[場所1E103（月曜日4限）]
HPに行く．
今日は距離空間であることを示す方法について主に学びました．
また、距離空間の例についても実際自分の手で動かして、その感じをつかんだと思います．
距離空間の定義と満たすべき性質
距離空間 $(X,\rho)$ というのは、下の条件を満たす距離関数 $\rho :X\times X\to {\mathbb R}$ をもつ集合のことです．
その条件（性質）とは、
(1) $\rho(x,y)\ge 0$、（正値性）
(2) $\rho(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$、
(3) $\rho(x,y)=\rho(y,x)$、（対称性）
(4) $\rho(x,z)\le \rho(x,y)+\rho(y,z)$ （三角不等式）
であり、これを満たすかどうかをチェックすればよいのでした．
結局、距離空間とは、集合の中の任意の２点に対してその間の距離が適切に測れるような空間という
ことです．
何を示せばよいか分かっても、実際示すのは面倒くさいです．
ほとんどの場合、(1)-(3) は示すのは簡単ですが、(4) は示すのが結構面倒なことも多いです．
ヒルベルト空間、${\mathbb R}^\infty$ の場合でさえ、実は、数列の絶対収束を使っています．
ヒルベルト空間 ${\mathbb R}^\infty$ が三角不等式を満たすこと
つまり、${\mathbb R}^\infty$ 上で、$d_\infty(x,y)=\sqrt{\sum_{n=1}^\infty(x_i-y_i)^2}$ として距離を入れると、
$(d_\infty(x,y)+d_\infty(y,z))^2-d_\infty(x,z)^2$
$=\sum_{i=1}^\infty(x_i-y_i)^2+\sum_{i=1}^\infty(y_i-z_i)^2-\sum_{i=1}^\infty(x_i-z_i)^2+2\sqrt{{\sum_{i=1}^\infty(x_i-y_i)^2\sum_{i=1}^\infty(y_i-z_i)^2}}$
$=-2\sum_{i=1}^\infty(x_iy_i+y_iz_i-y_i^2-x_iz_i)+2\sqrt{\sum_{i=1}^\infty(x_i-y_i)^2\sum_{i=1}^\infty(y_i-z_i)^2}$
$=-2\sum_{i=1}^\infty(x_i-y_i)(y_i-z_i)+2\sqrt{\sum_{i=1}^\infty(x_i-y_i)^2\sum_{i=1}^\infty(y_i-z_i)^2}$
となり、さらに、２乗をして引いて、一般的なコーシーシュワルツの不等式を用いると
$\sum_{i=1}^\infty(y_i-z_i)^2\sum_{i=1}^\infty(x_i-z_i)^2-(\sum_{i=1}^\infty(x_i-y_i)(y_i-z_i))
\ge0$
となります．
ここで、途中で、項の順番を変えてよいのは、$\sum_{i=1}^\infty x_n^2$ が収束するため、この級数は絶対収束しているからです．
また、$\sum_{i=1}^\infty y_i^2$ も絶対収束しますから、
$\sum_{i=1}^\infty x_iy_i$ も絶対収束します．
$\sum_{i=1}^\infty x_iy_i$ が絶対収束していること
$\sum_{i=1}^\infty x_i^2$ や $\sum_{i=1}^\infty y_i^2$ が（絶対）収束するので、
$(\sum_{i=1}^\infty|x_iy_i|)^2\le \sum_{i=1}^\infty|x_i|^2\sum_{i=1}^\infty|y_i|^2<\infty$
となり、$\sum_{i=1}^\infty x_iy_i$ も絶対収束します．
コーシーシュワルツの不等式
コーシーシュワルツの不等式とは、内積空間 $(V,\langle,\rangle)$ において、
$$||v||^2||w||^2\ge (\langle v,w\rangle)^2$$
が成り立つということです．ここで、$||v||=\sqrt{\langle v,w\rangle)}$
です．
ヒルベルト空間 ${\mathbb R}^\infty$ が内積空間であることを使えば、ヒルベルト空間が距離空間であることの最初の３つまでは正しくなります．
これから、距離空間の概念を一般化して、さらに位相空間にそのうち進んでいきます．そのあたりのことは、こちらに昔かきました．
（少し書き直しました．）
昔は一般の位相空間を３年生で習っていましたが、今回からは、２年生の後半に習うことになっています．
