[場所1E101（水曜日4限）]
今日は、
- テイラー展開を用いた関数の極限と
- べき級数展開
を行いました．
テイラー展開を用いた関数の極限
不定形の極限を求めるとき、これまでのようにやれば、ロピタルの定理を用いて計算できますが、今回は、関数の展開を用いて行う方法です．
簡単のため、$x\to 0$ の場合のみ行います．
$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_mx^m+o(x^m)$$
$$g(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_mx^m+o(x^m)$$
のように展開できたとすると、
$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_mx^m+o(x^m)}{b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_mx^m+o(x^m)}$
となり、
$a_0=a_1=\cdots=a_{k-1}=0$ かつ、$a_k\neq 0$
$b_0=b_1=\cdots=b_{k-1}=0$ かつ、$b_k\neq 0$
であるなら、この極限は
$$\frac{a_k}{b_k}$$
となります．
このように、$f(x),g(x)$ の展開係数が $0$ でないものが現れる部分が同じでないと、$0$ でない値は取り出せません．
上の条件のかわりに、$k-1$ までの係数が全て $0$ で、$a_k=0$ であり、$b_k\neq 0$ であるなら、関数は $0$ に収束しますし、
$a_k\neq 0$ であり、$b_k=0$ であるなら、関数の値は収束しません．
例の計算に関しては、授業でやった通りです。
べき級数展開
無限回微分可能関数を $C^\infty$ 級関数といいます．
一般に、$n$ 回微分可能であり、$n$ 回微分導関数 が連続であるとき、$C^n$ 級と言います．
テイラーの定理において、$f(x)$ が展開したとき、その剰余項 $R_{n+1}(x)$ が、各点 $x$ において収束するとき関数を解析的といいいます．
一般に、$C^\infty$ 級であっても、解析的とは限りません．
例えば、有名な例に、
$$f(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x}}&x\le 0\\0&x<0\end{cases}$$
があります．
この関数は、$x=0$ での任意の $n$ 回微分が $0$ ですが、恒等的に $0$ ではありません．
解析関数は、テイラー展開の主要項の極限によって関数が書けるはずなので、もし、この関数が解析的ならば、原点でのテイラー展開の主要項 $0$ の極限つまり、0 が関数となってしまいます．
しかし、各点で微分ができ、原点で、連続であることも示せます．
つまり、この関数は、テイラー展開をしたときの剰余項そのものの中に全て入ってしまっているのです．
一年生で扱う微積分では、解析的な関数を普通扱います．
しかし、解析的でない $C^\infty$ 級関数は多様体のような曲がった空間の上での微積分をするときに実は必要となります．それは、多様体の講義のときに習うでしょう．
剰余項が収束する議論を用いることで、
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$
$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots =\sum_{m=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
がなりたち、次に重要な関数である、べき関数は、
$$(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n}x^n$$
が成り立ちます．２項係数は、
$$\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)+\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$$
と定義されます．
なので、$\alpha$ が自然数のときは、普通の2項展開の式ですが、
それ以外の場合は、次のようになります．$\alpha$ が無理数の場合でもできますが、
その場合、上の公式以上に簡単にまとめられるわけではありませんので、
$\alpha$ が有理数の場合に行います．
$\alpha=\frac{1}{2}$ のときは、
$\binom{\frac{1}{2}}{n}=\frac{\frac{1}{2}(\frac{-1}{2})(\frac{-3}{2})\cdots (\frac{2n-3}{2})}{n!}=(-1)^{n-1}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-3)}{2^nn!}=(-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{(2n)!!}$
$\sqrt{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{(2n)!!}x^n$
また、似たような級数展開として、
$\alpha=-\frac{1}{2}$ のときは、
$\binom{-\frac{1}{2}}{n}=\frac{\frac{-1}{2}(\frac{-3}{2})(\frac{-5}{2})\cdots (\frac{2n-1}{2})}{n!}=(-1)^{n}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}{2^nn!}=(-1)^{n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$
