[数学1 クラス対象（金曜日5限）]
級数
数列や級数が収束することの定義はおそらく春にやっていると思うのでここでは省略します．ここでは、いろいろな級数が収束することを示す方法を学びます．ここでは収束することを示すだけですが、数列が収束して値がいくつになるかということはまた別問題であり、難しい場合があります．またこれまた別問題ですが、その値がどのような値か、例えば有理数か、無理数かも難しい場合があります．値が収束する時、有理数の数列でも極限は無理数になることはもちろんあります．無理数に近づく小数展開が当たり前の例です．
級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ の収束がすぐ分からないときは収束や発散がよく分かっている級数と比べることが多いです．
収束発散がよく分かっている級数とは、例えば、$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ は発散しますが、
$\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}$ は $|r|<1$ のとき収束する．などです．
などです．
前者は、積分を使うと、$\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}>\int_1^{N+1}\frac{1}{x}dx=\log(N+1)$ が言えるので簡単に発散が示されますが、$f(n)=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\log n$ とおくと、$f(n+1)-f(n)=\frac{1}{n+1}-\log\frac{n+1}{n}=\frac{1}{n+1}(1-\log(1+\frac{1}{n})^{n+1})<0$
最後の不等式は $(1+\frac{1}{n})^{n+1}$ が単調増加で、 $e$ に近づくことからわかります．
よって、 $f(n)$ は単調減少で、$f(n)=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\log(n+1)+\log\frac{n+1}{n}>0$
が成り立ちます．また有界かつ単調減少関数は収束値を持ちますので、$\lim_{n\to \infty}f(n)$ は
収束値をもちます．この収束値のことをオイラー定数といい、$\gamma$ と書きます．
$0<\gamma<1$ ですが、有理数とも無理数とも分かっていない定数の一つです．
ところで、上の収束発散を使った応用例があります．
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}$ があります．（授業中にやりましたので省略します．）
簡単な不等式評価で、$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ に持ち込めますし、
等比級数と比べる判定としてよくあるダランベールの判定法、コーシーの判定法があります．
ダランベールの方法（収束のための十分条件）
正項級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ に対してある $r<1$ が存在して有限個の $n$ を除いて $\frac{a_{n+1}}{a_n}\le r<1$ を満たす．
コーシーの方法（収束のための十分条件）
正項級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ に対してある $r<1$ が存在して有限個の $n$ を除いて $\sqrt[n]{a_n}\le r<1$ を満たす．
どちらの判定法も $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ や $\sqrt[n]{a_n}$ が $1$ より小さいことが求められますが、この値が $1$ に収束してしまっては判定は分からなくなります．
これらの判定を当てはめる例は授業中やりましたのでここではやりません．
こちらはガウスの判定法です．
正項級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ がある正の数 $\alpha$ が存在して、
$\frac{a_n}{a_{n+1}}=1+\frac{\alpha}{n}+O(\frac{1}{n^2})$
が成り立つとき、$\alpha>1$ なら収束し、$\alpha\le 1$ なら発散する．
これは $\frac{a_{n+1}}{a_n}\to 1$ となったときの判定法ということになります．
例えば調和級数の和は $\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}$ となり
発散が言えます．
ランダウの記号 $O$ （ラージオー）
ここで、$O(\frac{1}{n^2})$ は漸近的な関数の挙動を表すランダウ記号であり、
$f(n)=O(g(n))$ であるとは、
$\limsup_{n\to \infty }|\frac{f(n)}{g(n)}|<\infty$
であることを意味します．
（スモールオー $o(g(n))$ は別の記事）
スモールオーは2つの関数の比が $0$ に収束する関数でしたが、ラージオーはその比が有界な関数です．なので、有界な関数の違いこそあれ、2つの関数は同じスピードで極限に向かうということです．漸近的に関数が近づくという言い方が確かにあっています．
また、$\limsup=\overline{\lim}$ を使っているのは、極限がたとえ定まらない場合でも、
$\sin(n)=O(1)\ \ (n\to \infty)$ のように書くためです．
他の使い方としては $3n^2+2n+1=O(n^3)\ \ (n\to \infty)$ のようになるわけです．
また、$\lim_{n\to \infty}\frac{f(n)}{g(n)}=1$ のときに
