線形代数続論演習(第7回)

[場所1E103（金曜日3限）]

配布プリント

HPに行く．

今日は、

• 正規行列とその対角化
• 射影子
• 符号

についてやリました．

正規行列

正規行列とは、

$$A^\ast A=AA^\ast$$

が成り立つ行列のことです．

随伴行列 $A^\ast$ は、${}^t\bar{A}$ のことで、実行列の場合は、転置行列と同じです．

正規行列の例としては、

実対称行列　${}^tA=A$

エルミート行列 $A^\ast=A$

直交行列 ${}^tAA=E$

ユニタリー行列 $A^\ast A=E$

実交代行列 ${}^tA=-A$

歪エルミート行列 $A^\ast=-A$

などがそうです．2次の場合は、実正規行列は、対称か交代ですが、3次以上では、

対称でも交代でも直交でもない実正規行列が存在します．

どのような時に正規行列になるかというと、次のような定理が成り立ちます．

定理

$A$ が正規行列であることはあるユニタリー行列によって、対角化されることと同値である．

ユニタリー行列とは、その縦ベクトルが正規直交行列になることと同値ですので、

この正規行列の条件は、${\mathbb C}^n$ の固有ベクトルとしての基底として、正規直交基底が取れるということです．言い換えれば、固有ベクトル同士が直交しているということで、次のように言い換えることもできます．

定理

$A$ が正規行列であることは、$A$ が対角化可能であり、固有空間 $V_\lambda$ と $V_\mu$ は、$\lambda\neq \mu$ ならば、$V_\lambda\perp V_\mu$ となることと同値である．

よって、実に限れば、次のように言い換えることができます．

定理

$A$ が実固有値を持つ実正規行列であるとは、$A$ が直交行列によって、対角化されることと同値である．

実固有値を持つための十分条件は以下が一般的です．

定理

エルミート行列（もしくは、実対称行列）は実固有値を持つ．

正規行列のユニタリー行列による対角化は、固有空間同士の直交性は保証されているので、空間の中のベクトルを正規直交化すると良いです．

例えば、$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$

とすると、固有値は、$0,3$ で、その固有空間は、

$V_0=\langle\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\rangle$

$V_3=\langle\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\rangle$

となります．$V_0$ と $V_3$ 同士は直交していますね．

また、$V_0$ の基底は、直交していませんので、直交化すると、

$V_0$ の基底として、さらに正規化してやると、

$\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}\right\}$

となります．よって、

$U=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}&0&\frac{2}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}$

としておけば、$U$ はユニタリー行列であり、$U^{-1}AU$ は$\text{diag}(3,0,0)$ の対角行列となる．

射影子

射影子とそのスペクトル分解は、正規行列の応用の話です．

射影子とは、$P^2=P$ かつ、$P^\ast=P$ を満たす行列のことです．

ある部分ベクトル空間 $W\subset V$ とその直交補空間 $W^{\perp}$ に対して、

$V=W\oplus W^{\perp}\to V$ を、

$x_1\in W$ で、$x_2\in W^{\perp}$ とすると、

$x_1+x_2\mapsto x_1$ となるような線形写像の行列表現 $P$ は、射影子となります．

つまり、その部分空間 $W$ 上のベクトルは、そのままであり、それに直交するベクトルは、すべて0 ベクトルにするということなので、$W$ への直交射影だと思えば良いでしょう．

明らかに、$P^2=P$ が成り立ちます．
また、${\bf x}_1,{\bf y}_1\in W$ ${\bf x}_2,{\bf y}_2\in W^{\perp}$ に対して、

$(P({\bf x}_1+{\bf x}_2),{\bf y}_1+{\bf y}_2)=({\bf x}_1,{\bf y}_1+{\bf y}_2)=({\bf x}_1,{\bf y_1})$
$(P^\ast({\bf x}_1+{\bf x}_2),{\bf y}_1+{\bf y}_2)=({\bf  x}_1+{\bf x}_2,P({\bf y}_1+{\bf y}_2))=({\bf  x}_1,P{\bf y}_1)=({\bf  x}_1,{\bf y}_1)$

よって、あらゆる ${\bf v}\in V$ に対して

$(P{\bf v},{\bf w})=(P^\ast{\bf v},{\bf w})$

がなりたつので、これは、$P=P^\ast$ を意味します．

宿題の第1問は難しいかもしれませんが、

要するに、部分空間同士が直交していることと、射影子同士の積が $0$ であることは同値であるということです．

つまり、$W\perp W'$ であるなら、その射影子 $P,P'$ に対して、
$V$ の任意の元を ${\bf v}={\bf x}_1+{\bf x}_2$ のように分けておいて、
$PP'{\bf v}=P{\bf x}_2=0$ となります．
逆も行います．


$A$ が正規行列であることから、あるユニタリー行列 $U$ によって、$U^{-1}AU$ が対角行列であることがわかります．このことを用いると、任意の正規行列は、

$$A=\lambda_1P_1+\cdots+\lambda_rP_r$$

と変形できます．
ヒントは、対角行列 $D$ を固有値ごとの和に分けられるよう工夫をしてください．

この和の式の意味は、$P_i$ は、ある固有値に付随する固有空間の成分を取り出す操作であり、その固有空間において $\lambda_i$ が $A$ の作用であるということになるのです．

成分を取り出して、再び和を取れば、元のベクトルにもどりますからそれを表した式が、
射影子の和が単位行列であるという

$$E=P_1+\cdots+P_r$$

となります．この式も、上の分解において、$\lambda_i=1$ とおいてやる式を考えれば、自然と出て来ます．

また、この射影子を使ってやると、行列の $n$ 乗や、指数関数など簡単に計算をすることができます．


符号

最後に行列の符号について行いました．
これは定義のみです．
$A$ を実対称行列とします．この時、上で書いたように、$A$ の固有値は全て実数です．ですので、固有値は、正の数か負の数か、$0$ です．その時、

$p$ を正の固有値の固有空間の次元の和（ここでは、固有多項式の正の根の重複度こみの和と一致）とし、

$q$ を負の固有値の固有空間の次元の和（同じように、固有多項式の負の根の重複度こみの和と一致）とします．


この時、$A$ の符号を
$(p,q)$ と書きます．$\text{sgn}(A)$ と書いたりします．

$0$ の固有値の数はここでは数えません．

$A$ が $n\times n$ 行列である時、
$\text{sgn}(A)=(n,0)$ のとき、行列 $A$ は正定値であるといい、$\text{sgn}(A)=(0,n)$ である時、行列 $A$ は負定値であるといいます．

また、$p-q$ のことを、符号数ということもあります．