$\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n$
$(-1)!!$ の計算は、
$1\cdot(-1)!!=1!!=1$ なので、$(-1)!!=1$ となります．
ゆえに、微分をして、（さらに項別に微分をしてやることで）
$\sqrt{1+x}=(\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{(2n)!!}x^n)'=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}x^{n-1}$
$=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{n}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1+x}}$
が成り立ち、項別微分に対して上手く行っていることがわかります．
有理関数のテイラー展開
まず、次のような分数関数は
$$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n$$
と展開されます．
また、$\frac{1}{a-x}$ なる関数の場合も、
$$\frac{1}{a}\frac{1}{1-\frac{x}{a}}=\frac{1}{a}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{x}{a}\right)^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{a^{n+1}}x^n$$
として展開されます．
また一般の分数関数 $\frac{1}{f(x)}$ の場合でも、
$f(x)$ を一次の積に分解して、$\frac{1}{f(x)}$ を $\frac{1}{a-x}$ の部分分数に分解します．
この操作は、この授業の後半で積分を計算するときによく出てきます．
例えば、
$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$
としておくことで、$\frac{1}{a-x}$ の形に直すことができます．
また、実数の意味で一次の積に分解されなくても、
$\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}(-x^2)^n=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n}$
のようにすることはできます．
他にも、$f(x)=x^2+x+1$ としたときは
$$\frac{1}{1+x+x^2}=\sum_{n=0}^\infty (-x-x^2)^n=\sum_{n=0}^\infty (-x)^n(x+1)^n$$
$$=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n(-1)^n\binom{n}{k}x^{n+k}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n-k}{k}x^n$$
となります．このように、級数展開をしていけば、どんな場合でも同じように
行うことができます．ただ、式が複雑になると、展開係数もそれにつれて
複雑になっていきます．
しかし、上の場合はもう少しうまく処理すれば簡単に展開をすることができます．
実際、この関数は、$\frac{x-1}{x^3-1}$ と同じですから、
$$\frac{1}{1+x+x^2}=(1-x)\sum_{n=0}^\infty x^{3n}=\sum_{n=0}^\infty(x^{3n}-x^{3n+1})$$
つまり、$\frac{1}{1+x+x^2}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ とすると、
$$a_n=\begin{cases}1&n=0\bmod 3\\-1&n=1\bmod 3\\0&n=2\bmod 3\end{cases}$$
となります．また、上で書いたことから、次のような２項係数の関係式
$$\sum_{k=0}^{3n}(-1)^{3n-k}\binom{3n-k}{k}=1$$
$$\sum_{k=0}^{3n+1}(-1)^{3n+1-k}\binom{3n+1-k}{k}=-1$$
近似値の計算
関数の近似値の計算をテイラー展開などを用いると行うことができます．
例えば、$\sin \frac{1}{10}$ は、$\sin x$ の展開式
$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots$$
を使います．この式の4項目くらいまで、$\frac{1}{10}$ を入れておけば、その誤差は、
$$|\frac{10^{-9}}{9!}-\frac{10^{-11}}{11!}\cdots|<\frac{10^{-9}}{9!}\sum_{i=0}^\infty10^{-2i}=\frac{10^{-9}}{9!}\frac{1}{1-\frac1{100}}$$
となり、$\frac{100}{9!\cdot 99}$ は $2.7\times 10^{-6}$ くらいですので、
この誤差は、$10^{-14}$ には少なくとも収まります．
$\frac{1}{10}$ を代入した値、$\sin\frac{1}{10}$ は大体、
$$\frac{1}{10}-\frac{1}{6000}-\frac{1}{12000000}+\frac{1}{50400000000}
$$
なので、大体
$0.099833416646825396825$
くらいとなります．実際の$\sin\frac{1}{10}$ の値を比べてみると、
$\sin\frac{1}{10}=0.099833416646828152307...$
