線形代数続論演習(第5回)

[場所1E103（金曜日3限）]

配布プリント

HPに行く．

今日は、

• 商空間について
• 商空間の基底を求める問題の復習
• 直交補空間の求めかた
• エルミート計量空間

についてやりました。

実際、計量空間についてはほとんどできませんでしたが、直交補空間の求め方については少しだけやりました．

商空間

商空間とは、ざっくり言えば、ベクトル空間 $V$ の部分ベクトル空間 $W$ の方向を潰してできるベクトル空間です．

$V/W$ の元を $[{\bf v}]$ という書き方をしますが、これは、${\bf v}$ を通る $W$ の方向を全てを表します．任意の ${\bf w}$ に対して、${\bf v}+{\bf w}$ なる元を全て $[{\bf v}]$ という元にするということです．
$V/W$ の一点は $[{\bf v}]$ です．$V$ では、${\bf v}$ を通る空間に対応します．
集合としては、 ${\bf v}+{\bf w}$ という形の元全て、つまり、${\bf v}+W$ となります．
そういうわけで、商空間の元は ${\bf v}+W$ と表すこともあります．

商空間のイコール

商空間において等しいことを $=_{V/W}$ と書くことにします．
商空間において、
$$[{\bf v}_1]=_{V/W}[{\bf v}_2]$$
であるということは、
$${\bf v}_1-{\bf v}_2\in W$$
であると定義されます．


商空間のゼロ元

ゼロ元とは、抽象ベクトル空間において、任意の元にゼロ元を足しても変わらないという性質があります．
つまり、
$${\bf x}+0_V=_{V}{\bf x}$$

ということです．ここで、$0_V$ と書いたのは、$V$ の中で、ゼロ元を意味しています．

イコールの下に $V$ が書かれているのは、等式が $V$ のものであるということです．

商空間のゼロ元もこのような性質を持つ元のことを指します．
それは、カッコを使った書き方だと、$[0]\in V/W$ となり、
集合としては、$0+W$ となる元で、つまり、$W$ と書いても同じものです

つまり、$0_{V/W}=[0]$ となるのです．

集合のような書き方とすると、$0_{V/W}=0+W$ となります．

この元が $V/W$ のゼロ元であることを示しましょう．

$V/W$ の任意の元は、ある ${\bf v}\in V$ に対して、$[{\bf v}]$ と書かれます．
なので、

$[0]+[{\bf v}]=_{V/W}[0+{\bf v}]=_{V/W}[{\bf v}]$

となります．また、ゼロ元は ${\bf w}\in W$ に対して、$[{\bf w}]$ と書かれますので
この場合もやってみると、

$[{\bf w}]+[{\bf v}]=_{V/W}[{\bf w}+{\bf v}]$

となり、${\bf w}+{\bf v}-{\bf v}={\bf w}\in W$ なので、商空間のイコールとして、

$[{\bf w}+{\bf v}]=[{\bf v}]$ と書かれることがわかります．

よって、$[{\bf w}]+[{\bf v}]=_{V/W}[{\bf w}+{\bf v}]=_{V/W}[{\bf v}]$

となるので、$[{\bf w}]$ もゼロ元の性質を満たしています．
よって、ゼロ元であることは、代表元の取り方によらず決まる、つまりwell-definedであることが
わかりました．

つまり、${\bf w}\in W$ のとき、$0_{V/W}=_{V/W}[0]=_{V/W}[{\bf w}]$
となります．

記号の濫用

$V$ でのゼロ元は $0_V$ のことであり、
$V/W$ でのゼロ元は $0_{V/W}$ のことであり、それ以外
には存在しないので、
これ以降ゼロ元はどこでも $0$ とかき、 イコールはどの場合も $=$ と書くことにします．
これを記号の濫用と言います．

どの場合のイコールなのか、（$V$ なのか $V/W$ なのか）自分でよく見極めてください．

商空間の和

$[{\bf v}_1]$ と $[{\bf v}_2]$ の和の定義は、
$[{\bf v}_1+{\bf v}_2]$
となります．

また、スカラー倍は $\lambda[{\bf v}]=[\lambda{\bf v}]$ と定義します．



商空間の基底を求めること

商空間の基底を求めるには、補空間の基底を求めることで行いました．

補空間の基底を求めれば、商空間の基底が誘導されるということを

証明してくれた人もおり、これは、有限次元のベクトル空間の場合には一般に成り立ちます．

つまり、

定理

${\bf v}_1,\cdots {\bf v}_k$ がベクトル空間 $V$ の部分ベクトル空間 $W$ の補空間の基底であるとする．このとき、$[{\bf v}_1],\cdots, [{\bf v}_k]$ は $V/W$ の基底となる．