$f(n)\sim g(n)$ かくこともあります．
上の調和級数の和も、$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=O(\log(n))$ さらに、
$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\sim \log(n)$ となります．上のオイラー定数を使って
$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\log(n)+\gamma+o(1)$
となります．この $o(1)$ の $0$ に収束する部分をさらに解析していくとどうなるんでしょうか．
解析数論の人たちの仕事です．
また、さらに脱線すると、wikipediaによると
$$\sum_{p:\text{素数},p\le n}\frac{1}{p}\sim \log\log(n)$$
が成り立つようです．素数だけの調和級数を取っていっても $\log $ よりも大分緩やかですが発散します．
有名な素数定理は、$\frac1{n}\sum_{p:\text{素数},p\le n}1\sim \frac{1}{\log n}$ です．
また、$\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\log n}$ も発散します．
$\sum_{n=2}^N\frac{1}{n\log n}>\int_2^{N+1}\frac{dx}{x\log x}$
が成り立ち、$\int_2^{N+1}\frac{dx}{x\log x}=\int_{\log 2}^{\log(N+1)}\frac{1}{e^tt}e^tdt=\int_{\log 2}^{\log(N+1)}\frac{dt}{t}=[\log t]_{\log 2}^{\log(N+1)}=\log\log(N+1)-\log\log 2\to \infty $
これは上の素数だけの調和級数と同じオーダーですね．
一様収束
ある区間 $I=[a,b]$ 上の関数列 $f_n(x)$ 一様収束とは、任意の$\epsilon>0$ に対してある $N$ があって、それ以上の $n>N$ についてはみな、
$$\forall x\in I, |f_n(x)-f(x)|<\epsilon$$
なる関数 $f(x)$ が存在することをいいます．
$x\in I$ の値に限らず押し並べて（一様に）$f(x)$ に収束しています．$\epsilon$ と $N$ が$x\in I$ に依らずに取れることが重要ですが、ようするに、$M_n=\max_{x\in I}(|f_n(x)-f(x)|)$ とおくと、$M_n$が普通の収束の意味で $0$ に収束することを意味します．
関数項級数列 $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ が一様収束することは部分和の関数がある関数に一様収束することとして定義します．
また、収束関数がわからないときの一様収束の定義は
任意の$\epsilon>0$ に対してある $N$ が存在して、$n,m>N$ なる任意の $n,m$に対して、
$$\forall x\text{に対して}|f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon$$
が成り立つ
また、次のような定理が成り立ちます．
定理
関数列 $f_n(x)$ が連続であり、ある関数 $f(x)$ に一様収束するとすると、$f(x)$ も連続である．
授業では関数列 $f_n(x)=nxe^{-nx}\ \ x\in [0,1]$ を扱いました．この関数列は、各点で、$\frac{nx}{e^{nx}}<\frac{nx}{\frac{(nx)^2}{2}}<\frac1{2nx}\to 0$ が成り立つので、
各点での収束先は $0$ です．
つまり、$\max_{x\in I}|f_n(x)|$ が$0$ に収束すればよいのですが、$f'_n(x)=ne^{-nx}+nx(-n)e^{-nx}=(n-n^2x)e^{-nx}$なので、$[0,1]$ での最大値は、
$f_n(\frac{1}{n})=e^{-1}$ となります．
一様収束でないことを証明するには $\epsilon=\frac{1}{10}$ として、任意の $N$に対して
$n>N$ なる$n$ に対して、
$$x=\frac{1}{n}\text{に対して}\ \ \ |f_n(\frac{1}{n})|=e^{-1}>\frac{1}{10}$$
が成り立っている．最大値が変わらず $e^{-1}$ となるので、これは一様に $0$ に収束しているとはいえない．
ただ、一様に収束はしていないが、収束先 $f(x)=0$ は連続 である．
例題-12-3(2)
まず各点収束先がどうなるか考える．各点 $x$ において、
$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n^2+x^2}<\sum_{k=1}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$
なので、この正項級数は何か値に収束します．
任意の $\epsilon>0$ に対して、
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ は収束するので、ある、$N$ が存在して $n,m>N$ なる整数 $n,m$ は、
$0<\sum_{k=n}^m\frac{1}{k^2+x^2}<\sum_{k=n}^m\frac{1}{k^2}<\epsilon$
が成り立ちます．
この$n,m$ は $x$ に依っていないので、$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+x^2}$ は
ある関数に一様収束します．
今日は数列、級数についてやりました．
- 数列や級数が収束する条件
- 一様収束．一様収束であるための条件．