となるので、確かに小数第14桁まで合っています．
簡単のため、$x\to 0$ の場合のみ行います．
$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_mx^m+o(x^m)$$
$$g(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_mx^m+o(x^m)$$
のように展開できたとすると、
$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_mx^m+o(x^m)}{b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_mx^m+o(x^m)}$
となり、
$a_0=a_1=\cdots=a_{k-1}=0$ かつ、$a_k\neq 0$
$b_0=b_1=\cdots=b_{k-1}=0$ かつ、$b_k\neq 0$
であるなら、この極限は
$$\frac{a_k}{b_k}$$
となります．
このように、$f(x),g(x)$ の展開係数が $0$ でないものが現れる部分が同じでないと、$0$ でない値は取り出せません．
上の条件のかわりに、$k-1$ までの係数が全て $0$ で、$a_k=0$ であり、$b_k\neq 0$ であるなら、関数は $0$ に収束しますし、
$a_k\neq 0$ であり、$b_k=0$ であるなら、関数の値は収束しません．
例の計算に関しては、授業でやった通りです。
べき級数展開
無限回微分可能関数を $C^\infty$ 級関数といいます．
一般に、$n$ 回微分可能であり、$n$ 回微分導関数 が連続であるとき、$C^n$ 級と言います．
テイラーの定理において、$f(x)$ が展開したとき、その剰余項 $R_{n+1}(x)$ が、各点 $x$ において収束するとき関数を解析的といいいます．
一般に、$C^\infty$ 級であっても、解析的とは限りません．
例えば、有名な例に、
$$f(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x}}&x\le 0\\0&x<0\end{cases}$$
があります．
この関数は、$x=0$ での任意の $n$ 回微分が $0$ ですが、恒等的に $0$ ではありません．
解析関数は、テイラー展開の主要項の極限によって関数が書けるはずなので、もし、この関数が解析的ならば、原点でのテイラー展開の主要項 $0$ の極限つまり、0 が関数となってしまいます．
しかし、各点で微分ができ、原点で、連続であることも示せます．
つまり、この関数は、テイラー展開をしたときの剰余項そのものの中に全て入ってしまっているのです．
一年生で扱う微積分では、解析的な関数を普通扱います．
しかし、解析的でない $C^\infty$ 級関数は多様体のような曲がった空間の上での微積分をするときに実は必要となります．それは、多様体の講義のときに習うでしょう．
剰余項が収束する議論を用いることで、
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$
$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots =\sum_{m=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$
がなりたち、次に重要な関数である、べき関数は、
$$(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n}x^n$$
が成り立ちます．２項係数は、
$$\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)+\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$$
と定義されます．
なので、$\alpha$ が自然数のときは、普通の2項展開の式ですが、
それ以外の場合は、次のようになります．$\alpha$ が無理数の場合でもできますが、
その場合、上の公式以上に簡単にまとめられるわけではありませんので、
$\alpha$ が有理数の場合に行います．
$\alpha=\frac{1}{2}$ のときは、
$\binom{\frac{1}{2}}{n}=\frac{\frac{1}{2}(\frac{-1}{2})(\frac{-3}{2})\cdots (\frac{2n-3}{2})}{n!}=(-1)^{n-1}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-3)}{2^nn!}=(-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{(2n)!!}$
$\sqrt{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{(2n)!!}x^n$
また、似たような級数展開として、
$\alpha=-\frac{1}{2}$ のときは、
$\binom{-\frac{1}{2}}{n}=\frac{\frac{-1}{2}(\frac{-3}{2})(\frac{-5}{2})\cdots (\frac{2n-1}{2})}{n!}=(-1)^{n}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}{2^nn!}=(-1)^{n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$
$\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n$
$1\cdot(-1)!!=1!!=1$ なので、$(-1)!!=1$ となります．
ゆえに、微分をして、（さらに項別に微分をしてやることで）
