微積分I演習(数学類)(第9回)

[場所1E103（水曜日4限）]

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今回は

• 有理関数の積分
• 剰余項とその収束

についてやりました。

有理関数の積分

有理関数の積分は以前、

2017年微積分I演習(物理学類)(第9回)(リンク)
2016年微積分I演習(数学類)(第10回)(リンク)

2016年微積分I演習(数学類)(第9回)(リンク)

2016年微積分I演習(数学類)(第8回)(リンク)(部分分数展開)

剰余項とその収束について

剰余項はあまりやるつもりではありませんでしたが、少しだけ扱います。

剰余項は、以前

2016年微積分I演習(数学類)(第6回)(リンク)
で扱いました。

$f(x)$ が無限回微分可能であるとします。このとき、テイラー展開は、

$$f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+\frac{f’’(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_{n+1}(x)$$

となります。

ここで、

$$R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)}(x-a)^{n+1}$$

となります。

ここで、$c$ $x$, $a$ の間の数です。$c$ は、$x,a,n$ によります。

$x$を固定して、

$$R_{n+1}(x)\to 0$$

であることを示されれば、このテイラー展開は、無限級数展開できることになり、

$$f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+\frac{f’’(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

となる等式が成り立ちます。

例えば、$f(x)=\frac{1}{1-x}$ であるときに、

$f^{(n)}(x)=\frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$ であるので、

$f^{(n)}(0)=n!$ であるので、

$x=0$ でのテイラー展開は、

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\frac1{(1-c)^{n+2}}x^{n+1}$$

ただし、$|c|<|x|<1$ である。

$$R_{n+1}(x)=\frac1{(1-c)^{n+2}}x^{n+1}$$

とおく。

ここで、$r<1$ を定数とします。$|x|<\frac{r}{r+1}$ であるとすると、

$|c|<|x|$ なる任意の $c$ に対して、

$|c|<|x|<1-\frac{|x|}{r}$ がなりたち。とくに、

$c<1-\frac{x}{r}$ かつ $c<1+\frac{x}{r}$ が成り立ちます。

よって、変形して、$|\frac{x}{1-c}|<r$ が成り立ちます。剰余項は、

ゆえに、そのような $x$ に対して、

$$|\frac1{(1-c)^{n+2}}x^{n+1}|<\frac{1}{1-c}|\frac{x}{1-c}|^{n+1}<\frac{1}{1-c}r^{n+1}\to 0$$

よって、$R_{n+1}(x)\to 0$  $n\to \infty$ が成り立つ。