線形代数II演習(第1回)

[場所1E103（水曜日4限）]

配布プリント

HPに行く．

このページでは、線形代数II演習に関することを日記風に
書いていきます．
去年も線形代数II演習（物理学類向け）のブログを書いています．

やっている問題は去年と同じ問題とは限りませんが、同じ題材を今年も
扱っていこうと思っています．
去年度のものを見るには、横のカテゴリーの中のリンクから辿ってみてください．

ちなみに、去年の今日と同じ授業では、連立一次方程式の解き方をしてから、抽象ベクトル空間に入っていました．
http://motochans.blogspot.jp/2014/10/ii1.html


また、秋学期も数学手習い塾をやるはずです（曜日は未定）ので、是非とも活用
してください．場所は同じ1E403だと思います．
私も時間があるときは行くようにしています．


さて、
今日は主に連立一次方程式の復習をしました．
授業中にやったのでここでは書きません．
もし連立一次方程式を解くことに自信がなければ、今日配った問題を
解くか、宿題を解くかして理解してください．


宿題についてですが、
C-1-1は連立一次方程式を解く問題です．
C-1-2は行列式について理解する問題で、$2\times 2$ 行列について今日発表してもらったものの $3\times 3$ 行列のバージョンです．
本当は、$n\times n$ 行列についてやる問題だったのですが、簡単にしました．$n\times n$ 行列について同じように証明しても構いません．
C-1-3は数ベクトル空間の間の線形写像を行列によって表示する問題です．



数ベクトル空間の間の線形写像の行列表示

数ベクトル空間の間の線形写像 $f:{\mathbb K}^m\to {\mathbb K}^n$ を $n\times m$ 行列 $A$ によって表示するということは、任意の ${\bf x}\in {\mathbb K}^m$ に対して、線形写像 $f$ を
$$f({\bf x})=A\cdot{\bf x}$$
というような行列の左からの積として表しなさいということです．
一般に、数ベクトル空間の間に線形写像があれば、必ず、このような行列 $A$ をただ一つ定めることができます．
（抽象的なベクトル空間の場合にはただ一つに定めることが難しい場合があります．）

後から出てくる用語で言えば、ある特殊な基底による表現行列ということができます．

求め方は、一つは今日発表でやってもらったもので、

$$f({\mathbf v}_i)=A{\mathbf v}_i={\mathbf w}_i\ \ (i=1,..,m)$$
としておいたときに、
$$AV=W$$
となる行列 $A$ を求める問題にすることです．
ここで、
$V=({\mathbf v}_1{\mathbf v}_2,\cdots,{\mathbf v}_m)$
$W=({\mathbf w}_1{\mathbf w}_2,\cdots,{\mathbf w}_m)$
となる行列です．

行列 $A$ が求められるためには、$V$ が正則な行列であることが必要です．

特に、$V$ 正方行列です．

よって、$V$ 逆行列を求めることで、

$A=WV^{-1}$ となります．

この行列 $A$ が何かというと、

まず、

標準基底ベクトルを ${\bf e}_1={}^t(1,0,\cdots,0),{\bf e}_2={}^t(0,1,\cdots,0),...,{\bf e}_1={}^t(0,0,\cdots,1)$ としており、$A$ を縦ベクトルを使って、

$A=({\bf a}_1{\bf a}_2\cdots{\bf a}_m)$ と書くことにすると、

$f({\bf e}_i)=A\cdot{\bf e}_i={\bf a}_i$ となり、

 がいえることになります．つまり、表示された行列は、

$f({\bf e}_i)=A\cdot{\bf e}_i={\bf a}_i$ として、標準基底ベクトルの行き先を並べたものということになります．

一般の基底に関してはまた、後の授業でやることになると思います．