今日は距離空間であることを示す方法について主に学びました．
また、距離空間の例についても実際自分の手で動かして、その感じをつかんだと思います．
距離空間の定義と満たすべき性質
距離空間 $(X,\rho)$ というのは、下の条件を満たす距離関数 $\rho :X\times X\to {\mathbb R}$ をもつ集合のことです．
その条件（性質）とは、
(1) $\rho(x,y)\ge 0$、（正値性）
(2) $\rho(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$、
(3) $\rho(x,y)=\rho(y,x)$、（対称性）
(4) $\rho(x,z)\le \rho(x,y)+\rho(y,z)$ （三角不等式）
であり、これを満たすかどうかをチェックすればよいのでした．
結局、距離空間とは、集合の中の任意の２点に対してその間の距離が適切に測れるような空間という
ことです．
何を示せばよいか分かっても、実際示すのは面倒くさいです．
ほとんどの場合、(1)-(3) は示すのは簡単ですが、(4) は示すのが結構面倒なことも多いです．
ヒルベルト空間、${\mathbb R}^\infty$ の場合でさえ、実は、数列の絶対収束を使っています．
ヒルベルト空間 ${\mathbb R}^\infty$ が三角不等式を満たすこと
つまり、${\mathbb R}^\infty$ 上で、$d_\infty(x,y)=\sqrt{\sum_{n=1}^\infty(x_i-y_i)^2}$ として距離を入れると、
$(d_\infty(x,y)+d_\infty(y,z))^2-d_\infty(x,z)^2$
$=\sum_{i=1}^\infty(x_i-y_i)^2+\sum_{i=1}^\infty(y_i-z_i)^2-\sum_{i=1}^\infty(x_i-z_i)^2+2\sqrt{{\sum_{i=1}^\infty(x_i-y_i)^2\sum_{i=1}^\infty(y_i-z_i)^2}}$
$=-2\sum_{i=1}^\infty(x_iy_i+y_iz_i-y_i^2-x_iz_i)+2\sqrt{\sum_{i=1}^\infty(x_i-y_i)^2\sum_{i=1}^\infty(y_i-z_i)^2}$
$=-2\sum_{i=1}^\infty(x_i-y_i)(y_i-z_i)+2\sqrt{\sum_{i=1}^\infty(x_i-y_i)^2\sum_{i=1}^\infty(y_i-z_i)^2}$
となり、さらに、２乗をして引いて、一般的なコーシーシュワルツの不等式を用いると
$\sum_{i=1}^\infty(y_i-z_i)^2\sum_{i=1}^\infty(x_i-z_i)^2-(\sum_{i=1}^\infty(x_i-y_i)(y_i-z_i))
\ge0$
となります．
ここで、途中で、項の順番を変えてよいのは、$\sum_{i=1}^\infty x_n^2$ が収束するため、この級数は絶対収束しているからです．
また、$\sum_{i=1}^\infty y_i^2$ も絶対収束しますから、
$\sum_{i=1}^\infty x_iy_i$ も絶対収束します．
$\sum_{i=1}^\infty x_iy_i$ が絶対収束していること
$\sum_{i=1}^\infty x_i^2$ や $\sum_{i=1}^\infty y_i^2$ が（絶対）収束するので、
$(\sum_{i=1}^\infty|x_iy_i|)^2\le \sum_{i=1}^\infty|x_i|^2\sum_{i=1}^\infty|y_i|^2<\infty$
となり、$\sum_{i=1}^\infty x_iy_i$ も絶対収束します．
コーシーシュワルツの不等式
コーシーシュワルツの不等式とは、内積空間 $(V,\langle,\rangle)$ において、
$$||v||^2||w||^2\ge (\langle v,w\rangle)^2$$
が成り立つということです．ここで、$||v||=\sqrt{\langle v,w\rangle)}$
です．
ヒルベルト空間 ${\mathbb R}^\infty$ が内積空間であることを使えば、ヒルベルト空間が距離空間であることの最初の３つまでは正しくなります．
これから、距離空間の概念を一般化して、さらに位相空間にそのうち進んでいきます．そのあたりのことは、こちらに昔かきました．
（少し書き直しました．）
昔は一般の位相空間を３年生で習っていましたが、今回からは、２年生の後半に習うことになっています．
0 件のコメント:
コメントを投稿