[数学1 クラス対象（金曜日5限）]
曲面積
第10回の前半では線積分を行いました．対応して面積分というものもあります．
とりあえず、用意するのは空間の中の曲面 $S$ と空間上の関数 $f(x,y,z)$ です．
そのとき、面素 $dS$ というのを、定義することができます．
その前に曲線の時のように $S$ にパラメータを導入する必要があります．
それを、 $S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ とします．曲線の時と違ってパラメータが２つあるのは曲面の自由度が２個あるからです．このパラメータは、$(u,v)$-平面のある領域から、空間の $S$ への一対一の連続写像であることがわかります．つまり
$$\{(u,v)\text{-平面}\}\supset D \to S\subset {\Bbb R}^3$$
となります．
これは曲線が数直線上のある線分からの連続写像としてパラメータづけがあることからすれば極自然なことです．
このとき、面積分は、このパラメータを使って
$$\int_Df(S(u,v))\left|S_u\times S_v\right|dudv$$
と定義されます．
ところで、$S_u,S_v$ はベクトル値関数 $S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ の偏微分で、
$S_u=(x_u,y_u,z_u)$ かつ $S_v=(x_v,y_v,z_v)$ です．
さらに、$\times$ はベクトル積で、線形代数で登場するものですが、ここでは、
$$S_u\times S_v=\det\begin{pmatrix}{\bf e}_1&{\bf e}_2&{\bf e}_3\\x_u&y_u&z_u\\x_v&y_v&z_v\end{pmatrix}$$
を意味します．
ここで、${\bf e}_1,{\bf e}_2,{\bf e}_3$ は ${\Bbb R}^3$ 上の標準基底です．つまり、上の式の意味は、第一行に沿って展開してやることで、$S_u\times S_v$ は
$$S_u\times S_v=\left(\det\begin{pmatrix}y_u&z_u\\y_v&z_v\end{pmatrix},-\det\begin{pmatrix}x_u&z_u\\x_v&z_v\end{pmatrix},\det\begin{pmatrix}x_u&y_u\\x_v&y_v\end{pmatrix}\right)$$
$$=\left(\det\begin{pmatrix}y_u&z_u\\y_v&z_v\end{pmatrix},\det\begin{pmatrix}z_u&x_u\\z_v&x_v\end{pmatrix},\det\begin{pmatrix}x_u&y_u\\x_v&y_v\end{pmatrix}\right)$$
この面積分の特徴は、線積分の時と同じようにパラメータの取り方に依らず、${\Bbb R}^3$ に埋め込まれた曲面の形状と、その周りの関数 $f(x,y,z)$ にしか依りません．
$$\int_Sf\cdot dS$$
と書くことがあります．ここにでてくる $dS$ が面素というやつです．これは、積分をするときに後ろにつける $dx$ とか、$dxdy$ とかそういうたぐいの微小量のことです．微小単位といってもよいですが、 $S$ が曲がった曲面の場合は曲がり具合に合わせて変わります．
上の計算では、これは、$\left|S_u\times S_v\right|dudv$ と計算されるものであり、パラメータ表示で曲面を表示したときに、 $(u,v)$-平面の微小量 $dudv$ を $\left|S_u\times S_v\right|$ だけ引き延ばしたものです． 言い換えれば、$dudv$ は $(u,v)$-平面の微小な単位区画のことであり、 $\left|S_u\times S_v\right|$ はそれを、パラメータの写像で写したときに、引き延ばされる面積の割合だと思ってください．
$$(1,0)\to S_u,\ \ \ (0,1)\to S_v$$
のように引き延ばされるので、 面積として $|S_u\times S_v|$ だけ引き延ばされるのです．
ところで、演習の授業では空間の中の曲面の面積を求めることを行いました．
$S$ の面積を求めることは、今の説明の中では、$f(x,y,z)=1$ となる関数の面積分を行ったことに対応します．$S$ の上の高さ $1$ の $S$-柱の体積を求めていると思えばこれまた然りです．
$S_u\times S_v$ は $S_u$ と $S_v$ と直交し、その長さは、$S_u$ と $S_v$ で作られる空間内の平行四辺形の面積と一致します．このことについては最後に書いています．
