線形代数続論演習(第3回)

[場所1E103（金曜日3限）]

配布プリント

HPに行く．

今日は、

• $f$-不変部分空間の説明．
• $f$-不変部分空間は商空間上に誘導する線形変換．
• 基底の延長の仕方（復習）
• 同型写像の作り方

などをやりました．

$f$-不変部分空間

$f:V\to V$ を線形変換とします．$W\subset V$ を部分空間とします．このとき、$f$ を $W$ に制限して得られる線形写像を同じ $f$ で書くことにすると、$f:W\to V$ が得られるが、

像 $f(W)$ が再び、$W$ の部分空間であるとき、$W$ を $f$-不変部分空間といいます．

つまり、任意の ${\bf w}\in W$ に対して、$f({\bf w})\in W$ が成り立つような部分空間です．

$W$ を $f$-不変部分空間であるとします．$W$ の基底を $\{{\bf w}_1,{\bf w}_2,\cdots,{\bf w}_k\}$ とし、その延長として、$V$ の基底を

$$\{{\bf w}_1,{\bf w}_2,\cdots,{\bf w}_k,{\bf v}_{k+1},\cdots,{\bf v}_n\}$$

ととったとします．このとき、この基底に関する $f$ の表現行列を $A$ とすると、

$$A=\begin{pmatrix}A_1&B\\O&C\end{pmatrix}$$

となります．$A_1$ は $k$ 次正方行列です．また、左下の行列は零行列になります．

これは、以下のようにしてわかります．$W$ が$f$-不変部分空間であるので、

$$(f({\bf w}_1),\cdots, f({\bf w}_k))=({\bf w}_1,\cdots,{\bf w}_k)A_1$$

です．また、

$$(f({\bf w}_1),\cdots, f({\bf w}_k))=({\bf w}_1,\cdots,{\bf w}_k,{\bf v}_{k+1},\cdots,{\bf v}_n)\begin{pmatrix}A_1\\O\end{pmatrix}$$

が成り立ちます．また、

$$(f({\bf v}_{k+1}),\cdots, f({\bf v}_n))=({\bf w}_1,\cdots,{\bf w}_k,{\bf v}_{k+1},\cdots,{\bf v}_n)\begin{pmatrix}B\\C\end{pmatrix}$$

としておけば、この2つのならべることで、上のような表現行列となります．

逆に、上のように $\begin{pmatrix}A_1&B\\O&C\end{pmatrix}$ がなりたつとすると、基底の前半部分により、不変部分空間が作れていることになります．

$f$-不変部分空間による商空間上に誘導する線形変換

授業中は少しややこしい話をしてしまいましたが、ここでまとめておきます．
主張は以下です．


定理
$f:V\to V$ を線形変換とします．このとき、$W$ が $f$-不変部分空間とします．
このとき、$f$ が $V/W$ 上の線形変換に誘導される為の必要十分条件は、$W$ が $f$-不変部分空間であることである．


$f$ が $V/W$ 上の線形変換に誘導されるとは、$V/W$ 上の線形変換 $\tilde{f}$ が存在して、
$$\tilde{f}([v])=[f(v)]$$
となることです．ここで、$[v]$ などの商空間の書き方は、リンク１やリンク２を見てください．
$[v]$ と書くことで、$v$ が代表する同値類と考えるわけです．ただ、$V/W$ の元 $[v]$ の表し方は一通りではなく、$[v]=[w]$ のように別の元 $w$ をもって同じ元を表すことがあります．ただし、その2元の間には、$v-w\in W$ が成り立ちます．
つまり、
$$[v]=[w]\Leftrightarrow v-w\in W\hspace{2cm}(\ast)$$
です．これは商ベクトル空間 $V/W$ の定義です．

誘導することができる為にはというのは、$\tilde{f}$ が定義できる為にはという意味です．
つまり、Well-definedかということで、それを確かめる方法は、ある元の写した先がただ一通りか？ということです．つまり、多くの場所に写ることができるようになっていないか？ということです．これは一言で言えば、写像になっているかということです．

