[場所1E103（金曜日5限）]
ひとつ注意すべき点がありました．
$z=f(x,y)$ という関数において、
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x^2,xy)$$
と、
$$\frac{\partial}{\partial x}f(x^2,xy)$$
は意味が違います．
前者は、$z=f(x,y)$ を $x$ に沿って偏微分してから $x$ に $x^2$ を代入し、 $y$ に $xy$ を代入するということですが、
後者は、$z=f(x,y)$ に $x$ に $x^2$ を、$y$ に $xy$ を代入しててできる関数 $f(x^2,xy)$ を改めて$x,y$ の関数と思ったときにできる関数を $x$ に沿って偏微分しています．
例で言えば、
$f(x,y)=e^x+e^y$ とすると、
前者は、$\frac{\partial f}{\partial x}=e^x$ であり、
$\frac{\partial f}{\partial x}(x^2,xy)=e^{x^2}$ となります。
後者は、$f(x^2,xy)=e^{x^2}+e^{xy}$ であり、
$\frac{\partial}{\partial x}f(x^2,xy)=\frac{\partial}{\partial x}(e^{x^2}+y^{xy})=2xe^{x^2}+ye^{xy}$ となります．
連続性に関して
また、連続性を示す問題ですが、
$\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$ を計算が難しいですね．
原点に収束するあらゆる点列を取ること
今日はレポートを提出する前に半ば点列 $(x_n,y_n)$ をとることを強制しましたが、
しかし、点列を取るとか、どうして出てきたの？とか分からないと思いますよね．
近づき方のバリエーションの全てをこの書き方で行っているのです．
たとえば、近づき方を連続的な曲線として、$(x(t),y(t))$ としてみてもよいです．
ただ、近づく方法が連続でないといけないのか？これもよくわかりません．
なので、自然数でパラメータ付けた $(x_n,y_n)$ によってあらわしたのです．
（実際、点列を取って連続であることと、普通の $\epsilon-\delta$ を用いた連続性の同値性は自明ではありません．）
いろいろと考えた結果、
以下、点列を取らなくても、以下のような解答でもよいと思います．
$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ とかく．
$f(x,y)=f(r\cos\theta,r\sin\theta)$ とする．
このとき、
$|f(x,y)-\alpha|\le A(r)$
となる $r$ のみによる関数 $A(r)$ が存在して、$A(r)\to 0$ ($r\to 0$) となる
とする．
このとき、$(x,y)\to (0,0)$ となるどのような近づけ方によっても、
$r\to 0$ である．
よって、どのような $(x,y)\to (0,0)$ の近づけ方によっても
$|f(x,y)-\alpha|\le A(r)\to 0$
となるので、$f(x,y)\to \alpha$ がいえる．
このような解答だとすっきりしますね。
つまり、上から挟むための $r$ の関数 $A(r)$ （$\theta$ に依存しない）を
見つけよということになります．
もちろん $-B(r)\le F(r,\theta)-\alpha\le A(r)$
となる $0\le A(r),B(r)\to 0$ となる関数を見つけてもよいです．
ただ、絶対値を取ってはさむ事と、あらゆる近づけ方をするという点は変わらずです．
HPに行く．
第２回のレポートの成績について
満点4
平均点2.45 最高得点3.5 最低得点 1
でした．
今日の小テスト（偏微分の計算）は
平均点4.19点（５点満点）最高点５点、最低点０点
よくできていました。
ほとんどの人が満点ですが、若干ですが、０点、１点の人がいます．
合成関数の微分法
きょうは、合成関数の微分法をやりました。
関数 $f(x,y)$ に、2つの関数 $x=x(t)$ と $y=y(t)$ を代入したときに、できる関数 $F(t)=f(x(t),y(t))$ を $t$-微分するときに使う公式です．
$$\frac{dF}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$
となります．
この公式を用いた演習は授業時間中にやったので、ここでは省略します．第２回のレポートの成績について
満点4
平均点2.45 最高得点3.5 最低得点 1
でした．
今日の小テスト（偏微分の計算）は
平均点4.19点（５点満点）最高点５点、最低点０点
よくできていました。
ほとんどの人が満点ですが、若干ですが、０点、１点の人がいます．
合成関数の微分法
きょうは、合成関数の微分法をやりました。
関数 $f(x,y)$ に、2つの関数 $x=x(t)$ と $y=y(t)$ を代入したときに、できる関数 $F(t)=f(x(t),y(t))$ を $t$-微分するときに使う公式です．
$$\frac{dF}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$
となります．
ひとつ注意すべき点がありました．
$z=f(x,y)$ という関数において、
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x^2,xy)$$
と、
$$\frac{\partial}{\partial x}f(x^2,xy)$$
は意味が違います．
前者は、$z=f(x,y)$ を $x$ に沿って偏微分してから $x$ に $x^2$ を代入し、 $y$ に $xy$ を代入するということですが、
後者は、$z=f(x,y)$ に $x$ に $x^2$ を、$y$ に $xy$ を代入しててできる関数 $f(x^2,xy)$ を改めて$x,y$ の関数と思ったときにできる関数を $x$ に沿って偏微分しています．
例で言えば、
$f(x,y)=e^x+e^y$ とすると、
前者は、$\frac{\partial f}{\partial x}=e^x$ であり、
$\frac{\partial f}{\partial x}(x^2,xy)=e^{x^2}$ となります。
後者は、$f(x^2,xy)=e^{x^2}+e^{xy}$ であり、
$\frac{\partial}{\partial x}f(x^2,xy)=\frac{\partial}{\partial x}(e^{x^2}+y^{xy})=2xe^{x^2}+ye^{xy}$ となります．
連続性に関して
また、連続性を示す問題ですが、
$\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$ を計算が難しいですね．
原点に収束するあらゆる点列を取ること
今日はレポートを提出する前に半ば点列 $(x_n,y_n)$ をとることを強制しましたが、
しかし、点列を取るとか、どうして出てきたの？とか分からないと思いますよね．
近づき方のバリエーションの全てをこの書き方で行っているのです．
たとえば、近づき方を連続的な曲線として、$(x(t),y(t))$ としてみてもよいです．
ただ、近づく方法が連続でないといけないのか？これもよくわかりません．
なので、自然数でパラメータ付けた $(x_n,y_n)$ によってあらわしたのです．
（実際、点列を取って連続であることと、普通の $\epsilon-\delta$ を用いた連続性の同値性は自明ではありません．）
いろいろと考えた結果、
以下、点列を取らなくても、以下のような解答でもよいと思います．
$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ とかく．
$f(x,y)=f(r\cos\theta,r\sin\theta)$ とする．
このとき、
$|f(x,y)-\alpha|\le A(r)$
となる $r$ のみによる関数 $A(r)$ が存在して、$A(r)\to 0$ ($r\to 0$) となる
とする．
このとき、$(x,y)\to (0,0)$ となるどのような近づけ方によっても、
$r\to 0$ である．
よって、どのような $(x,y)\to (0,0)$ の近づけ方によっても
$|f(x,y)-\alpha|\le A(r)\to 0$
となるので、$f(x,y)\to \alpha$ がいえる．
このような解答だとすっきりしますね。
つまり、上から挟むための $r$ の関数 $A(r)$ （$\theta$ に依存しない）を
見つけよということになります．
もちろん $-B(r)\le F(r,\theta)-\alpha\le A(r)$
となる $0\le A(r),B(r)\to 0$ となる関数を見つけてもよいです．
ただ、絶対値を取ってはさむ事と、あらゆる近づけ方をするという点は変わらずです．
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