この前、小学生の息子たちとのお風呂で、算数をしました。
下の息子（以下、弟）は２年生で、九九はまだ習っていません。
でも、掛け算はどんなものかは知っています。
上の息子（以下、兄）は４年生ですので九九はもう知っています。
私「自乗というのは、同じ数をかけることを言うんだよ。2×2 は 4 とか 3×3 は 9 とか。」
弟は2を2回足して4、3を3回足して9を確認して、
弟「ふーん。」
私「じゃあ、6の自乗は何になる？」
そしてすぐに、
弟「 36。」
私「あれ？早いなぁ。どうやってやった？」
弟「だって、18+18 をしたんだよ。」
なるほど。6を3回足したものが18だということはすぐにできたか、知っていたか。
最近は足し算の筆算も習ってきているので、頭の中で、くり上がりも込めて計算したようです。
私もすぐに答えられてしまっては面白くないので、
私「じゃあ、7の自乗はいくつ？8の場合は？」
と矢継ぎ早に聞いてみたところ、一生懸命計算していましたが、
すぐには答えられないようすでした。
そのうち兄もお風呂に入ってきて、
兄「8の自乗は簡単だよ。2×2=4, 4×2=8, 8×2=16, 16×2=32, 32×2=64 だから...」
といいました。
兄は 2のn乗の数を計算するのが好きで、$2^{25}$ くらいまでの数なら覚えていて、スラスラということができます．
でも、弟にそれを教えるのは大変そうでした。
私もこの話の終着点を気にしつつ、 $(a+1)^2=a^2+2a+1$ の公式を思い描きながら、
私「7の自乗から8の自乗を作ることができるよ。」
と言ってみました。
兄「7の自乗は49だから、36に13を足せばいいんだ。」
兄は他にも何か、わかったようで何か言っていましたが、私には理解できませんでした。
私「じゃあ、13ってなに？」
兄の方法もよくわからないので、私が思いついた（かつわかってもらえそうな）方法はこうです。
曇ったお風呂の鏡に四角形を書きながら、
私「2×2=4 は 2 が2つあるから 4 だよね。（2×2 の正方形を描く。）
もう一つ2を足したら、2×3=6 になるよね。（もう一列増やして、2×3 の四角形を描く。）
これは、3が2つあることになるね。
で、今度は、縦に一列増やすよ。(縦に一列増やして、$3\times 3=9$ の四角形を描く。)
6 に3を足したから、9になるよね。
これで、3の自乗ができたね。」
兄「あー、わかった。」
私「だから、3の自乗を計算するときは、2の自乗に2と3を足せばいいんだよ。」
私「36の答えも、5×5=25に $5+6$ をたして、25+11=36 にすれば計算できる。」
36の2つめの計算方法を教えました。
兄も、さっきの、49と36の差の13の秘密が6+7 だということがわかったようでした。
弟は自分で確かめないと気がすまないタチで、49のときも確かめていました。
私「これで、8の自乗も計算してごらん。」
というと、弟は、
弟「7のジジョウが49だから、7と8を足して.......64か。」
たまに、繰り上がりをするのを忘れる弟ですが、見事に計算することができました。
さらに、
私「これでわかったよね？どんな数の自乗も、一つ前の自乗がわかれば、足し算２つで計算できるね。」
私「11の自乗は？12の自乗は？」
100+10+11 をして、
兄「121 !」
121+11+12をして、
兄「144 !」
さらにさらに、
私「1から順番に奇数だけ足すと、いつでも自乗の数になるんだよ。」
私「1から9まで奇数だけ足すとなんになる？」
（私はすぐに問題を作って出題するのが好きなようです。）
だんだんと兄の独壇場になってきました。
兄「36 !」
私「じゃあ、1から101まで奇数だけ足すと何の自乗？」
これもすぐに、
兄「51 !」
適当に計算したのか、ちゃんとわかっていたのかよくわかりませんがそう答えました。
私「ええと、最後の奇数に1を足して2で割った数の自乗になるなのかな？」
これで、兄の頭に、新しい公式を宿らせることに成功しました。
弟も負けてはいません。
弟「29のジジョウもわかるよ、600ひく59っていくつ？」
29の自乗は30の自乗から順に引けばできるということがわかっていたようです。
でも、30× 30 を間違えてしまいました．
でも、兄は
兄「900から59をひけばいいんでしょ。」
弟「あ、そうか。900だった。」
兄らしく正しい答えを導こうとしており、一枚上手のようでした。
兄弟「29の自乗は841だ。」
兄、弟たちは、自乗の計算の仕方がわかったようでした。
あと、1から奇数だけ順に足すとどんな数になるのかも。
