トポロジー入門演習(第4回)

[場所1E103（月曜日4限）]

配布プリント

HPに行く．

今日は、近傍系や、開基のあたりのプリントを配りました．
講義の方もその辺りの授業ではないかと思います．

少し体調が良くなかったせいもあり、プリントにいくつか不備がありました．
すいません．上のリンクでは直してあります．問題番号が気持ち悪い人は上のプリントを印刷してください．


近傍系とは

近傍とは、森田先生の教科書では、P43定義9.1に、
${\mathcal U}(x)$ は $x$ の近傍の集まりで、以下を満たすものとして
定義されています．

1. 任意の $U\in {\mathcal U}(x)$ は $x\in U$ を満たす．
2. $U,V\in {\mathcal U}(x)$ ならば、ある $U_3\in {\mathcal U}(x)$ が存在して、$U_3\subset U_1\cap U_2$ となる．
3 $U\in {\mathcal U}(x)$ に対して、任意の $y\in U$ となるとき、$V\subset U$ なる $V\in {\mathcal U}(y)$ が存在する

この定義では、近傍の中に開近傍のようなものしか入らないことになります．

教科書に書かれているように、$x$ の近傍とは、$x$ を含むある開集合を含んでいる集合（つまり、$x$ が内点となるような集合のこと）ということもあると書いてあります．
つまり、閉近傍も近傍として含めることもあるということです．
一般的には、このような定義の方が多いような気がします．

近傍の集まりのことを近傍系といいます．

近傍基（基本近傍系）とは

近傍系の部分集合なのですが、その中に、いくらでも小さい近傍が含まれているというものです．近傍全体を持ってこなくても近傍を特徴づけられるということです．

ちゃんと定義を述べると、

${\mathcal U}(x)$ が $x$ の近傍系であるとする．${\mathcal V}(x)$ が近傍基であるとは、
任意の近傍 $U\in {\mathcal U}(x)$ に対して、
$V\in {\mathcal V}(x)$ が存在して、$V\subset U$ となる．

開基とは

開集合全体がその位相空間を特徴づけていますが、その開集合全体を持ってこなくても、開集合全体を特徴づけられます．それが開基です．ベクトル空間は基底があればすべてのベクトルをかき下せるようなものです．英語でも (open) base を使います．

$\beta$ が $(X,{\mathcal O})$ の開基であるとは、$\beta$ は ${\mathcal O}$ の部分集合であり、任意の $U\in {\mathcal O}$ に対して、$\beta$ のいくつかの集合 $\{B_\lambda|\lambda\in \Lambda\}$ が存在して、
$$U=\cup_{\lambda\in \Lambda}B_\lambda$$
として表されることです．

例えば、${\mathbb R}$ の通常の位相のとき、${\mathcal O}$ には、すべての開集合が入っていますが、開基として、$\beta=\{(a,b)|a,b\in {\mathbb R}\}$ ととることができます．また、この $a,b$ として有理数のみ用いたものも開基とすることができます．さらに小さい開基というわけです．

準開基とは

任意の開基の元を幾つかの開集合の共通部分としてかくものです．
つまり、${\mathcal W}$ が位相空間 $(X,{\mathcal O})$ の準開基とは、それらのいくつかの共通部分を使って、${\mathcal O}$ のすべての開基の元を作っているものです．このようにすると、基本となる開集合の族がさらに小さくできます．
上の ${\mathbb R}$ の例では、${\mathcal W}=\{(a,\infty)|a\in {\mathbb R}\}\cup \{(-\infty,b)|b\in {\mathbb R}\}$ とすることができます．
${\mathcal W}\subset {\mathcal V}$ ですが、${\mathcal W}$ は通常の ${\mathbb R}$ の準開基となりますが、開基とはなりません．