[場所1E103（金曜日5限）]
ひとつ注意すべき点がありました．
z=f(x,y) という関数において、
\frac{\partial f}{\partial x}(x^2,xy)
と、
\frac{\partial}{\partial x}f(x^2,xy)
は意味が違います．
前者は、z=f(x,y) を x に沿って偏微分してから x に x^2 を代入し、 y に xy を代入するということですが、
後者は、z=f(x,y) に x に x^2 を、y に xy を代入しててできる関数 f(x^2,xy) を改めてx,y の関数と思ったときにできる関数を x に沿って偏微分しています．
例で言えば、
f(x,y)=e^x+e^y とすると、
前者は、\frac{\partial f}{\partial x}=e^x であり、
\frac{\partial f}{\partial x}(x^2,xy)=e^{x^2} となります。
後者は、f(x^2,xy)=e^{x^2}+e^{xy} であり、
\frac{\partial}{\partial x}f(x^2,xy)=\frac{\partial}{\partial x}(e^{x^2}+y^{xy})=2xe^{x^2}+ye^{xy} となります．
連続性に関して
また、連続性を示す問題ですが、
\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y) を計算が難しいですね．
原点に収束するあらゆる点列を取ること
今日はレポートを提出する前に半ば点列 (x_n,y_n) をとることを強制しましたが、
しかし、点列を取るとか、どうして出てきたの？とか分からないと思いますよね．
近づき方のバリエーションの全てをこの書き方で行っているのです．
たとえば、近づき方を連続的な曲線として、(x(t),y(t)) としてみてもよいです．
ただ、近づく方法が連続でないといけないのか？これもよくわかりません．
なので、自然数でパラメータ付けた (x_n,y_n) によってあらわしたのです．
（実際、点列を取って連続であることと、普通の \epsilon-\delta を用いた連続性の同値性は自明ではありません．）
いろいろと考えた結果、
以下、点列を取らなくても、以下のような解答でもよいと思います．
x=r\cos\theta,y=r\sin\theta とかく．
f(x,y)=f(r\cos\theta,r\sin\theta) とする．
このとき、
|f(x,y)-\alpha|\le A(r)
となる r のみによる関数 A(r) が存在して、A(r)\to 0 (r\to 0) となる
とする．
このとき、(x,y)\to (0,0) となるどのような近づけ方によっても、
r\to 0 である．
よって、どのような (x,y)\to (0,0) の近づけ方によっても
|f(x,y)-\alpha|\le A(r)\to 0
となるので、f(x,y)\to \alpha がいえる．
このような解答だとすっきりしますね。
つまり、上から挟むための r の関数 A(r) （\theta に依存しない）を
見つけよということになります．
もちろん -B(r)\le F(r,\theta)-\alpha\le A(r)
となる 0\le A(r),B(r)\to 0 となる関数を見つけてもよいです．
ただ、絶対値を取ってはさむ事と、あらゆる近づけ方をするという点は変わらずです．
HPに行く．
第２回のレポートの成績について
満点4
平均点2.45 最高得点3.5 最低得点 1
でした．
今日の小テスト（偏微分の計算）は
平均点4.19点（５点満点）最高点５点、最低点０点
よくできていました。
ほとんどの人が満点ですが、若干ですが、０点、１点の人がいます．
合成関数の微分法
きょうは、合成関数の微分法をやりました。
関数 f(x,y) に、2つの関数 x=x(t) と y=y(t) を代入したときに、できる関数 F(t)=f(x(t),y(t)) を t-微分するときに使う公式です．
\frac{dF}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}
となります．
この公式を用いた演習は授業時間中にやったので、ここでは省略します．第２回のレポートの成績について
満点4
平均点2.45 最高得点3.5 最低得点 1
でした．
今日の小テスト（偏微分の計算）は
平均点4.19点（５点満点）最高点５点、最低点０点
よくできていました。
ほとんどの人が満点ですが、若干ですが、０点、１点の人がいます．
合成関数の微分法
きょうは、合成関数の微分法をやりました。
関数 f(x,y) に、2つの関数 x=x(t) と y=y(t) を代入したときに、できる関数 F(t)=f(x(t),y(t)) を t-微分するときに使う公式です．
\frac{dF}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}
となります．
ひとつ注意すべき点がありました．
z=f(x,y) という関数において、
\frac{\partial f}{\partial x}(x^2,xy)
と、
\frac{\partial}{\partial x}f(x^2,xy)
は意味が違います．
前者は、z=f(x,y) を x に沿って偏微分してから x に x^2 を代入し、 y に xy を代入するということですが、
後者は、z=f(x,y) に x に x^2 を、y に xy を代入しててできる関数 f(x^2,xy) を改めてx,y の関数と思ったときにできる関数を x に沿って偏微分しています．
例で言えば、
f(x,y)=e^x+e^y とすると、
前者は、\frac{\partial f}{\partial x}=e^x であり、
\frac{\partial f}{\partial x}(x^2,xy)=e^{x^2} となります。
後者は、f(x^2,xy)=e^{x^2}+e^{xy} であり、
\frac{\partial}{\partial x}f(x^2,xy)=\frac{\partial}{\partial x}(e^{x^2}+y^{xy})=2xe^{x^2}+ye^{xy} となります．
連続性に関して
また、連続性を示す問題ですが、
\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y) を計算が難しいですね．
原点に収束するあらゆる点列を取ること
今日はレポートを提出する前に半ば点列 (x_n,y_n) をとることを強制しましたが、
しかし、点列を取るとか、どうして出てきたの？とか分からないと思いますよね．
近づき方のバリエーションの全てをこの書き方で行っているのです．
たとえば、近づき方を連続的な曲線として、(x(t),y(t)) としてみてもよいです．
ただ、近づく方法が連続でないといけないのか？これもよくわかりません．
なので、自然数でパラメータ付けた (x_n,y_n) によってあらわしたのです．
（実際、点列を取って連続であることと、普通の \epsilon-\delta を用いた連続性の同値性は自明ではありません．）
いろいろと考えた結果、
以下、点列を取らなくても、以下のような解答でもよいと思います．
x=r\cos\theta,y=r\sin\theta とかく．
f(x,y)=f(r\cos\theta,r\sin\theta) とする．
このとき、
|f(x,y)-\alpha|\le A(r)
となる r のみによる関数 A(r) が存在して、A(r)\to 0 (r\to 0) となる
とする．
このとき、(x,y)\to (0,0) となるどのような近づけ方によっても、
r\to 0 である．
よって、どのような (x,y)\to (0,0) の近づけ方によっても
|f(x,y)-\alpha|\le A(r)\to 0
となるので、f(x,y)\to \alpha がいえる．
このような解答だとすっきりしますね。
つまり、上から挟むための r の関数 A(r) （\theta に依存しない）を
見つけよということになります．
もちろん -B(r)\le F(r,\theta)-\alpha\le A(r)
となる 0\le A(r),B(r)\to 0 となる関数を見つけてもよいです．
ただ、絶対値を取ってはさむ事と、あらゆる近づけ方をするという点は変わらずです．
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