[場所1E501（月曜日5限）]
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今日はLangの線形代数の続きを読みました。
いくつか話がありましたが、
w_{k+1}=a_1w_1+\cdots+a_kw_k となるので、w_1,\cdots w_k が一次独立で
あることに反する。
ゆえに、 a_{k+1},\cdots, a_m のうちゼロでないものが存在します。
ベクトルを並び替えて、そのような係数を a_{k+1} とすることができます。
よって、
v_{k+1}=\frac{-a_1}{a_{k+1}}w_1+\cdots+\frac{-a_k}{a_{k+1}}w_k+\frac{1}{a_{k+1}}w_{k+1}+\frac{-a_{k+2}}{a_{k+1}}v_{k+2}+\cdots +\frac{-a_m}{a_{k+1}}v_m
となります。
よって、v_{k+1}\in \langle w_1,\cdots, w_{k+1},v_{k+2},\cdots, v_m\rangle
となり、これを続けることで、
V=\langle w_1,\cdots, w_m\rangle とすることができます。
このとき、w_n\in V であるので、w_n が w_1,\cdots, w_m の一次結合で書くことが
でき、これは w_1,\cdots, w_n が一次独立であることに反する。
ゆえに、 w_1,\cdots, w_n は一次従属ということになります。
他に、基底であることの必要充分条件で、以下のものもあります。
定理
\{v_1,\cdots, v_n\} が基底であることは、それらが、一次独立なベクトルの
集合の中で極大集合であることである。
\{v_1,\cdots, v_n\} が一次独立な極大集合であるとは、それらがまず、一次独立であり、
任意の v\in V に対して、\{v,v_1,\cdots, v_n\} が V が一次従属であること。
です。
(証明)
V の基底であることは、\{v_1,\cdots, v_n\} が一次独立であり、任意の v\in V が
それらの一次結合でかけることですが、
もし、\{v_1,\cdots, v_n\} が一次独立は極大集合であれば、
c_0v+c_1v_1+\cdots+c_nv_n=0 が成り立つが、
c_0 はゼロではない。もしゼロなら、v_1,\cdots, v_n が一次独立であることから、
\forall i に対して、c_i=0 であるから、c_i=0 (i=0,1,\cdots,n)
であるので、\{v_1,\cdots, v_n\} が一次独立な極大集合であることに反する。
よって、c_0\neq 0 である。
ゆえに、c_0 で割って整理すると、v はv_1,\cdots, v_n の一次結合でかける。
つまり、\{v_1,\cdots, v_n\} は V の基底。
また、\{v_1,\cdots, v_n\} がV の基底であるとすると、
\{v_1,\cdots, v_n\} は一次独立であり、\forall v\in V に対して、
v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n とかけるが、これは、
\{v,v_1,\cdots, v_n\} が一次従属であることを示している。
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今日はLangの線形代数の続きを読みました。
いくつか話がありましたが、
- 以下の定理について証明がありました。
定理
ベクトル空間 V に対してその基底を \{v_1,\cdots, v_m\} であるとする。
このとき、\{w_1,\cdots, w_n\} が V のベクトルとする。
もし、n>m であれば、\{w_1,\cdots, w_n\} は一次従属である。
このような定理は線形代数の中で幾度となく出てきます。
この定理の内容が証明を込みで理解し、
いつでも証明ができたり、使えたりすることは大変重要なことです。
にも書きましたが、
このときは、行列の言葉に直してから、その行列のどこかに、
ベクトルのが一次従属になるように係数が作れるという具体的
な連立一次方程式の解法に沿った内容でした。
ラングの証明は少し違います。
今回の授業では、この定理の証明を紹介してもらいました。
(ラングの証明)
\{w_1,\cdots, w_n\} は一次独立であると仮定する。
仮定から、V=\langle v_1,\cdots, v_m\rangle であるので、
w_1=a_1v_1+\cdots+a_mv_m である。
ここで、w_1\neq{\bf 0} であるので、この係数 a_1,\cdots, a_m のどれかは0 ではない。
v_1,\cdots, v_m を並び替えることによって、
a_1\neq 0 としてよい。
このとき、v_1=\frac{1}{a_1}w_1-\frac{a_2}{a_1}v_2-\cdots -\frac{a_m}{a_1}v_m となるので、v_1 は w_1,v_2,\cdots, v_m の線形和によってかける。
つまり、V は w_1,v_2,\cdots, v_m によって生成されます。
\langle v_1,\cdots, v_m\rangle=\langle w_1,v_2,\cdots, v_m\rangle
となります。
V=\langle w_1,\cdots, w_k,v_{k+1},\cdots, v_m\rangle
であるとします。
このとき、w_{k+1}=a_1w_1+\cdots+a_kw_k+a_{k+1}v_{k+1}+\cdots +a_mv_m
となる係数 a_1,\cdots, a_m が存在します。
a_{k+1},\cdots, a_m が全て 0 であるとすると、w_{k+1}=a_1w_1+\cdots+a_kw_k となるので、w_1,\cdots w_k が一次独立で
あることに反する。
ゆえに、 a_{k+1},\cdots, a_m のうちゼロでないものが存在します。
ベクトルを並び替えて、そのような係数を a_{k+1} とすることができます。
よって、
v_{k+1}=\frac{-a_1}{a_{k+1}}w_1+\cdots+\frac{-a_k}{a_{k+1}}w_k+\frac{1}{a_{k+1}}w_{k+1}+\frac{-a_{k+2}}{a_{k+1}}v_{k+2}+\cdots +\frac{-a_m}{a_{k+1}}v_m
となります。
よって、v_{k+1}\in \langle w_1,\cdots, w_{k+1},v_{k+2},\cdots, v_m\rangle
となり、これを続けることで、
V=\langle w_1,\cdots, w_m\rangle とすることができます。
このとき、w_n\in V であるので、w_n が w_1,\cdots, w_m の一次結合で書くことが
でき、これは w_1,\cdots, w_n が一次独立であることに反する。
ゆえに、 w_1,\cdots, w_n は一次従属ということになります。
他に、基底であることの必要充分条件で、以下のものもあります。
定理
\{v_1,\cdots, v_n\} が基底であることは、それらが、一次独立なベクトルの
集合の中で極大集合であることである。
\{v_1,\cdots, v_n\} が一次独立な極大集合であるとは、それらがまず、一次独立であり、
任意の v\in V に対して、\{v,v_1,\cdots, v_n\} が V が一次従属であること。
です。
(証明)
V の基底であることは、\{v_1,\cdots, v_n\} が一次独立であり、任意の v\in V が
それらの一次結合でかけることですが、
もし、\{v_1,\cdots, v_n\} が一次独立は極大集合であれば、
c_0v+c_1v_1+\cdots+c_nv_n=0 が成り立つが、
c_0 はゼロではない。もしゼロなら、v_1,\cdots, v_n が一次独立であることから、
\forall i に対して、c_i=0 であるから、c_i=0 (i=0,1,\cdots,n)
であるので、\{v_1,\cdots, v_n\} が一次独立な極大集合であることに反する。
よって、c_0\neq 0 である。
ゆえに、c_0 で割って整理すると、v はv_1,\cdots, v_n の一次結合でかける。
つまり、\{v_1,\cdots, v_n\} は V の基底。
また、\{v_1,\cdots, v_n\} がV の基底であるとすると、
\{v_1,\cdots, v_n\} は一次独立であり、\forall v\in V に対して、
v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n とかけるが、これは、
\{v,v_1,\cdots, v_n\} が一次従属であることを示している。
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