=\{U\cap Y|U\in {\mathcal U}(y)\}
とおけば、\mathcal{V}=\{\mathcal{U}(y)\cap Y|y\in Y\} は Y の近傍系となり、この近傍の
定める Y の位相は {\frak T} によって定められる Y 上の相対位相と一致することを示せ.
(ヒント)
これが Y の近傍系であることはすぐに確かめられる.また、相対位相は、任意の Y の開集合 V は、X の開集合 U を使って、V=U\cap Y とかけることを使う.
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