$$|S_u\times S_v|^2=\left(\det\begin{pmatrix}y_u&z_u\\y_v&z_v\end{pmatrix}\right)^2+\left(\det\begin{pmatrix}z_u&x_u\\z_v&x_v\end{pmatrix}\right)^2+\left(\det\begin{pmatrix}x_u&y_u\\x_v&y_v\end{pmatrix}\right)^2=(x_u^2+y_u^2+z_u^2)(x_v^2+y_v^2+z_v^2)-(x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v)^2\hspace{2cm} (\ast)$$
となります．
これは、 $|S_u\times S_v|$ は $S_u$ と $S_v$ で作られる平行四辺形の面積なので、$|S_u\times S_v|^2=|S_u|^2|S_v|^2\sin^2\theta$ です．ここで $\theta$ は二つのベクトルの間の角度です．
高校のときに、2辺の長さ $a,b$ と間の角が $\theta$ の三角形の面積は
$$\frac{1}{2}ab|\sin\theta|$$
と習ったでしょう．平行四辺形は三角形2つ分だから、 $ab|\sin\theta|$ となるわけです．
これをさらに変形すれば、$|S_u|^2|S_v|^2(1-\cos^2\theta)=|S_u|^2|S_v|^2-|S_u|^2|S_v|^2\cos^2\theta=|S_u|^2|S_v|^2-(S_u\cdot S_v)^2$
となるからです．
ここで、$E=|S_u|^2$ と $F=S_u\cdot S_v$, $G=|S_v|^2$ と置けば、
$|S_u\times S_v|^2=EG-F^2$ となります．
それで、 $|S_u\times S_v|=\sqrt{EG-F^2}$ となります．
なので、授業で説明なしに教えた公式は、空間内の曲面の面積は
$$\int\int_D\sqrt{EG-F^2}dudv$$
となるわけです．今までのことからして、面積の計算は曲面の面積はパラメータの取り方に依らないのです．
宿題に出したトーラス（ドーナツ）の面積も、どんなパラメータ表示をしても値は変わりません．つまり曲面の面積は、空間に埋め込まれた曲面の形状にしか依らない幾何学的な量と言えます．特にこのように計算した面積は、図形を平行移動をしたり回転をしても変わりません．
しかし、面積がわかったからと言って図形がわかるとも限りません．
今計算した、$E,F,G$ は、曲面の第一基本量といいます．
また、この $E,F,G$ を
$$I=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2$$
と書いて第一基本形式といいます．
この形式は、形式は形式でも、微分形式の形式とは少し違うものです．
説明はここではすぐに出来ないのでまたどこか他の場所で．
ちなみに、名前から推察するに第一基本形式以外にも第二基本形式というのもあります．実は第一基本形式は曲面の曲がり方（ガウス曲率）と深くかかわっていますが、第二基本形式は曲面の ${\Bbb R}^3$ への埋め込まれ方としての曲がり方、面積とかかわる曲率（平均曲率）と関係します．
第一基本量や第二基本量のそれぞれは、座標の取り方によって変わってくる量です．つまり、基本量をそれぞれを見ても幾何学的な面白さは見えてきません．しかし、それを組み合わせて曲率（ここでは曲率そのものを定義していないので少々苦しいのですが....）とすると、それは座標の取り方に依らなくなるのです．組み合わせないとそのような大事な量が取り出せないのですが、やはり大事なことは見えにくいという世の中の真理を突いているのでしょうか．
どちらの曲率も現在の"微分幾何学"の研究において、主要な役割を果たしています．
これらに関しては２年生以降で幾何学の授業で習ってください．
ここでは、とりあえず曲面の面積が上のようにして重積分として求められればよいです．
演習の授業でも取り上げた曲面積の計算をここでもやっておきます．
$z=x^2+y^2$ となる空間内のグラフの $x^2+y^2\le r^2$ での部分での面積を求めてみます．
定義から、$D=\{(x,y)|x^2+y^2\le r^2\}$ とし、$S(x,y)=(x,y,x^2+y^2)$ としますと、
$E=1+4x^2, G=1+4y^2$ $F=4xy$ となります．
$EG-F^2=(1+4x^2)(1+4y^2)-(4xy)^2=1+4x^2+4y^2$
ゆえに、極座標 $x=s\cos\theta,y=s\sin\theta$ をして曲面積を計算をすれば、
