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2014年10月9日木曜日

ベクトル空間であること.部分ベクトル空間であること.

下のような加法とスカラー倍をもつ V がベクトル空間であることを示すこと

{\bf u},{\bf v},{\bf w}\in V\alpha,\beta\in {\Bbb C} などとし、
{\bf u}+{\bf v}\in V かつ、\alpha\cdot {\bf v}\in V
であり、

VS1  ({\bf u}+{\bf v})+{\bf  w}={\bf u}+({\bf v}+{\bf w})
VS2  {\bf u}+{\bf  v}={\bf v}+{\bf u}
VS3  {\bf v}+{\bf  0}={\bf v} となる{\bf  0} が存在する.
VS4....

を示すこと.


ベクトル空間 V の中の部分集合W が部分ベクトル空間であることを示すこと.

任意の {\bf v},{\bf w} \in W\alpha\in {\Bbb C} に対して、
  1. {\bf v}+{\bf w}\in W (Vの加法)
  2. \alpha\cdot {\bf v}\in W (Vのスカラー倍)
を示すこと.


今回のC問題ですが、

C-1-1
ベクトル空間であることを示す問題ですが、
部分ベクトル空間は再びベクトル空間ですから
VP({\Bbb R})_3 の部分ベクトル空間であることを示せばよいことになります.
(もちろん、ベクトル空間になるための性質VS1からVS8を示してもかまいません.)

f,g\in P({\Bbb R})_3\alpha\in {\Bbb R} に対して
f+g\in P({\Bbb R})_3\alpha\cdot f\in P({\Bbb R})_3
であることを示せばいいことになります.

f+g\in P({\Bbb R})_3\alpha\cdot f\in P({\Bbb R})_3

であることは、

P({\Bbb R})_3の加法とスカラー倍は何を意味したか?(多項式の係数同士の足し算.)
Vに入ることは何を意味するのか?(V の2つの条件式)

C-1-2
この問題では、行列 A を固定して考えてください.
W_{a,b} が部分ベクトル空間になるには、
上の式 1. 2. から a,b に条件式がでるはずです.
A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}
と成分表示してもよいし、そうでなくてもでるはずです.

また、部分ベクトル空間であるためには、V{\bf 0} を含んでいなければ
なりません.
つまり、数ベクトル空間でいう原点を通らなければならないのです.
これは部分ベクトル空間であるための大切な性質です.
これを使うともう少し早く示すことができますね.
 

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