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2017年8月2日水曜日

微積分I演習(数学類)(第14回)

[場所1E103(水曜日4限)]

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今回は、微積分I演習の総復習を行い、特に新しいことはやりませんでした。
これまでの微積分I演習の内容は、

  • 数列の収束
  • 三角関数・逆三角関数・双曲線関数・逆双曲線関数
  • 上限
  • 微分・ランダウの記号
  • 高次導関数
  • 関数の極限(ロピタルの定理)
  • マクローリン展開・テイラー展開
  • テイラー展開を用いた関数の極限
  • べき級数展開
  • 剰余項
  • 部分分数展開と有理関数の積分
  • 無理関数の積分
  • 広義積分(収束発散と求め方)
  • ガンマ関数・ベータ関数
でした。8/2に試験(もう今日ですが)をします。
これらの中の話題を計算問題中心に出す予定です。


最後に、定積分を一つ計算しておきます。

\int_0^1\frac{xdx}{\sqrt{x+\sqrt{1-x}}}
です。

これは鉄則どうり、t=\sqrt{1-x} と置きます。このとき、x=1-t^2 なので、dx=-2tdt であり、求める積分は、
\int_1^0\frac{1-t^2}{\sqrt{1-t^2+t}}(-2t)dt=\int_0^1\frac{2t-2t^3}{\sqrt{1+t-t^2}}dt
ここで、s=\frac{2t-1}{\sqrt{5}}とおくと
\frac{1}{2\sqrt{5}}\int_{-\frac{1}{\sqrt{5}}}^{\frac{1}{\sqrt{5}}}\frac{(3+\sqrt{5}s)(1-5s^2)}{\sqrt{1-s^2}}\frac{\sqrt{5}}{2}ds
また、s=\sin \theta とおき、a=\text{Arcsin} \frac{1}{\sqrt{5}} とおくと、
=\frac{1}{4}\int_{-a}^{a}(3+\sqrt{5}\sin \theta)(1-5\sin^2\theta)d\theta
=\frac{3}{4}\int_{-a}^{a}(1-5\sin^2\theta)d\theta
最後の等式は積分区間が原点で対称なので、奇関数の部分 \sin^3\theta,\sin\theta の部分
を除いた。
よって、これを積分してやると、

\int_0^1\frac{xdx}{\sqrt{x+\sqrt{1-x}}}=\frac{1}{4}\left(6-9\text{Arcsin}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\right)
となります。

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