微積分II演習第２回のレポートについて

レポートを採点していますが、

連続であることを示す方法がわかっていないようです．

ほとんどの人が証明をかけていません．
今回の宿題にも関わりますので少し書き方を書いておきます．


2-1の問題でやりましょう．

宿題2-1
まず、特定の近づき方のみで連続であることを述べているのは論外です．

たとえば、$x$ を $0$ にしてから $y$ を $0$ にするという近づき方で
原点に近づくときと、
$y$ を $0$ に近づいてから $x$ を $0$ に近づくときに一致するからといって
連続であるとは限りません．

2-1の問題の証明

$f(x,y)=\frac{xy\sin(xy)+(x^2+y^2)\cos(x^2+y^2)}{x^2+y^2}$
が1に近づくことを証明します．
何を証明すれば良いかというと、任意の $(0,0)$ に近づく点列 $(x_n,y_n)$ を
とったときに、

$|f(x_n,y_n)-1|$ の値が $n$ を十分大きくしたときに限りなく $0$ に近くなることを言えばよいです．

また、２項ありますので、それぞれ収束することを示すことで、極限の和の公式を使うこともできます．

$$\lim_{n\to \infty }(a_n+b_n)=\lim_{n\to \infty}a_n+\lim_{n\to \infty}b_n$$
です．
このとき、この和公式が成り立つには、それぞれが収束していないといけません．


ここで、$(0,0)$ に近づく任意の点列を取ります．
それを、$(x_n,y_n)=(r_n\cos\theta_n,r_n\sin\theta_n)$ とします．
そのとき、

今、第一項は、
$|\frac{r_n^2\cos\theta_n\sin\theta_n\sin(r_n^2\cos\theta_n\sin\theta_n)}{r_n^2}|=|\cos\theta_n\sin\theta_n\sin(r_n^2\cos\theta_n\sin\theta_n)|$
$\le| \sin(r_n^2\cos\theta_n\sin\theta_n)|$   (*)

ここで、$z_n=r_n^2\cos\theta_n\sin\theta_n$ とおくと、
$n\to \infty $ により、$z_n\to 0$ になります．
証明すると、
$|z_n|\le r_n^2\to 0$ となるので、$z_n\to 0$ となります．

$\sin $が連続関数であることを使えば、

$\sin(z_n)\to 0$
がいえます．

よって、$|\frac{r_n^2\cos\theta_n\sin\theta_n\sin(r_n^2\cos\theta_n\sin\theta_n)}{r_n^2}|\to 0$
がいえる．今、任意の点列をとって収束が示されたので、
$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy\sin(xy)}{x^2+y^2}\to 0$ が示された．

また、第２項目は、
$\frac{(x^2+y^2)\cos(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=\cos(x^2+y^2)$ であり、
$\cos(x^2+y^2)$ は原点で連続です．

$\cos$ 関数も $x^2+y^2$ 関数も連続なので、その合成関数も連続
よって、極限も存在し、

$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\cos(x^2+y^2)=1$ となる．
よって上の和公式により、$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy\sin(xy)+(x^2+y^2)\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=1$
となる．

よって連続の流れとしては、
任意の点列をとる．
$(x_n,y_n)=(r_n\cos\theta_n,r_n\sin\theta_n)$ とする．
関数 $|f(x_n,y_n)-a|$ がいくらでも小さい(0に近い)数列 $A_n$ で抑えられることを示す．

つまり、$|f(x_n,y_n)-a|\le A_n$
たとえば、$A_n=r_n$ や、 $3r_n^2$ などなど．
よって、$f(x_n,y_n)\to a$ がいえる．
任意の点列をとっていたので、
$\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)\to a$ がいえる．
です．
今回の宿題にも連続性を示す箇所があるのでこのページを参考に証明を考えて下さい．

さらに、例題を追加します．


別の例題
$f(x,y)=\frac{3x^2y+y^3}{x^2+y^2}$
が原点でも連続であることの証明。

原点以外での連続性は、連続関数の和、積、商、合成ですので連続です．
原点での連続性を示します．

$(0,0)$ に収束する点列　$(x_n,y_n)=(r_n\cos\theta_n,r_n\sin\theta_n)$ とします．
この点列は、原点に収束しますので、$r_n\to 0$ です．
このとき、
$$|f(x_n,y_n)|=|\frac{3r_n^3（\cos^2\theta_n\sin\theta_n+\sin^3\theta_n)}{r^2_n}|$$
$$\le r_n|3\cos^3\theta_n\sin\theta+\sin^3\theta_n|$$
（ここでのポイントは絶対値をとることです。
絶対値を取らないと、たとえ右辺が $0$ に収束するとしても、$f(x_n,y_n)$ の値が負の数に向かっているというだけで、収束するともそうでないとも言っていません．

ですので、絶対値は必ずです．）

続けます．三角不等式を使うと、

$$\le r_n|3\cos^3\theta_n\sin\theta+\sin^3\theta_n|\le r_n(3|\cos^2\theta_n\sin\theta|+|\sin^3\theta_n|)\le 4r_n$$
となります．
（ここでのポイントは、右辺を何でもよいから、収束する数列で抑えることです．その際、余分な$\theta_n$ などの収束に無関係なものが排除できるとよいです．）

よって、$r_n\to 0$ ですので、
$|f(x_n,y_n)|\to 0$ がいえます．このことから、$\lim_{n\to \infty}f(x_n,y_n)=0$
がいえます。

よって、任意の $0$ に収束する点列 $(x_n,y_n)$ に対して $f(x_n,y_n)$ が収束するので、$f(x,y)$ の $(0,0)$ への極限が存在して、
$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=0$$
となります。