平方数の差と隣り合う整数の積の差

今日は九九の話です．

この前、手習い塾に行ったときに話していた学生が言っていたこと....

$6\times 8$ は $7^2-1$ を計算すればよい．

すぐに何を言っているのか分かりませんでした．
もちろん正しいのは分かるのですが．

要は

$a(a+2)$ を計算するには、 よくある和と差の積 $(b-1)(b+1)=b^2-1$ を計算
するというわけですが．つまり、$a=b-1$ とするわけです．

つまり、九九のうち $6\times 8$ を知らなくても、$7\times7$ を知っているだけで
そこから誤差 $1$ を引くだけで計算できるということですが．

実際、九九は本当に８１個覚えなければならないのでしょうか？
まず、掛け算の可換性が明らかだとすると、$(1+9)\cdot 9/2=45$ 個だけでいいのですが、

さっきのように、誤差がわかっていれば、$6\times 8$ は覚える必要はありません．
そうすると

$n\times(n+2)$ は $(n+1)^2$ から $1$ を引けばよいわけだから平方数 $n^2$ を
覚えていればよい．

また、偶数個離れていても、

$(n+m)(n-m)=n^2-m^2$ と 平方数が分かっていれば引き算すればよい．

$2\times 6$ や$3\times 9$ 等は、平方数より重要度が低いことになります．
例えば $2\times 6$ は、掛けているふたつの数 $2,6$の平均の $4$ の平方を計算し、
2数 $2,6$ の平均からのからのずれ $2$ の平方をとればよい．
つまり、$2\times 6=4^2-2^2$

同じように、$3,9$ の積に対しては、2つの平均の $6$の平方から、ずれの $3$
の平方の差を計算すればよい．
つまり、$3\times 9=6^2-3^2$ となります．

では、奇数個離れている積はどうすればよいでしょうか？
$n(n+1)$や$n(n+3)$はどうすればよいか？

しかし、2や 10は平方数の差を計算しても出てきません．

仕方がないから $n(n+1)$ も覚えましょうか．

そうすると、

$n(n+2m+1)=(k-m)(k+m+1)=k^2-m^2+k-m=k(k+1)-m(m+1)$

となり、全ての奇数の差の積は $n(n+1)$ の形の差として書けることがわかりました．

つまり、

$2\times 5=2(2+3)=3\times 4-1\times 2$ や
$3\times 8=3(3+5)=5(5+1)-2(2+1)$

などととなります．
つまり、掛ける２つの数の平均の整数部分 $n$ の $n(n+1)$ から $n$ と小さい方との差
$m$ に対する $m(m+1)$ を引く．

全ての整数の掛け算は偶数差か奇数差なので、$n^2$ と $n(n+1)$ を覚えていれば、
任意の $n\times m$がそれらの引き算で計算出来ることになります．

九九を平方数のところと、$n\times (n+1)$ のところを書いておきます．

$1$	$2$	$1\times 3$	$1\times 4$	$1\times 5$	$1\times 6$	$1\times 7$	$1\times8$	$1\times 9$
$2$	$4$	$6$	$2\times4$	$2\times 5$	$2\times 6$	$2\times 7$	$2\times 8$	$2\times 9$
$3\times 1$	$6$	$9$	$12$	$3\times 5$	$3\times 6$	$3\times7$	$3\times 8$	$3\times 9$
$4\times 1$	$4\times 2$	$12$	$16$	$20$	$4\times 6$	$4\times 7$	$4\times 8$	$4\times 9$
$5\times 1$	$5\times 2$	$5\times 3$	$20$	$25$	$30$	$5\times 7$	$5\times 8$	$5\times 9$
$6\times 1$	$6\times 2$	$6\times 3$	$6\times 4$	$30$	$36$	$42$	$6\times 8$	$6\times 9$
$7\times 1$	$7\times 2$	$7\times 3$	$7\times 4$	$7\times 5$	$42$	$49$	$56$	$7\times 9$
$8\times 1$	$8\times 2$	$8\times 3$	$8\times 4$	$8\times 5$	$8\times 6$	$56$	$64$	$72$
$9\times 1$	$9\times 2$	$9\times3$	$9\times 4$	$9\times 5$	$9\times 6$	$9\times 7$	$72$	$81$

九九のその他の表をそれらの差で書いていくと

$1$	$2$	$4-1$	$6-2$	$9-4$	$12-6$	$16-9$	$20-12$	$25-16$
	$4$	$6$	$9-1$	$12-2$	$16-4$	$20-6$	$25-9$	$30-12$
		$9$	$12$	$16-1$	$20-2$	$25-4$	$30-6$	$36-9$
			$16$	$20$	$25-1$	$30-2$	$36-4$	$42-6$
				$25$	$30$	$36-1$	$42-2$	$49-4$
					$36$	$42$	$49-1$	$56-2$
						$49$	$56$	$64-1$
							$64$	$72$
								$81$

となり、見事に、その他の三角の部分は平方数の差や $n(n+1)$ の形の数の差として
表せることが分かりました．

よって、分かったことは、

定理
任意の自然数は平方数（$0$も含めて）の差、もしくは、$n(n+1)$の形の数（$0$を含めて）
の差として表せる．

特に九九の計算においては、平方数と $n(n+1)$ の数を覚えておけば、適当に差をとることで
全て求めることができる．