- べき級数、収束半径
級数
数列や級数が収束することの定義はおそらく春にやっていると思うのでここでは省略します．ここでは、いろいろな級数が収束することを示す方法を学びます．ここでは収束することを示すだけですが、数列が収束して値がいくつになるかということはまた別問題であり、難しい場合があります．またこれまた別問題ですが、その値がどのような値か、例えば有理数か、無理数かも難しい場合があります．値が収束する時、有理数の数列でも極限は無理数になることはもちろんあります．無理数に近づく小数展開が当たり前の例です．
級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ の収束がすぐ分からないときは収束や発散がよく分かっている級数と比べることが多いです．
収束発散がよく分かっている級数とは、例えば、$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ は発散しますが、
$\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}$ は $|r|<1$ のとき収束する．などです．
などです．
前者は、積分を使うと、$\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}>\int_1^{N+1}\frac{1}{x}dx=\log(N+1)$ が言えるので簡単に発散が示されますが、$f(n)=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\log n$ とおくと、$f(n+1)-f(n)=\frac{1}{n+1}-\log\frac{n+1}{n}=\frac{1}{n+1}(1-\log(1+\frac{1}{n})^{n+1})<0$
最後の不等式は $(1+\frac{1}{n})^{n+1}$ が単調増加で、 $e$ に近づくことからわかります．
よって、 $f(n)$ は単調減少で、$f(n)=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\log(n+1)+\log\frac{n+1}{n}>0$
が成り立ちます．また有界かつ単調減少関数は収束値を持ちますので、$\lim_{n\to \infty}f(n)$ は
収束値をもちます．この収束値のことをオイラー定数といい、$\gamma$ と書きます．
$0<\gamma<1$ ですが、有理数とも無理数とも分かっていない定数の一つです．
ところで、上の収束発散を使った応用例があります．
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}$ があります．（授業中にやりましたので省略します．）
簡単な不等式評価で、$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ に持ち込めますし、
等比級数と比べる判定としてよくあるダランベールの判定法、コーシーの判定法があります．
ダランベールの方法（収束のための十分条件）
正項級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ に対してある $r<1$ が存在して有限個の $n$ を除いて $\frac{a_{n+1}}{a_n}\le r<1$ を満たす．
コーシーの方法（収束のための十分条件）
正項級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ に対してある $r<1$ が存在して有限個の $n$ を除いて $\sqrt[n]{a_n}\le r<1$ を満たす．
どちらの判定法も $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ や $\sqrt[n]{a_n}$ が $1$ より小さいことが求められますが、この値が $1$ に収束してしまっては判定は分からなくなります．
これらの判定を当てはめる例は授業中やりましたのでここではやりません．
こちらはガウスの判定法です．
正項級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ がある正の数 $\alpha$ が存在して、
$\frac{a_n}{a_{n+1}}=1+\frac{\alpha}{n}+O(\frac{1}{n^2})$
が成り立つとき、$\alpha>1$ なら収束し、$\alpha\le 1$ なら発散する．
これは $\frac{a_{n+1}}{a_n}\to 1$ となったときの判定法ということになります．
例えば調和級数の和は $\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}$ となり
発散が言えます．
ランダウの記号 $O$ （ラージオー）
ここで、$O(\frac{1}{n^2})$ は漸近的な関数の挙動を表すランダウ記号であり、
$f(n)=O(g(n))$ であるとは、
$\limsup_{n\to \infty }|\frac{f(n)}{g(n)}|<\infty$
であることを意味します．
（スモールオー $o(g(n))$ は別の記事）
スモールオーは2つの関数の比が $0$ に収束する関数でしたが、ラージオーはその比が有界な関数です．なので、有界な関数の違いこそあれ、2つの関数は同じスピードで極限に向かうということです．漸近的に関数が近づくという言い方が確かにあっています．
また、$\limsup=\overline{\lim}$ を使っているのは、極限がたとえ定まらない場合でも、
$\sin(n)=O(1)\ \ (n\to \infty)$ のように書くためです．
他の使い方としては $3n^2+2n+1=O(n^3)\ \ (n\to \infty)$ のようになるわけです．
また、$\lim_{n\to \infty}\frac{f(n)}{g(n)}=1$ のときに