$$\int\int_D\sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy=\int_0^{2\pi}\int_0^r\sqrt{1+4s^2}sdsd\theta=2\pi\int_0^r\sqrt{1+4s^2}sds$$
$$=2\pi\frac{1}{8}\left[\frac23(1+4s^2)^{\frac32}\right]_0^r=\frac{\pi}{6}\left((1+4r^2)^{\frac32}-1\right)$$
となります．
$S_u\times S_v$ の長さが空間内の $S_u,S_v$ で作られる平行四辺形の面積であること．
${\bf f}\in{\Bbb R}^3$ を$S_u,S_v$ の両方に垂直な長さが $1$ のベクトルとします． $\det\begin{pmatrix}{\bf f}\\S_u\\S_v\end{pmatrix}$ はこれらのベクトルを並べてできる行列の行列式とします．
そうすると、この行列式は、$\{{\bf e},S_u,S_v\}$ で作られる平行六面体の体積 $V$ と一致します．これは春学期の授業に登場しました．この平行六面体は平行四辺柱であり、高さが1なので、$V$は底面の平行四辺形の面積と一致します．また、行列式を展開すれば
$$\det\begin{pmatrix}{\bf f}\\S_u\\S_v\end{pmatrix}=f_1\det\begin{pmatrix}y_u&z_u\\y_v&z_v\end{pmatrix}+f_2\det\begin{pmatrix}z_u&x_u\\z_v&x_v\end{pmatrix}+f_3\det\begin{pmatrix}x_u&y_u\\x_v&y_v\end{pmatrix}$$
となります．${\bf f}=(f_1,f_2,f_3)$ とします．
この式は内積を使うことで、 ${\bf f}\cdot (S_u\times S_v)=|{\bf f}||S_u\times S_v|\cos\varphi$ と書けます．$|{\bf f}|=1$ であり、${\bf e}$ も $S_u\times S_v$ $S_u$ と $S_v$ の両方に垂直なベクトルですので、 $\varphi=0$ が成り立ちます．
結局のところ、$V=|S_u\times S_v|$ となるわけです．これは平行四辺形の面積でもあるので、上の表題のことがなりたつのです．
曲面積
第10回の前半では線積分を行いました．対応して面積分というものもあります．
とりあえず、用意するのは空間の中の曲面 $S$ と空間上の関数 $f(x,y,z)$ です．
そのとき、面素 $dS$ というのを、定義することができます．
その前に曲線の時のように $S$ にパラメータを導入する必要があります．
それを、 $S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ とします．曲線の時と違ってパラメータが２つあるのは曲面の自由度が２個あるからです．このパラメータは、$(u,v)$-平面のある領域から、空間の $S$ への一対一の連続写像であることがわかります．つまり
$$\{(u,v)\text{-平面}\}\supset D \to S\subset {\Bbb R}^3$$
となります．
これは曲線が数直線上のある線分からの連続写像としてパラメータづけがあることからすれば極自然なことです．
このとき、面積分は、このパラメータを使って
$$\int_Df(S(u,v))\left|S_u\times S_v\right|dudv$$
と定義されます．
ところで、$S_u,S_v$ はベクトル値関数 $S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ の偏微分で、
$S_u=(x_u,y_u,z_u)$ かつ $S_v=(x_v,y_v,z_v)$ です．
さらに、$\times$ はベクトル積で、線形代数で登場するものですが、ここでは、
$$S_u\times S_v=\det\begin{pmatrix}{\bf e}_1&{\bf e}_2&{\bf e}_3\\x_u&y_u&z_u\\x_v&y_v&z_v\end{pmatrix}$$
を意味します．
ここで、${\bf e}_1,{\bf e}_2,{\bf e}_3$ は ${\Bbb R}^3$ 上の標準基底です．つまり、上の式の意味は、第一行に沿って展開してやることで、$S_u\times S_v$ は
$$S_u\times S_v=\left(\det\begin{pmatrix}y_u&z_u\\y_v&z_v\end{pmatrix},-\det\begin{pmatrix}x_u&z_u\\x_v&z_v\end{pmatrix},\det\begin{pmatrix}x_u&y_u\\x_v&y_v\end{pmatrix}\right)$$
