線形代数II演習(10/24)の宿題について

直前になってですが、宿題について考える助けを書いておきます．
ほとんどの人ができると思いますので全くできない人向けです．

C-3-1は $f'(X)$ は当然多項式 $f(X)$ に対する導関数のことです．
$f''(X)$ も2回微分したものです．
$f(X)$ を具体的 $a_0+a_1X+a_2X^2$ などと数値を置いてやればよいでしょう．

ちなみに、いくつかのベクトルが基底であるためには、ある基底によって表示した
その表示行列が正則であることと同値です．
これは教科書の定理６．４そのものですよね．

第2回の宿題で基底であることを示せという問題が
ありましたが、そのときは、定義に沿って一次独立性と
一次結合性を示してもらいました．
しかし、今回はそのようことをしなくても表示行列の正則性を
示せれば十分です．
つまり、表示行列の行列式が$0$ でないことを示せればいいわけです．
そのためには多項式の係数はどうでなければならないか？
もちろん、定義に戻ってやってもいいです．

2回の宿題をやったとき、一次独立性も一次結合性も
結局同じ条件じゃないか、と思った人もいると思いますが．
その通りです．
それを上の表示行列の正則性と言っているわけです．

C-3-2ですが、
2回目の演習の授業の最初にやったとおり数列のベクトル空間は
$(a_n)+(b_n)=(a_n+b_n)$ のように、$n$項目同士を足します．
スカラー倍についても、$\alpha(a_n)=(\alpha a_n)$ と各 $n$ 項目に同時にスカラー倍を
すればよいです．
(1) は漸化式から明らかでしょうか．
(2) は一次独立性は $\alpha\neq \beta$ であることからすぐわかります．
一次結合性については、漸化式を解けばよいでしょう．
(3) ${\bf w}_1,{\bf w}_2$ もフィボナッチ数列だから、(2) の基底の一次結合を使って
かけるはずです．基底であるためには基底 ${\bf v}_1,{\bf v}_2$ による
表示行列が正則であることです．

C-3-3ですが、これは毎年出している問題で、いつもよくできているので
今回はヒントはなしです．


ヒントについては気が向いたら出しますが、
メールやブログのコメント欄、手習い塾など積極的に質問していただければ
出しやすいです．