[場所1E103(金曜日5限)]
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manabaに行く
今回は、去年の微積分I演習の過去問を解きました。
積分値
\int_0^1x^2\log xdx
の積分について。
まず、ロピタルの定理を使って、
\lim_{x\to 0}x\log x=\lim_{x\to 0}\frac{\log x}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=-\lim_{x\to 0}x=0
が求まります。n\ge 1のときに、
よって、\lim_{x\to 0}x^n\log x=\lim_{x\to 0}x^{n-1}x\log x=0 となります。
\int_0^1x^2\log xdx=\left[\frac{x^3}{3}\log x\right]_0^1-\int_0^1\frac{x^2}{3}dx
=\left[\frac{x^3}{3}\log x\right]_0^1-\int_0^1\frac{x^3}{3}\frac{1}{x}dx=-\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=-\frac{1}{9}
また、積分 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3xdx は、
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3xdx=\left[-\cos x\sin^2x\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}2\sin x\cos^2xdx
=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x(1-\sin^2x)dx
=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx-2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3xdx
よって、
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3xdx=\frac{2}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx=\frac{2}{3}\left[-\cos x\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{3}
このようにしていけば、\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx を求めるには、\int_0^{\frac{\pi}
2}\sin^{n-2}xdx を求めることに帰着されます。
または、
\cos x=t と dt=-\sin xdx とすると、
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3xdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos^2x)\sin xdx=-\int_1^{0}(1-t^2)dt
=\left[t-\frac{t^3}{3}\right]_0^{1}=\frac{2}{3}
のように計算できます。
この手法は \sin または \cos の指数が奇数の場合だけ計算できます。
偶数の場合は、
\int_0^1\frac{dx}{x+\sqrt{x}} を計算します。
\sqrt{x}=t とすると、dx=2tdt とすると、
\int_0^1\frac{dx}{x+\sqrt{x}}=\int_0^1\frac{2tdt}{t^2+t}=2\int_0^1\frac{dt}{1+t}=2\log2
となります。
ここで、約分できることを忘れずに。
この約分せずに部分分数展開をすると、広義積分は収束しません。
\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}
の積分可能性について。
この積分は、今学期は本当によく出てきました。
優関数では、0<x<\frac{1}{2} とすると、
|\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}|=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\le \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}}}=\sqrt{2}
よって、|\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}|\le \frac{1}{\sqrt{1-x}}
また、\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}dx=2
であるから、\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}} は広義積分可能となります。
同じように、\int_{\frac{1}{2}}^1\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}} は広義積分可能が言えるので、
これらの結果を合わせることで広義積分
\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}
が可能となる。
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今回は、去年の微積分I演習の過去問を解きました。
積分値
\int_0^1x^2\log xdx
の積分について。
まず、ロピタルの定理を使って、
\lim_{x\to 0}x\log x=\lim_{x\to 0}\frac{\log x}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=-\lim_{x\to 0}x=0
が求まります。n\ge 1のときに、
よって、\lim_{x\to 0}x^n\log x=\lim_{x\to 0}x^{n-1}x\log x=0 となります。
\int_0^1x^2\log xdx=\left[\frac{x^3}{3}\log x\right]_0^1-\int_0^1\frac{x^2}{3}dx
=\left[\frac{x^3}{3}\log x\right]_0^1-\int_0^1\frac{x^3}{3}\frac{1}{x}dx=-\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=-\frac{1}{9}
また、積分 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3xdx は、
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3xdx=\left[-\cos x\sin^2x\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}2\sin x\cos^2xdx
=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x(1-\sin^2x)dx
=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx-2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3xdx
よって、
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3xdx=\frac{2}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx=\frac{2}{3}\left[-\cos x\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{3}
または、
\cos x=t と dt=-\sin xdx とすると、
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3xdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos^2x)\sin xdx=-\int_1^{0}(1-t^2)dt
=\left[t-\frac{t^3}{3}\right]_0^{1}=\frac{2}{3}
のように計算できます。
この手法は \sin または \cos の指数が奇数の場合だけ計算できます。
偶数の場合は、
\int_0^1\frac{dx}{x+\sqrt{x}} を計算します。
\sqrt{x}=t とすると、dx=2tdt とすると、
\int_0^1\frac{dx}{x+\sqrt{x}}=\int_0^1\frac{2tdt}{t^2+t}=2\int_0^1\frac{dt}{1+t}=2\log2
となります。
ここで、約分できることを忘れずに。
この約分せずに部分分数展開をすると、広義積分は収束しません。
\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}
の積分可能性について。
この積分は、今学期は本当によく出てきました。
優関数では、0<x<\frac{1}{2} とすると、
|\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}|=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\le \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}}}=\sqrt{2}
よって、|\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}|\le \frac{1}{\sqrt{1-x}}
また、\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}dx=2
であるから、\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}} は広義積分可能となります。
同じように、\int_{\frac{1}{2}}^1\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}} は広義積分可能が言えるので、
これらの結果を合わせることで広義積分
\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}
が可能となる。
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