トポロジー入門演習(第7回)

[場所1E103（月曜日4限）]

配布プリント

HPに行く．

今日は、トポロジー入門演習を行いました．
皆さん問題を解いていますが、だんだん解く数が減って来ているような
気がします．

特に新しい事も進んでいないし書くこともないので、解かれていない問題の一部について
少し書きます．

位相空間論において、位相空間の性質とその性質を満たす（or満たさない）位相空間の例が重要です．

有限補集合位相

有限補集合位相 $(X,{\mathcal O})$ とは、有限個の点集合の補集合を開集合とする位相空間の例です．
この定義が、位相空間を定義することを確認する問題があったはずです．

この位相が成り立つ性質について書いていきます．

• まず、$X$ が有限集合であれば、この位相空間は有限離散空間と同じです．ですので、自然に $X$ は無限集合で、可算無限か、非可算無限か
  で２通りあります．以下 $X$ は無限集合を考えます．
• 任意の点　$p\in X$ は任意の無限部分集合 $A\subset X$ の集積点になります．というのも、任意の開集合は $A$ と交わりを持つという事実からわかります．つまり、任意の無限集合は $X$ の中で稠密ということになります．

• つまり、$X$ 無限集合 $A$ の閉包は $X$ に一致しますので、$(X,{\mathcal O})$ は可分な空間ということになります．
• $X$ はコンパクトになり、任意の部分空間もコンパクトになります．

位相空間 $X$ がコンパクトというのはまだやっていませんが、いかのような定義です．

位相空間の任意の開被覆、つまり、$X=\cup_{A\in {\mathcal A}} A$ （$A$ は開集合）となるように $X$ 全体がいくつかの開集合によって覆われていることとします．
このとき、必ず ${\mathcal A}$ の部分集合 ${\mathcal A}^0\subset {\mathcal A}$ が存在して、
$X=\cup_{A\in {\mathcal A}^0} A$ のように、なっていること．

つまり、どんなふうに$X$ を覆っていても、${\mathcal A}$ の中の有限個あれば覆うのに事足りるという条件です．短く言えば、任意の開被覆はその部分被覆をもつ、ということです．

この性質も、そのうち講義や演習ででてきます．

$X$ がどうしてコンパクトであることの証明をしておきます．
$X=\cup_{A\in{\mathcal A}}A$ となっているとします．任意に $A\in {\mathcal A}$ を選んでこれば、$X-A$ は有限個しかありません．したがって、$X-A$ を覆っている ${\mathcal A}$ の元を有限個 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ を選んでこれます．このとき、$X=A\cup A_1\cup A_2\cdots\cup A_n$ は $X$ と一致しますので、任意の $X$ の開被覆は部分開被覆をもちました．

• $X$ が可算無限集合であれば、${\mathcal O}$ は可算無限集合なので、第1可算かつ第2可算ということになります．準開基としては $X-p$なる開集合をとればよいです．
• $X$ が非可算無限集合であれば、任意の開集合は非可算無限集合になり、$F_\sigma$ 集合ではありません．補集合を取れば、任意の閉集合は $G_\delta$ 集合にはなりません．

ここで、$F_\sigma$ 集合とは、閉集合の可算無限和集合のことで、$G_\delta$ 集合とは、開集合の可算無限共通集合のことです．

• $X$ が非可算無限集合のとき、第1可算を満足しません．有限補集合位相は可分ですから、第2可算も満足しないということになります．

$X$ が第1可算でないことは以下のようにして示します．

任意の $x$ に対して、$X$ が可算近傍基を持つとします．それを　${\mathcal B}_x$ とすると、
$\cap_{B\in {\mathcal B}_x}B=x$ となるので、
$$X-\{x\}=X-\cap_{B\in {\mathcal B}_x}B=\cup_{B\in {\mathcal B}_x}(X-B)$$
$X-B$ は有限集合になります．有限集合の可算無限集合なので、$X-x$ は高々可算無限集合になります．これは $X$ が非可算無限集合であることに反します．

• 無限集合の有限補集合位相 $X$ は $T_1$ を満たしますが、$T_i(i=2,3,4,5)$ は満足しません．

$T_i$ という公理は位相空間の分離公理と呼ばれるものですが、ここでは、$T_1$ と $T_2$ の定義だけします．

位相空間が $T_1$ であるとは、
$a,b\in X$ が2点の集合とします．そのとき、
$a\in O$ かつ $b\not\in O$ なる開集合 $O$ と、
$a\not\in O'$ かつ $b\in O'$ なる開集合 $O'$ が存在するとき
をいいます．

位相空間が $T_2$ （ハウスドルフ）であるとは、
$a,b\in X$ が2点の集合とします．そのとき、
$a\in O$ かつ $b\not\in O$ なる開集合 $O$ と
$a\not\in O'$ かつ $b\in O'$ なる開集合 $O'$ が存在し、さらに、$O\cap O'\neq\emptyset$
が成り立つことをいいます．

有限補集合位相の場合、
$a,b\in X$ に対して、$O=X-b,O'=X-a$ が $T_1$ の条件を満しています．
また、任意の開集合は共通部分を必ず持ちますので、$T_2$ は満しません．

$T_3$ 以降は定義をしませんでしたが、自動的に満たしません．
またどこかで定義したいと思います．

• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr. Counterexamples in topology, Dover