$$=\left(\det\begin{pmatrix}y_u&z_u\\y_v&z_v\end{pmatrix},\det\begin{pmatrix}z_u&x_u\\z_v&x_v\end{pmatrix},\det\begin{pmatrix}x_u&y_u\\x_v&y_v\end{pmatrix}\right)$$
この面積分の特徴は、線積分の時と同じようにパラメータの取り方に依らず、${\Bbb R}^3$ に埋め込まれた曲面の形状と、その周りの関数 $f(x,y,z)$ にしか依りません．
$$\int_Sf\cdot dS$$
と書くことがあります．ここにでてくる $dS$ が面素というやつです．これは、積分をするときに後ろにつける $dx$ とか、$dxdy$ とかそういうたぐいの微小量のことです．微小単位といってもよいですが、 $S$ が曲がった曲面の場合は曲がり具合に合わせて変わります．
上の計算では、これは、$\left|S_u\times S_v\right|dudv$ と計算されるものであり、パラメータ表示で曲面を表示したときに、 $(u,v)$-平面の微小量 $dudv$ を $\left|S_u\times S_v\right|$ だけ引き延ばしたものです． 言い換えれば、$dudv$ は $(u,v)$-平面の微小な単位区画のことであり、 $\left|S_u\times S_v\right|$ はそれを、パラメータの写像で写したときに、引き延ばされる面積の割合だと思ってください．
$$(1,0)\to S_u,\ \ \ (0,1)\to S_v$$
のように引き延ばされるので、 面積として $|S_u\times S_v|$ だけ引き延ばされるのです．
ところで、演習の授業では空間の中の曲面の面積を求めることを行いました．
$S$ の面積を求めることは、今の説明の中では、$f(x,y,z)=1$ となる関数の面積分を行ったことに対応します．$S$ の上の高さ $1$ の $S$-柱の体積を求めていると思えばこれまた然りです．
$S_u\times S_v$ は $S_u$ と $S_v$ と直交し、その長さは、$S_u$ と $S_v$ で作られる空間内の平行四辺形の面積と一致します．このことについては最後に書いています．
$$|S_u\times S_v|^2=\left(\det\begin{pmatrix}y_u&z_u\\y_v&z_v\end{pmatrix}\right)^2+\left(\det\begin{pmatrix}z_u&x_u\\z_v&x_v\end{pmatrix}\right)^2+\left(\det\begin{pmatrix}x_u&y_u\\x_v&y_v\end{pmatrix}\right)^2=(x_u^2+y_u^2+z_u^2)(x_v^2+y_v^2+z_v^2)-(x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v)^2\hspace{2cm} (\ast)$$
となります．
これは、 $|S_u\times S_v|$ は $S_u$ と $S_v$ で作られる平行四辺形の面積なので、$|S_u\times S_v|^2=|S_u|^2|S_v|^2\sin^2\theta$ です．ここで $\theta$ は二つのベクトルの間の角度です．
高校のときに、2辺の長さ $a,b$ と間の角が $\theta$ の三角形の面積は
$$\frac{1}{2}ab|\sin\theta|$$
と習ったでしょう．平行四辺形は三角形2つ分だから、 $ab|\sin\theta|$ となるわけです．
これをさらに変形すれば、$|S_u|^2|S_v|^2(1-\cos^2\theta)=|S_u|^2|S_v|^2-|S_u|^2|S_v|^2\cos^2\theta=|S_u|^2|S_v|^2-(S_u\cdot S_v)^2$
となるからです．
ここで、$E=|S_u|^2$ と $F=S_u\cdot S_v$, $G=|S_v|^2$ と置けば、
$|S_u\times S_v|^2=EG-F^2$ となります．
それで、 $|S_u\times S_v|=\sqrt{EG-F^2}$ となります．
なので、授業で説明なしに教えた公式は、空間内の曲面の面積は
$$\int\int_D\sqrt{EG-F^2}dudv$$
となるわけです．今までのことからして、面積の計算は曲面の面積はパラメータの取り方に依らないのです．
宿題に出したトーラス（ドーナツ）の面積も、どんなパラメータ表示をしても値は変わりません．つまり曲面の面積は、空間に埋め込まれた曲面の形状にしか依らない幾何学的な量と言えます．特にこのように計算した面積は、図形を平行移動をしたり回転をしても変わりません．