$f(n)\sim g(n)$ かくこともあります．
上の調和級数の和も、$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=O(\log(n))$ さらに、
$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\sim \log(n)$ となります．上のオイラー定数を使って
$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\log(n)+\gamma+o(1)$
となります．この $o(1)$ の $0$ に収束する部分をさらに解析していくとどうなるんでしょうか．
解析数論の人たちの仕事です．
また、さらに脱線すると、wikipediaによると
$$\sum_{p:\text{素数},p\le n}\frac{1}{p}\sim \log\log(n)$$
が成り立つようです．素数だけの調和級数を取っていっても $\log $ よりも大分緩やかですが発散します．
有名な素数定理は、$\frac1{n}\sum_{p:\text{素数},p\le n}1\sim \frac{1}{\log n}$ です．
また、$\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\log n}$ も発散します．
$\sum_{n=2}^N\frac{1}{n\log n}>\int_2^{N+1}\frac{dx}{x\log x}$
が成り立ち、$\int_2^{N+1}\frac{dx}{x\log x}=\int_{\log 2}^{\log(N+1)}\frac{1}{e^tt}e^tdt=\int_{\log 2}^{\log(N+1)}\frac{dt}{t}=[\log t]_{\log 2}^{\log(N+1)}=\log\log(N+1)-\log\log 2\to \infty $
これは上の素数だけの調和級数と同じオーダーですね．
一様収束
ある区間 $I=[a,b]$ 上の関数列 $f_n(x)$ 一様収束とは、任意の$\epsilon>0$ に対してある $N$ があって、それ以上の $n>N$ についてはみな、
$$\forall x\in I, |f_n(x)-f(x)|<\epsilon$$
なる関数 $f(x)$ が存在することをいいます．
$x\in I$ の値に限らず押し並べて（一様に）$f(x)$ に収束しています．$\epsilon$ と $N$ が$x\in I$ に依らずに取れることが重要ですが、ようするに、$M_n=\max_{x\in I}(|f_n(x)-f(x)|)$ とおくと、$M_n$が普通の収束の意味で $0$ に収束することを意味します．
関数項級数列 $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ が一様収束することは部分和の関数がある関数に一様収束することとして定義します．
また、収束関数がわからないときの一様収束の定義は
任意の$\epsilon>0$ に対してある $N$ が存在して、$n,m>N$ なる任意の $n,m$に対して、
$$\forall x\text{に対して}|f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon$$
が成り立つ
また、次のような定理が成り立ちます．
定理
関数列 $f_n(x)$ が連続であり、ある関数 $f(x)$ に一様収束するとすると、$f(x)$ も連続である．
授業では関数列 $f_n(x)=nxe^{-nx}\ \ x\in [0,1]$ を扱いました．この関数列は、各点で、$\frac{nx}{e^{nx}}<\frac{nx}{\frac{(nx)^2}{2}}<\frac1{2nx}\to 0$ が成り立つので、
各点での収束先は $0$ です．
つまり、$\max_{x\in I}|f_n(x)|$ が$0$ に収束すればよいのですが、$f'_n(x)=ne^{-nx}+nx(-n)e^{-nx}=(n-n^2x)e^{-nx}$なので、$[0,1]$ での最大値は、
$f_n(\frac{1}{n})=e^{-1}$ となります．
一様収束でないことを証明するには $\epsilon=\frac{1}{10}$ として、任意の $N$に対して
$n>N$ なる$n$ に対して、
$$x=\frac{1}{n}\text{に対して}\ \ \ |f_n(\frac{1}{n})|=e^{-1}>\frac{1}{10}$$
が成り立っている．最大値が変わらず $e^{-1}$ となるので、これは一様に $0$ に収束しているとはいえない．
ただ、一様に収束はしていないが、収束先 $f(x)=0$ は連続 である．
例題-12-3(2)
まず各点収束先がどうなるか考える．各点 $x$ において、
$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n^2+x^2}<\sum_{k=1}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$
なので、この正項級数は何か値に収束します．
任意の $\epsilon>0$ に対して、
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ は収束するので、ある、$N$ が存在して $n,m>N$ なる整数 $n,m$ は、
$0<\sum_{k=n}^m\frac{1}{k^2+x^2}<\sum_{k=n}^m\frac{1}{k^2}<\epsilon$
が成り立ちます．
この$n,m$ は $x$ に依っていないので、$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+x^2}$ は
ある関数に一様収束します．
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