下の息子（以下、弟）は２年生で、九九はまだ習っていません。
でも、掛け算はどんなものかは知っています。
上の息子（以下、兄）は４年生ですので九九はもう知っています。
私「自乗というのは、同じ数をかけることを言うんだよ。2×2 は 4 とか 3×3 は 9 とか。」
弟は2を2回足して4、3を3回足して9を確認して、
弟「ふーん。」
私「じゃあ、6の自乗は何になる？」
そしてすぐに、
弟「 36。」
私「あれ？早いなぁ。どうやってやった？」
弟「だって、18+18 をしたんだよ。」
なるほど。6を3回足したものが18だということはすぐにできたか、知っていたか。
最近は足し算の筆算も習ってきているので、頭の中で、くり上がりも込めて計算したようです。
私もすぐに答えられてしまっては面白くないので、
私「じゃあ、7の自乗はいくつ？8の場合は？」
と矢継ぎ早に聞いてみたところ、一生懸命計算していましたが、
すぐには答えられないようすでした。
そのうち兄もお風呂に入ってきて、
兄「8の自乗は簡単だよ。2×2=4, 4×2=8, 8×2=16, 16×2=32, 32×2=64 だから...」
といいました。
兄は 2のn乗の数を計算するのが好きで、$2^{25}$ くらいまでの数なら覚えていて、スラスラということができます．
でも、弟にそれを教えるのは大変そうでした。
私もこの話の終着点を気にしつつ、 $(a+1)^2=a^2+2a+1$ の公式を思い描きながら、
私「7の自乗から8の自乗を作ることができるよ。」
と言ってみました。
兄「7の自乗は49だから、36に13を足せばいいんだ。」
兄は他にも何か、わかったようで何か言っていましたが、私には理解できませんでした。
私「じゃあ、13ってなに？」
兄の方法もよくわからないので、私が思いついた（かつわかってもらえそうな）方法はこうです。
曇ったお風呂の鏡に四角形を書きながら、
私「2×2=4 は 2 が2つあるから 4 だよね。（2×2 の正方形を描く。）
もう一つ2を足したら、2×3=6 になるよね。（もう一列増やして、2×3 の四角形を描く。）
これは、3が2つあることになるね。
で、今度は、縦に一列増やすよ。(縦に一列増やして、$3\times 3=9$ の四角形を描く。)
6 に3を足したから、9になるよね。
これで、3の自乗ができたね。」
兄「あー、わかった。」
私「だから、3の自乗を計算するときは、2の自乗に2と3を足せばいいんだよ。」
私「36の答えも、5×5=25に $5+6$ をたして、25+11=36 にすれば計算できる。」
36の2つめの計算方法を教えました。
兄も、さっきの、49と36の差の13の秘密が6+7 だということがわかったようでした。
弟は自分で確かめないと気がすまないタチで、49のときも確かめていました。
私「これで、8の自乗も計算してごらん。」
というと、弟は、
弟「7のジジョウが49だから、7と8を足して.......64か。」
たまに、繰り上がりをするのを忘れる弟ですが、見事に計算することができました。
さらに、
私「これでわかったよね？どんな数の自乗も、一つ前の自乗がわかれば、足し算２つで計算できるね。」
私「11の自乗は？12の自乗は？」
100+10+11 をして、
兄「121 !」
121+11+12をして、
兄「144 !」
さらにさらに、
私「1から順番に奇数だけ足すと、いつでも自乗の数になるんだよ。」
私「1から9まで奇数だけ足すとなんになる？」
（私はすぐに問題を作って出題するのが好きなようです。）
だんだんと兄の独壇場になってきました。
兄「36 !」
私「じゃあ、1から101まで奇数だけ足すと何の自乗？」
これもすぐに、
兄「51 !」
適当に計算したのか、ちゃんとわかっていたのかよくわかりませんがそう答えました。
私「ええと、最後の奇数に1を足して2で割った数の自乗になるなのかな？」
これで、兄の頭に、新しい公式を宿らせることに成功しました。
弟も負けてはいません。
弟「29のジジョウもわかるよ、600ひく59っていくつ？」
29の自乗は30の自乗から順に引けばできるということがわかっていたようです。
でも、30× 30 を間違えてしまいました．
でも、兄は
兄「900から59をひけばいいんでしょ。」
弟「あ、そうか。900だった。」
兄らしく正しい答えを導こうとしており、一枚上手のようでした。
兄弟「29の自乗は841だ。」
兄、弟たちは、自乗の計算の仕方がわかったようでした。
あと、1から奇数だけ順に足すとどんな数になるのかも。
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