$\sqrt{1+x}=(\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{(2n)!!}x^n)'=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}x^{n-1}$
$=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{n}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1+x}}$
が成り立ち、項別微分に対して上手く行っていることがわかります．
有理関数のテイラー展開
まず、次のような分数関数は
$$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n$$
と展開されます．
また、$\frac{1}{a-x}$ なる関数の場合も、
$$\frac{1}{a}\frac{1}{1-\frac{x}{a}}=\frac{1}{a}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{x}{a}\right)^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{a^{n+1}}x^n$$
として展開されます．
また一般の分数関数 $\frac{1}{f(x)}$ の場合でも、
$f(x)$ を一次の積に分解して、$\frac{1}{f(x)}$ を $\frac{1}{a-x}$ の部分分数に分解します．
この操作は、この授業の後半で積分を計算するときによく出てきます．
例えば、
$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$
としておくことで、$\frac{1}{a-x}$ の形に直すことができます．
また、実数の意味で一次の積に分解されなくても、
$\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}(-x^2)^n=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n}$
のようにすることはできます．
他にも、$f(x)=x^2+x+1$ としたときは
$$\frac{1}{1+x+x^2}=\sum_{n=0}^\infty (-x-x^2)^n=\sum_{n=0}^\infty (-x)^n(x+1)^n$$
$$=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n(-1)^n\binom{n}{k}x^{n+k}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n-k}{k}x^n$$
となります．このように、級数展開をしていけば、どんな場合でも同じように
行うことができます．ただ、式が複雑になると、展開係数もそれにつれて
複雑になっていきます．
しかし、上の場合はもう少しうまく処理すれば簡単に展開をすることができます．
実際、この関数は、$\frac{x-1}{x^3-1}$ と同じですから、
$$\frac{1}{1+x+x^2}=(1-x)\sum_{n=0}^\infty x^{3n}=\sum_{n=0}^\infty(x^{3n}-x^{3n+1})$$
つまり、$\frac{1}{1+x+x^2}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ とすると、
$$a_n=\begin{cases}1&n=0\bmod 3\\-1&n=1\bmod 3\\0&n=2\bmod 3\end{cases}$$
となります．また、上で書いたことから、次のような２項係数の関係式
$$\sum_{k=0}^{3n}(-1)^{3n-k}\binom{3n-k}{k}=1$$
$$\sum_{k=0}^{3n+1}(-1)^{3n+1-k}\binom{3n+1-k}{k}=-1$$
$$\sum_{k=0}^{3n+2}(-1)^{3n+2-k}\binom{3n+2-k}{k}=0$$
が成り立つということもわかります．
近似値の計算
関数の近似値の計算をテイラー展開などを用いると行うことができます．
例えば、$\sin \frac{1}{10}$ は、$\sin x$ の展開式
$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots$$
を使います．この式の4項目くらいまで、$\frac{1}{10}$ を入れておけば、その誤差は、
$$|\frac{10^{-9}}{9!}-\frac{10^{-11}}{11!}\cdots|<\frac{10^{-9}}{9!}\sum_{i=0}^\infty10^{-2i}=\frac{10^{-9}}{9!}\frac{1}{1-\frac1{100}}$$
となり、$\frac{100}{9!\cdot 99}$ は $2.7\times 10^{-6}$ くらいですので、
この誤差は、$10^{-14}$ には少なくとも収まります．
$\frac{1}{10}$ を代入した値、$\sin\frac{1}{10}$ は大体、
$$\frac{1}{10}-\frac{1}{6000}-\frac{1}{12000000}+\frac{1}{50400000000}
$$
なので、大体
$0.099833416646825396825$
くらいとなります．実際の$\sin\frac{1}{10}$ の値を比べてみると、
$\sin\frac{1}{10}=0.099833416646828152307...$
となるので、確かに小数第14桁まで合っています．
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