微積分II演習（第2回）（後半）

[数学1クラス対象（金曜日5限）]

第2回プリント

HPに行く．

後半です．
前半では全微分可能であることを定義に基づいて示しました．
後半ではその続きです。

まず、全微分可能であることを偏導関数 $f_x(x,y)$, $f_y(x,y)$ が連続であることから導く
方法ですが、これは授業でもやりましたのでここでは省略します．

実際、宿題2-3はそれをやる問題です．

もしまったく分からないという人がコメントかメールをください．
そのときはやり方をもういちど書きます．

ここからは全微分可能でないことを定義を用いて示すことにします。

その例となっていたのが、$\sqrt{|xy|}$ でした．、

偏微分係数 $f_x(0,b)$ を求めてみましょう．
授業でやりましたが、その係数は

$\lim_{x\to 0}\frac{f(x,b)-f(0,b)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{|xb|}}{x}=\sqrt{|b|}\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{|x|}}{x}$

ですが、$b\neq 0$ では、この極限は、$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{|x|}}{x}$
が存在するかどうかにかかっていますが、
右極限は、$\infty$ に左極限は$-\infty$ に発散してしまいます．
よって、偏微分できないことが言えます．

つまり、$b\neq 0$ では、$(0,b)$ では全微分できません．
この ”$b\neq 0$ では”というところは授業では抜けていたと思います．


しかし、$b=0$ とするとどうでしょう．
$\lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=0$
となり、収束しますから、偏微分可能です．
もちろん $y$ 方向にも偏微分可能です．
$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$ です．

では、原点では全微分可能でしょうか？
しかし、偏微分可能だからといって、全微分可能とはいませんので
証明が必要です．

この関数が $(0,0)$ で全微分可能かどうか調べましょう．
これは授業ではしませんでしたね．

今、$(0,0)$ では関数は偏微分できますから、
全微分可能かどうかは定義に戻るしかありません．
もし、全微分できるとすると、

$f(x,y)=f(0,0)+\alpha x+\beta y+o(\sqrt{x^2+y^2})$
となりますが、いま、$\alpha=f_x(0,0)=0$ かつ、$\beta=f_y(0,0)=0$
です．
よって、$f(x,y)=\sqrt{|xy|}=o(\sqrt{x^2+y^2})\ \ \ \ (x,y)\to (0,0)$
かどうかを調べればよいことになります．

$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\sqrt{|xy|}}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$
であれば、全微分可能です．

${\bf x}_n=(\frac{1}{n},\frac{1}{n})$ としますと、
$\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}}}{\sqrt{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
となり、$0$ に収束しません．

他の点列を考えれば分かる通り、この極限はそもそも収束はしません． 
実際、$(r_n\cos\theta_n,r_n\sin\theta_n)$ なる点列をとれば、

$\frac{\sqrt{|xy|}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{r_n\sqrt{|\cos\theta_n\sin\theta_n|}}{r_n}=\sqrt{|\cos\theta_n\sin\theta_n|}$
となり、$\theta_n$の数列によってさまざまな値に近づいてしまいます．
（もしくは発散します．）

まとめると、
$f(x,y)=\sqrt{|xy|}$ は
$x$-軸と$y$-軸で全微分不可能で、
そのうち、$(0,0)$でないところでは偏微分も可能でない。
$(0,0)$ では、偏微分可能だが、全微分可能でない．

関数としては、下のようになっています．

確かに軸上$x=0$, $y=0$ では関数がとがっていて微分できなさそうです．
なので、接平面は存在しません．
また、そこでは、関数は $0$ ですから、
原点でのみ$x$-方向、$y$-方向に偏微分できる関数になっています．

この原点での様子は偏微分可能だが、全微分できるとは限らない例になっています．