しかし、面積がわかったからと言って図形がわかるとも限りません．
今計算した、$E,F,G$ は、曲面の第一基本量といいます．
また、この $E,F,G$ を
$$I=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2$$
と書いて第一基本形式といいます．
この形式は、形式は形式でも、微分形式の形式とは少し違うものです．
説明はここではすぐに出来ないのでまたどこか他の場所で．
ちなみに、名前から推察するに第一基本形式以外にも第二基本形式というのもあります．実は第一基本形式は曲面の曲がり方（ガウス曲率）と深くかかわっていますが、第二基本形式は曲面の ${\Bbb R}^3$ への埋め込まれ方としての曲がり方、面積とかかわる曲率（平均曲率）と関係します．
第一基本量や第二基本量のそれぞれは、座標の取り方によって変わってくる量です．つまり、基本量をそれぞれを見ても幾何学的な面白さは見えてきません．しかし、それを組み合わせて曲率（ここでは曲率そのものを定義していないので少々苦しいのですが....）とすると、それは座標の取り方に依らなくなるのです．組み合わせないとそのような大事な量が取り出せないのですが、やはり大事なことは見えにくいという世の中の真理を突いているのでしょうか．
どちらの曲率も現在の"微分幾何学"の研究において、主要な役割を果たしています．
これらに関しては２年生以降で幾何学の授業で習ってください．
ここでは、とりあえず曲面の面積が上のようにして重積分として求められればよいです．
演習の授業でも取り上げた曲面積の計算をここでもやっておきます．
$z=x^2+y^2$ となる空間内のグラフの $x^2+y^2\le r^2$ での部分での面積を求めてみます．
定義から、$D=\{(x,y)|x^2+y^2\le r^2\}$ とし、$S(x,y)=(x,y,x^2+y^2)$ としますと、
$E=1+4x^2, G=1+4y^2$ $F=4xy$ となります．
$EG-F^2=(1+4x^2)(1+4y^2)-(4xy)^2=1+4x^2+4y^2$
ゆえに、極座標 $x=s\cos\theta,y=s\sin\theta$ をして曲面積を計算をすれば、
$$\int\int_D\sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy=\int_0^{2\pi}\int_0^r\sqrt{1+4s^2}sdsd\theta=2\pi\int_0^r\sqrt{1+4s^2}sds$$
$$=2\pi\frac{1}{8}\left[\frac23(1+4s^2)^{\frac32}\right]_0^r=\frac{\pi}{6}\left((1+4r^2)^{\frac32}-1\right)$$
となります．
$S_u\times S_v$ の長さが空間内の $S_u,S_v$ で作られる平行四辺形の面積であること．
${\bf f}\in{\Bbb R}^3$ を$S_u,S_v$ の両方に垂直な長さが $1$ のベクトルとします． $\det\begin{pmatrix}{\bf f}\\S_u\\S_v\end{pmatrix}$ はこれらのベクトルを並べてできる行列の行列式とします．
そうすると、この行列式は、$\{{\bf e},S_u,S_v\}$ で作られる平行六面体の体積 $V$ と一致します．これは春学期の授業に登場しました．この平行六面体は平行四辺柱であり、高さが1なので、$V$は底面の平行四辺形の面積と一致します．また、行列式を展開すれば
$$\det\begin{pmatrix}{\bf f}\\S_u\\S_v\end{pmatrix}=f_1\det\begin{pmatrix}y_u&z_u\\y_v&z_v\end{pmatrix}+f_2\det\begin{pmatrix}z_u&x_u\\z_v&x_v\end{pmatrix}+f_3\det\begin{pmatrix}x_u&y_u\\x_v&y_v\end{pmatrix}$$
となります．${\bf f}=(f_1,f_2,f_3)$ とします．
この式は内積を使うことで、 ${\bf f}\cdot (S_u\times S_v)=|{\bf f}||S_u\times S_v|\cos\varphi$ と書けます．$|{\bf f}|=1$ であり、${\bf e}$ も $S_u\times S_v$ $S_u$ と $S_v$ の両方に垂直なベクトルですので、 $\varphi=0$ が成り立ちます．
結局のところ、$V=|S_u\times S_v|$ となるわけです．これは平行四辺形の面積でもあるので、上の表題のことがなりたつのです．
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