数学外書輪講I(第13回)

[場所1E501（月曜日5限）]

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今日は、

• LangのSection VII (Symmetric Hermitian and Unitary Operators)をよみました。

Symmetric Operators

作用素(operator)とは、ベクトル空間 $V$ 上の自己線形写像 $V\to V$ のことを

いいます。自己とは、同じ $V$ の上に働く写像なのでそう呼んでいます。

$V$ 上の線形な作用ということもできます。

体 ${\mathbb K}$ をベクトル空間のスカラーとします。

このとき、写像 $V\times V\to {\mathbb K}$ であって、

以下を条件を満たすものを考えます。

ただし、この写像は、$(u,v)\in V\times V$ に対して、$\langle u,v\rangle\in {\mathbb K}$ 

として書きます。

$\forall u,v,w\in V$かつ $\forall c\in {\mathbb K}$ に対して

(i) $\langle u,v\rangle =\langle v,u\rangle$

(ii) $\langle u+v,w\rangle=\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle$ 

(iii) $\langle cu,v\rangle =\langle u,cv\rangle=c\langle u,v\rangle$

この3つの条件を満たす写像 $V\times V\to {\mathbb K}$ のことを

内積(scalar product)といいます。

内積というと、正定値 ($v\in V$ かつ $v\neq 0$ のとき、$(v,v)>0$ ) 

という条件も付随している場合もありますが

この本の場合では仮定していません。

正定値を満たす内積のことは、正定値内積、負定値($v\in V$ かつ $v\neq 0$ のとき、$(v,v)<0$ )

の内積のことを負定値内積といいます。

また、定値(正定置もしくは負定値)でない内積のことは、不定値内積

と言います。相対論で出てくるミンコフスキー計量は、

不定値内積です。

内積をもつベクトル空間のことを内積空間といいます。

また、ベクトル空間 $V$ の双対空間を $V$ からスカラー ${\mathbb K}$ への

線形写像全体の空間を $V^\ast$ とかき、$V$ の双対空間といいます。

つまり、$V^\ast=\{f:V\to {\mathbb K}|f\text{は線形写像}\}$

です。また、この本では、$f\in V^\ast$ のことをfunctional (関数)と言っています。

$w\in V$ をとります。

$V\to V^\ast$ を

$v\in V$ に対して、$\langle v,w\rangle\in {\mathbb K}$ を対応させることで、$V^\ast$

の元を定めることができます。それを、$f_w$ とします。

つまり、$f_w(v)=\langle v,w\rangle$  です。

$w$ から $f_w$ への対応

$$w\mapsto f_w$$

は、写像 $V\to V^\ast$ を定めます。

また、スカラー積が非退化(non-degenerate)であるとは、

この写像 $V\to V^\ast$ が同型写像であるときをいいます。

ベクトル空間の間の写像 $V\to W$ が同型であるとは、この写像が線形写像かつ、

全単射であることをいいます。

有限次元ベクトル空間の間に同型写像が存在すれば、特に次元は等しくなります。

また、$L(v)=\langle Av,w\rangle$ とおきますと、$L$ は、$L\in V^\ast$ であるので、

先ほどの同型写像 $V\to V^\ast$ から、$w’\in V$ が一意的に存在して、

$L(v)=\langle v,w’\rangle$ を満たします。

よって、$w$ から $w’$ が一意的に決められるので、

$w\mapsto w’$ は、写像 $V\to V$ を与えます。

この写像を $w’=B(w)$ としておくと、

$$\langle Av,w\rangle=\langle v,B(w)\rangle$$

となります。この写像 $B$ は線形写像であることがわかります。

この写像$B$ を $A$ の転置(transpose) といい、${}^tA$ と書きます。

また、$A={}^tA$ であるような作用素を対称作用素(symmetric operator)といいます。

この状況を複素数上の内積(${\mathbb C}^n$ では、${}^tX\cdot \bar{Y}$ )
に置き換えて得られる同様の作用素は、
随伴作用素(Hermitian oparatorもしくはself-adjoint operator)といいます。

複素数上の内積では、$\langle v,aw\rangle=\bar{a}\langle v,w\rangle$
となるので注意が必要です。