微積分I演習(第8回)

[場所1E101（水曜日4限）]

配布プリント

HPに行く．

今日は、

• 連続微分可能関数 ($C^\infty$ 級関数)と微分可能関数、解析関数
• 有理関数の部分分数分解とそのテイラー展開
• べき級数から関数を求めること．

についてやりました．

連続微分可能

$n$ 回連続微分可能とは、$n$ 回微分可能であり、$n$ 次の導関数が連続であることです．
わかって欲しいことは、$n$ 回微分できることと、$n$ 回連続微分できることとは別であることです．

$$\text{微分可能関数}\supset C^1\text{ 級関数 }\supset \text{ 2回微分可能関数 }\supset \cdots\supset C^\infty\text{級関数}\supset \text{解析関数}$$

となり、このどれも一致しません．微分可能だが、$C^1$ 級でない関数として、
$$\begin{cases}x^2\sin \frac{1}{x}&x\neq0\\0&x=0\end{cases}$$
があります．他、$C^\infty$ 級関数だが、解析的でない関数として、
$$\begin{cases}e^{-\frac{1}{x}}&x\neq0\\0&x=0\end{cases}$$
があります．

有理関数のテイラー展開

有理関数 $Q(x)$ とは、多項式 $f(x), g(x)$ に対して、
$$Q(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$$

となるものです．この関数をテイラー展開をします．
分子の次数が分母の次数より大きいとき、は、$f(x)=g(x)P(x)+R(x)$ と割ってやることで、

$Q(x)=\frac{g(x)P(x)+R(x)}{g(x)}=P(x)+\frac{R(x)}{g(x)}$

となるので、多項式 $P(x)$ はテイラー展開は易しいです．
よって、分子の次数が分母の次数より小さい場合に帰着されます．

そこで、$a\neq b$ に対して、
$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{1}{b-a}\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x-b}\right)$
のように分解されます．
このような分解を部分分数分解と言います．

つまり、分母の多項式に異なる根をもつようなものはこのような式変形で
分解できるということです．
よって、３個の積であっても、

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)(x-c)}=-\frac{1}{(a-b) (b-c) (x-b)}-\frac{1}{(a-c) (c-b) (x-c)}+\frac{1}{(a-b) (a-c) (x-a)}$$

として分解をすることができます．例えば、2次の項があった場合も、

$$\frac{1}{(x-a) (x-b)^2}=-\frac{1}{(a-b)^2 (x-b)}+\frac{1}{(b-a) (x-b)^2}+\frac{1}{(a-b)^2 (x-a)}$$

として分解できます．分解されたそれぞれの項の係数は、適当に、$A,B,C,,,$ などと文字を置いてやって
求めることができます．

つまり、有理関数は、このような分解によって、すべて、$\frac{1}{(x-a)^n}$ のような形の和に分解できることがわかります．有理関数に2乗因子以上含む場合は、そのような項も出てきます．

例えば、$\frac{x+3}{( x-2) (x-1 ) (1 + x)^2}$ なる関数を考えると、分解として、

$$\frac{5}{9 (x-2)}-\frac{1}{x-1}+\frac{4}{9 (x+1)}+\frac{1}{3 (x+1)^2}$$
が得られます．
求め方は、
$$\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{ (x+1)^2}$$
と置いて、通分し、係数を比較すると良いです．

$\frac{1}{(x-a)^n}$ となった後は、幾何級数を使います．

$n=1$ の場合は、

$$\frac{1}{x-a}=-\frac{1}{a}\frac{1}{1-\frac{x}{a}}=-\frac{1}{a}\sum_{n=0}^\infty(\frac{x}{a})^n$$

となります．この式を微分することで、

$$-\frac{1}{(x-a)^2}=-\frac{1}{a^2}\sum_{n=0}^\infty (n+1)(\frac{x}{a})^n$$

となり、
$\frac{1}{(x-a)^2}$ のテイラー展開もわかるようになります．
このようにして、$x$ で微分し続ければ、 $\frac{1}{(x-a)^n}$ の展開もわかるようになります．



ちなみに、
上のように、テイラー展開をしておいてからそれを微分したり、積分したり
を項別に行うことは、慎重に行う必要があります．
しかし、解析関数の展開の場合は、その収束半径内でそのような微積分は行えます．
収束半径とは、解析関数の展開において、展開する点から測って、収束が保証される
距離の区間のことです．

今の場合、原点で展開をしていますから、原点中心の区間 $(-a,a)$ のうちで、
この級数が収束する最大の範囲のことです．
例えば、$\frac{1}{1-x}$ は、展開すると、$\sum_{n=0}^\infty x^n$ ですが、この級数が
収束するのは、原点から測って距離1のところ、$(-1,1)$ のところまでです．
それ以上増やそうとすると、$x=1$ の所で、無限大に発散してしまいます．

つまり、この場合の収束半径は $1$ ということになります．
また、この半径は、ちょうど、原点からの距離で $\frac{1}{1-x}$ で定義されない $1$ までの距離と一致しています．
このようなことは、一般になりたちます．

結局、収束半径内であれば、項別微分は自由に行ってよくて、導関数のテイラー展開も得られますが、その収束半径も実は、元の収束半径と同じであることもわかります．
また、収束半径内では、項の順番を入れ替えても良いということは
事実として成り立ちますので、

$\sum_{n=0}^\infty a_nz^n+\sum_{n=0}^\infty b_nz^n=\sum_{n=0}^\infty(a_n+b_n)z^n$

のように和の順番を変えることができます．


話を元に戻しますと、多項式が実根だけを持つ場合は因数分解をして、部分分数に分解することで、テイラー展開が得られますが、複素根を持つ場合は、少し面倒です．

例えば、$\frac{1}{1+x^2}$ のような場合は、上記のように、分解はできませんが、
幾何級数の類似で、

$$\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n}$$

と分解することができます．また、複素数を素直に使えばいいじゃないかと思うかも
しれませんが、実は、使っても上手くいきます．最終的に、下のように、複素数を使わない形にできるのです．

$$\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{x-i}-\frac{1}{x+i}\right)=\frac{1}{2i}\left(i\sum_{x=0}^\infty(-i)^nx^n+i\sum_{x=0}^\infty i^nx^n\right)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n}$$

このようなことをすれば、どのような場合でも、複素根をもつものを
考えれば、分解できるはずですが、複素数の計算もそれはそれで大変になります．

前回の記事にもあったように、$\frac{1}{f(x)}$ として、$f(x)$ が $x^n-1$ を
割るようなものであれば、$\frac{g(x)}{x^n-1}$ として、$1/(x^n-1)$ を幾何級数
の手法を使って分解をします．

そうでもない場合は、やはり大変です．