ここで、補空間は単なる補空間で構わなく、直交補空間である必要はありません．

例

$V={\mathbb C}^3$ とし、$W= \left\langle \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\right\rangle$

とします．このとき、$V/W$ の基底を求めます．

まず、$W$ の補空間の基底を求めます．

そのために、このベクトル　$\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ のベクトルの基底の延長をします．そのとき、標準基底を並べて簡約化をしましたが、このやり方に慣れてきたら、

$$\begin{pmatrix}1&1&0\\2&0&1\\-1&0&0\end{pmatrix}$$

という正方行列を作り、その行列式を計算します．

このとき、 この行列を $A$ とすると、$\det(A)=-\det\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}=-1\neq 0$ ですので、

$$\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$

は $V$ の基底であることになります．

(これがどうして基底であるかについて)

行列 $A$ の行列式が 0 でないことから、その縦ベクトルは、一次独立である．

一次独立であるベクトルが、その次元分(つまり3つ)だけ存在したので、
その3つのベクトルは基底であることになります．
つまり、これは、部分ベクトル $W\subset V$ が $\dim W=\dim V$ ならば、$W=V$ であるということに基づきます．これは、背理法により簡単に証明可能です．

話を元に戻します．

というわけで、
$$V=W\oplus \left\langle \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right\rangle$$

となります．
よって、$\left\langle \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right\rangle$

は $W$ の補空間ということになり、この２つのベクトルは補空間の基底であることが
わかりました．


次に、$V/W$ において、
$\left[\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right], \left[\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right]$

が $V/W$ の基底であることを示します．

上の定理に書いてあることはそいうことです．補空間の基底にカッコをつけたベクトルたちは、$V/W$ において、基底になるのです．

定理で書いていあることを実際確かめてみます．

ただし、ここでは、イコールやゼロ元がどこの空間の元でのイコールのなのか？
自分で考えてください．

一次独立性

$c_1\left[\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right]+c_2\left[\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right]=[0]$ とします．

商空間の和とスカラー倍の定義から、

$c_1\left[\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right]+c_2\left[\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right]=\left[\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\0\end{pmatrix}\right]=[0]$ とします．

このとき、$V/W$ のイコールであるとは、$\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\0\end{pmatrix}\in W$ となります．

よって、$\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\0\end{pmatrix}=c_3\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$
となり、整理することで、
$\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

となります．この $3\times 3$ 行列の行列式の計算は、上三角行列なので、対角成分の積となり、$\det=1$ となる．

よって、ゼロでないので、$c_1=c_2=c_3=0$ となります．特に、

$\left[\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right], \left[\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right]$

は一次独立であることがわかりました．

$V/W$ の元を生成すること

$V/W$ の任意の元は、 ある ${\bf v}\in V$ の元を使って、$[{\bf v}]$ と書くことができます．

これは、$p:V\to V/W$ という写像が全射があることです．

$$p({\bf v})=[{\bf v}]$$

という写像です．この写像は全射準同型です．これを自然な準同型といいます．

自然な写像が線型であることは、

$p({\bf v}_1+{\bf v}_2)=[{\bf v}_1+{\bf v}_2]=[{\bf v}_1]+[{\bf v}_2]=p({\bf v}_1)+p({\bf v}_2)$

$p(\lambda{\bf v})=[\lambda{\bf v}]=\lambda[{\bf v}]=\lambda p({\bf v})$

となり、 わかります．

よって、任意の $V/W$ の元 $[{\bf v}]$ は、

${\bf v}=a_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+a_2\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+a_3\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$

と書けるので、この式全体にカッコをつけると、

$[{\bf v}]=\left[a_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+a_2\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+a_3\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\right]=a_1\left[\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right]+a_2\left[\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right]+a_3\left[\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\right]=a_1\left[\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right]+a_2\left[\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right]$

よって、任意の $V/W$ の元 $[{\bf v}]$ が

$\left[\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right], \left[\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right]$

の一次結合で書くことができました．