写像 $\mathcal{F}:V\to W$ とは、集合 $V$ の全ての元をただ一つの $W$ の元に写す対応のことです．どの元もただ一つの $W$ の元に写すということが写像の特徴です．

上のように自然に定めているのだからただ一つの元に移っているのは当たり前だと思っては間違いです．自然性 $\tilde{f}([v])=[f(v)]$ は、$x=[v]$ という $V/W$ の元の表し方に依存した書き方をしているからです．表し方、$[v]$ のように、$x$ をある代表元 $v$ を選び、その $v$ 使っているので、もしかしたら、表し方を変えたら違う元に写る可能性も否定はできません．


なので、別の表し方を使っても、やはり同じところに写ることを言わないといけません．これを Well-defined性といいます．証明をしてみると、

$\forall x$ に対して $x=[v]=[w]$ のように、同じ元 $x$ を違うあらわしかたをしておきます．


このとき、自然性から、$\tilde{f}([v])=[f(v)]$ となります．同じように、$\tilde{f}([w])=[f(w)]$ となります．両者は同じ元なので、$[f(v)]=[f(w)]$ がなりたたないといけません．

しかし、$V/W$ として、$[f(v)]=[f(w)]$ が成り立つ為には、上の $(\ast)$ のとおり、$f(v)-f(w)\in W$ が成り立っていなければなりません．

このとき、$W$ は $f$-不変部分空間であることを使います．いま、$[v]=[w]$ であったのだから、$v-w\in W$ が成り立ちます．よって、$f$-不変性から、$f(v-w)=f(v)-f(w)\in W$ が成り立ちます．よって示されました．


また、$\tilde{f}$ が線形写像であるから、$V/W$ の零元が零元に写るという性質を示せばよく、その為に $W$ が $f$-不変部分空間であることからわかるとしてもよいでしょう．

逆（$V/W$ 上の線形変換ならば $W$ は $f$-不変部分空間である）も示す必要がありますが、ここでは省略．


基底の延長(拡張)の仕方(復習)

部分ベクトル空間 $W\subset V$ の基底 ${\bf w}_1,\cdots,{\bf w}_k$ を延長(拡張)して、$V$ の基底を作ります．これは、一次独立なベクトルを延長(拡張)して基底を作ることは、(リンク(一昨年))や(リンク(去年))で行いました．これは補空間の基底を作っていることと同じです．
そこのリンクで計算の仕方は上げていると思うので、ここでは抽象的な話だけにします．

つまり

• 一次独立なベクトル ${\bf w}_1,{\bf w}_2,\cdots,{\bf w}_k$ があり、そのベクトルを延長して $V$ の基底を作ること．
• 部分ベクトル空間 $W\subset V$ の補空間 $W'$ の基底を求めること．
• 部分ベクトル空間 $W\subset V$ の基底 ${\bf w}_1,{\bf w}_2,\cdots,{\bf w}_k$ を延長して $V$ の基底を作ること．

なる問題は全て同じ答えでまかなえます．

$W'$ が $W\subset V$ の補空間であるとは、$V=W\oplus W'$ なる $V$ の部分空間のことです．

数ベクトル空間の場合にやります．そうでない場合も、$V$ の適当な基底を用意することで、同じように補空間を求めることができます．

$n\times (n+k)$ 行列として、$({\bf w}_1,\cdots {\bf w}_k,{\bf e}_1,\cdots, {\bf e}_n)$

を考えます．${\bf e}_1,\cdots, {\bf e}_n$ として、とりあえず、標準基底 ${\bf e}_1,\cdots,{\bf e}_n$ を持ってきます．基底であればなんでも構いません．

このとき、この $n\times (n+k)$ 行列を眺めていてもどこに一次独立なベクトルがあるかわかりません．

ですので、この行列を簡約化します．そうすると、

$({\bf w}_1,\cdots, {\bf w}_k,{\bf e}_1,\cdots, {\bf e}_n)\to \cdots\to ({\bf e}_1,\cdots ,{\bf e}_k,{\bf u}_1,\cdots {\bf u}_{n})$

