[物理2 クラス対象（金曜日4限）]
このページは、筑波大学の物理２クラス対象の線形代数II演習について
のブログです．
TAは宮本君が付いてくれました．とりあえず、授業時間内にいてくれるようですので、
質問がある人は、彼にもどしどし質問してみてください．
ところで、秋学期が始まりました。
このブログはもともと数学手習い塾の様子を主に伝えていましたが、
今学期は私の授業についてのブログも兼ねようと思います．
（手習い塾について一応宣伝しておくと.....）
筑波大学の学期中に毎週水曜日５，６限を使って、1E403に設けられた
学類生を対象とした数学質問コーナーです。
いつも、何人かの院生が待機しており、その時間にいつでも
数学の質問を受け付けることができます。
数学の内容の質問はもちろんのこと、数学の院生の生活やその実態
院試の難しさなど質問してもよいのではないでしょうか？
春学期は数学徒のみを対象としていたようですが、
秋学期からは、他の物理、化学、地球にも対象が広げられました。（のはずです。）
是非とも皆様ご活用ください。
ここで、線形代数II演習に戻りますが、今日やったことは、
- 春学期の復習（主に連立一次方程式の解き方）
- ベクトル空間であることの示し方．
- 部分ベクトル空間であることの示し方
まず、春学期にやった連立一次方程式の解法は
いつでも計算できるようにしておくことが必要不可欠です．
今後は、いろいろなベクトル空間がでてきますが、最終的に、解を求めたり、
一次独立なベクトルを見つけたりするのは、決まって連立一次方程式を
解くことに帰着します（特に簡約化や基本変形）．
今学期、まず、最初に身につけることは、いろいろな場面に潜むベクトル空間です。
ベクトル空間（ベクトルの構造をもつもの）とは一体どのようなものなのか？それはどうやって示されるのかということです。
いままで習ったベクトル空間では、${\Bbb C}^n$ やら、${\Bbb R}^n$ なんかが
あって、$(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ と書けるものがベクトルであって、どんなベクトルも
このように書けると認識しているかもしれませんが、それも性質の一つといえば
そうですが、実は、
ベクトルの本質は、このように成分でかけることというわけではありません。
ベクトル空間の本質は、和とスカラー倍がある性質を満たすように
定義されていることです．（これは線形性といいます．）
（このある性質とは、教科書で出てきたベクトル空間の８つの性質（VS1-VS8）のことです．）
ちょっと抽象的（アブストラクト）ですが。数学っていつもこんな感じです．
大事なことはいつも抽象的に記述されることが多いのです．（その理由は後でかきますが....）
だから、数学の本は抽象的な定義であふれていて、無味乾燥な感じがします．
でも、定義の一つ一つは実は大事で、意味であふれているのです．
今日、ベクトル空間であるために何をすればいいか教えましたが、
これは、単なる集合に、ベクトル空間という命を吹き込む作業だと思ってください．
数学の定義は実は一つ一つ生き物なのです．
今日の授業は今学期の中で一番重要だといえるでしょう．
つまり、やる作業は
単なる集合（たとえば、${\Bbb C}^n$）を用意し、
加法とスカラー倍を定義します．
例えば、$(x_1,x_2,\cdots,x_n)+(y_1,y_2,\cdots,y_n)=(x_1+y_1,x_2+y_2,\cdots,x_n+y_n)$
と
$\alpha(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(\alpha x_1,\alpha x_2,\cdots,\alpha x_n)$ など．
それが、教科書にある、VS1からVS8 まで満たすかどうかチェックする．
そうして初めて、ある集合がベクトル空間になれるのです．
これは、
単なるサイヤ人→スーパーサイヤ人になる
普通の女の子→プリキュアになる
みたいな感じでしょうか。
また、どこまで厳密に示せばよいか分からないという人がいましたが、
それは正しい感覚で、
どこまでもどればいいのだろう？どこまで使っていいのだろう？
と考えながらやることは、当たり前の感覚がどこまで当たり前なのかを探ることにになります．
でも、その基準は感覚の問題ではなく、使っている操作全てが定義から来ているか
が判断基準です．
つまり、全ての操作は定義から導出しなければなりません．
こうすると、抽象的に定義したおかげで、普段ベクトルだと思えないものもこれからベクトル
と思うことができるようになります．（集合として、${\Bbb C}^n$ や ${\Bbb R}^n$ で
ないようなものでも．）
ベクトルは矢印のことだという認識は高校まででしょう．
抽象的な定義をした一番の理由は、適用範囲を最大限広げるためなのです．
結果、集合の形にとらわれないで思考を広げることができます．
でも、これはある種、お寺の修行のようなものです．
あるものをじーっとみていると、何かが見えてきて、なるほど、とはっとするわけです．
別に滝に打たれたりする必要はありませんが．
最初の修行は多項式全体です．
教科書では、${\Bbb K}[X]$ と書かれています．
$${\Bbb K}[X]=\{f(X)|f(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\cdots +a_nX^n\}$$
です．この集合は上のような ${\Bbb C}^n$ や ${\Bbb R}^n$ の形では
有りませんが、よくよく見てみると、ベクトルの性質を持っています．
これは宿題でも、B問題でも出してみましたが。
このような多項式全体の集合はこれまで考えたことがなかったかもしれません。
多項式というと普通単独で使ったり、関数として微分してみたりすることが多かったからです．
扱うのに戸惑うかもしれませんが、
この集合はベクトル空間と思うには、率直に、
$V={\Bbb K}[X]$ とおいてやって、${\bf v}\in V$となるベクトルは
${\bf v}=a_0+a_1X+a_2X^2+\cdots +a_nX^n$ となるだけです．
べつのベクトルは、${\bf w}=b_0+b_1X+b_2X^2+\cdots +b_mX^m$ とかけますが、
$n\le m$ であれば、$a_{n+1},a_{n+2},\cdots,a_m$は全て$0$としておき、
${\bf v}=a_0+a_1X+a_2X^2+\cdots +a_mX^m$
加法は授業でやったとおり、
${\bf v}+{\bf w}=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)X+(a_2+b_2)X^2+\cdots +(a_m+b_m)X^m$
とすればよいわけです．
このような操作はある程度は慣れが必要ですね．
まとめ
- まずは、多項式全体がベクトル空間であることが見えるか？
- $V$ がベクトル空間であることを示す方法（次のいずれか）
1. 集合に加法とスカラー倍が定義されており、８つの条件を満たすことをチェックする．
2. $V$ がもっと大きいベクトル空間 $U$ に入っていて、（つまり$V\subset U$ となっており）
$U$ がベクトル空間であることが分かっているとき、$V$ が $U$ の部分ベクトル空間
であるなら、$V$はベクトル空間になっている． - $\emptyset\neq W\subset V$ が部分ベクトル空間であることを示す方法（次の全てを満たす）
${\bf v}, {\bf w}\in W$, $\alpha\in {\Bbb K}$ のときに、
1. ${\bf v}+{\bf w}\in W$
2. $\alpha {\bf v}\in W$
ただし、${\Bbb K}$ はスカラー倍．
2で示されるのは、たとえば、数ベクトル空間内の（斉次）連立一次方程式の解空間など．
注意：教科書では多項式全体は ${\Bbb R}[X]$ と書かれており、講義や今日の演習の方では、
$P({\Bbb R})$ と書きました．なぜ、同じものなのに違う記号で書いているかというと、
${\Bbb R}[X]$ は単なる代数的な式であり、$P({\Bbb R})$ の方は${\Bbb R}$上の
多項式で定義される多項式関数と思っているからです．多項式があれば、それから作られる
多項式関数があり、多項式関数があれば、その関数を定義している多項式があるわけだから、
実質的には両者は同じもの（正確には同一視できるもの）ではありますが、
式と関数は似て非なるものであります．そもそも$P({\Bbb R})$ は関数だから、
連続関数など関数空間の部分集合とみなされる点でも違うことがわかるでしょう．
この授業では必要がなければそれほど厳密に区別はしないことにします．
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