となります．これはどうしてかというと、${\bf w}_1,\cdots, {\bf w}_k$ は一次独立であり、(行の)基本変形をしてもこの関係は変わらないからです．つまり、簡約化した後、一次独立になっていないといけませんので、特に標準基底 ${\bf e}_1,\cdots, {\bf e}_k$ が最初の $k$ 列までに出てこないといけません．

後半の ${\bf u}_1,\cdots {\bf u}_{n}$ は、一次独立ではありません．

しかし、簡約化していることと、この $n\times (n+k)$ 行列の rank は $n$ であることから、この 縦ベクトルの中に、${\bf e}_{k+1},{\bf e}_{k+2},\cdots, {\bf e}_n$ も含まれています．

それを順番に ${\bf u}_{n_1},\cdots, {\bf u}_{n_{n-k}}$ とします．

このとき、線形関係式の同値性から、${\bf w}_1,{\bf w}_2,\cdots, {\bf w}_k$ に延長(拡張)して
${\bf w}_1,{\bf w}_2,\cdots, {\bf w}_k, {\bf e}_{n_1},{\bf e}_{n_2},\cdots, {\bf e}_{n_{n-k}}$
が拡張して $V$ の基底が得られたということになります．

$W\subset V$ の補空間 $W'$ の基底は、${\bf e}_{n_1},{\bf e}_{n_2},\cdots, {\bf e}_{n_{n-k}}$ ということになります．


同型写像の作り方

まず、線形写像の作り方です．その前に写像 $f:V\to W$ の作り方ですが、それは、
任意の ${\bf v}\in V$ に対して、$f({\bf v})$ を決めればよいことになります．
しかし、$V$ がベクトル空間である場合、${\bf v}$ は
${\bf v}=a_1{\bf v}_1+\cdots +a_n{\bf v}_n$ と書けます．
さらに、$f$ が線形写像である場合は、$f({\bf v})=a_1f({\bf v}_1)+\cdots+a_nf({\bf v})$
となり、これは基底の行き先
$$f({\bf v}_1),\cdots, f({\bf v}_n)$$
を決めておけば、${\bf v}$ の値も自動的に決まるということを意味しています．

つまり、基底の行き先を一つ一つ決めておけば、線形写像が決まったことになります．

また、線形同型写像を作る方法は、$f$ が全単射にしておくことが条件です．

この条件を言い換えれば、$f$ によって移した先の $f({\bf v}_1),\cdots, f({\bf v}_n)$が再び基底になっていることです．つまり、


定理
$f:V\to W$ が同型写像であることの必要十分条件は、基底 ${\bf v}_1,\cdots, {\bf v}_n$ に対して、その像 $f({\bf v}_1),\cdots, f({\bf v}_n)$ も基底になることである．


が成り立ちます．
(証明)
$f$ が単射であることは、$\text{Ker}(f)$ が $0$ ベクトル空間であることが必要十分．
$a_1f({\bf v}_1)+\cdots+a_n f({\bf v}_n)=0$ ならば、$a_1{\bf v}_1+\cdots +a_n{\bf v}_n=0$ でなければなりませんが、これらのベクトル ${\bf v}_1,\cdots, {\bf v}_n$ が基底であることから、この条件は $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$ と同値です．
つまり、$f$ の単射性と $f({\bf v}_1), \cdots, f({\bf v}_n)$ の一次独立性は同値がわかりました．

同じように、 $f$ が全射であるなら、任意の ${\bf w}\in W$ に対して、${\bf w}=f(a_1{\bf v}_1+\cdots+a_n {\bf v}_n)=a_1f({\bf v}_1)+\cdots+a_n f({\bf v}_n)$ が成り立つことになります．これは基底の2番目の性質（任意のベクトルがそれらの一次結合でかける）そのものということになります．よってこの性質は全射性と同値となります．