[場所1E103（金曜日5限）]
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第7回はレポートだけなので、それの解説と8回の内容を書きます。
第7回は
商のマクローリン展開を先にやっておきます。
商のマクローリン展開
これはどういうことかというと、
\frac{1}{1-f(x)} のマクローリン展開のことです。
分子も何か関数 g(x) があってもいいのですが、結局は、分母を展開した後、
かければいいので、\frac{1}{1-f(x)} のマクローリン展開を考えます。
いま、\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots +x^n+o(x^n) (x\to 0) が成り立ちます。
また、f(x) のマクローリン展開が 可能で、f(0)=0 であるとします。
このとき、f(x)=f’(0)x+\frac{f’’(0}{2}x^2+\cdots と展開できます。
このとき、
\frac{1}{1-f(x)}=1+f(x)+f(x)^2+f(x)^3+\cdots +f(x)^n+o(f(x)^n)
が成り立ちます。
o(f(x)^n) は o(x^n) と書き換えられます。
なぜかというと、h(x)=o((f(x))^n) であるとすると、
\frac{h(x)}{x^n}=\frac{h(x)}{f(x)^n}\frac{f(x)^n}{x^n}=\frac{h(x)}{f(x)^n}\left(\frac{f(x)}{x}\right)^n\to 0
なります。よって、h(x)=o(x^n) が成り立ちます。
ゆえに、
\frac{1}{1-f(x)}=1+f(x)+f(x)^2+f(x)^3+\cdots +f(x)^n+o(x^n)
=1+\left(f’(0)x+\frac{f’’(0)}{2}x^2+\cdots\right)+\left(f’(0)x+\frac{f’’(0)}{2}x^2+\cdots\right)^2
+\cdots+\left(f’(0)x+\frac{f’’(0)}{2}x^2+\cdots\right)^n+o(x^n)
となり、展開して整理すれば、
\frac{1}{1-f(x)} のマクローリン展開ができます。
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第7回はレポートだけなので、それの解説と8回の内容を書きます。
第7回は
- マクローリン展開を用いた不定形の極限
第8回は
をやってもらいました。
- 商、対数、ベキ乗関数のマクローリン展開
- 三角関数の積分
をやってもらいました。
マクローリン展開を用いた不定形の極限
レポートで多くの人はできていたので、この部分は問題はないと思います。
今年の隣のクラスでも同じ内容のblogを書きましたのでここでリンクしておきす。
商のマクローリン展開を先にやっておきます。
商のマクローリン展開
これはどういうことかというと、
\frac{1}{1-f(x)} のマクローリン展開のことです。
分子も何か関数 g(x) があってもいいのですが、結局は、分母を展開した後、
かければいいので、\frac{1}{1-f(x)} のマクローリン展開を考えます。
いま、\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots +x^n+o(x^n) (x\to 0) が成り立ちます。
また、f(x) のマクローリン展開が 可能で、f(0)=0 であるとします。
このとき、f(x)=f’(0)x+\frac{f’’(0}{2}x^2+\cdots と展開できます。
このとき、
\frac{1}{1-f(x)}=1+f(x)+f(x)^2+f(x)^3+\cdots +f(x)^n+o(f(x)^n)
が成り立ちます。
o(f(x)^n) は o(x^n) と書き換えられます。
なぜかというと、h(x)=o((f(x))^n) であるとすると、
\frac{h(x)}{x^n}=\frac{h(x)}{f(x)^n}\frac{f(x)^n}{x^n}=\frac{h(x)}{f(x)^n}\left(\frac{f(x)}{x}\right)^n\to 0
なります。よって、h(x)=o(x^n) が成り立ちます。
ゆえに、
\frac{1}{1-f(x)}=1+f(x)+f(x)^2+f(x)^3+\cdots +f(x)^n+o(x^n)
=1+\left(f’(0)x+\frac{f’’(0)}{2}x^2+\cdots\right)+\left(f’(0)x+\frac{f’’(0)}{2}x^2+\cdots\right)^2
+\cdots+\left(f’(0)x+\frac{f’’(0)}{2}x^2+\cdots\right)^n+o(x^n)
となり、展開して整理すれば、
\frac{1}{1-f(x)} のマクローリン展開ができます。
例として、第7回のレポートを書いておきます。
問題は次の関数
f(x)=\frac{x}{\tan x}
のマクローリン展開でした。
もちろん、f(0)=1, f'(0)=0, f''(0)=-\frac{2}{3}, f'''(0)=0 f^{(4)}(0)=-\frac{8}{15}
とすれば、
f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+o(x^4)
=1-\frac{x^2}{3}-\frac{x^4}{45}+o(x^4)
と計算できます。しかし、ここでは、下にもあるように、もう少しやさしくやる方法を
考えます。つまり、上の4回微分までの値をさらっと書いてありますが、まぁまぁ
大変です。
その代わり、\tan x の微分ならそれほど苦になりません。
つまり、
\tan x=x+\frac{x^3}3+\frac{2x^5}{15}+o(x^5)
がすぐに成り立ちます。奇関数であることから、奇数の項しかでてきません。
これを使うと、
\frac{x}{\tan x}=\frac{1}{1+\frac{x^2}{3}+\frac{2x^4}{15}+o(x^4)}
であることがわかります。
また、\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots +(-1)^{n-1}x^n+o(x^n)
において x の場所に \frac{x^2}{3}+\frac{2x^4}{15}+o(x^4) を代入します。
このとき、h(x)=o(x^4) なる関数として、
\frac{\left(\frac{x^2}{3}+\frac{2x^4}{15}+h(x)\right)^4}{x^4}=\left(\frac{x}{3}+\frac{2x^3}{15}+\frac{h(x)}{x}\right)^4\to 0\ \ \ \ (x\to 0)
が成り立ちます。よって、
o\left(\left(\frac{x^2}{3}+\frac{2x^4}{15}+h(x)\right)^4\right)=o(x^4)
となります。これを使って、
このとき、h(x)=o(x^4) なる関数として、
\frac{\left(\frac{x^2}{3}+\frac{2x^4}{15}+h(x)\right)^4}{x^4}=\left(\frac{x}{3}+\frac{2x^3}{15}+\frac{h(x)}{x}\right)^4\to 0\ \ \ \ (x\to 0)
が成り立ちます。よって、
o\left(\left(\frac{x^2}{3}+\frac{2x^4}{15}+h(x)\right)^4\right)=o(x^4)
となります。これを使って、
\frac{1}{1+\frac{x^2}{3}+\frac{2x^4}{15}+o(x^4)}=1-\left(\frac{x^2}{3}+\frac{2x^4}{15}+o(x^4)\right)+\left(\frac{x^2}{3}+\frac{2x^4}{15}+o(x^4)\right)^2-\left(\frac{x^2}{3}+\frac{2x^4}{15}+o(x^4)\right)^3
+\left(\frac{x^2}{3}+\frac{2x^4}{15}+o(x^4)\right)^4+o\left((\frac{x^2}{3}+\frac{2x^4}{15}+o(x^4))^4\right)
+\left(\frac{x^2}{3}+\frac{2x^4}{15}+o(x^4)\right)^4+o\left((\frac{x^2}{3}+\frac{2x^4}{15}+o(x^4))^4\right)
=1-\left(\frac{x^2}{3}+\frac{2x^4}{15}+o(x^4)\right)+\left(\frac{x^4}{9}+o(x^6)\right)+o(x^6)+o(x^7)+o(x^4)
=1-\frac{x^2}{3}-\frac{x^4}{45}+o(x^4)
となります。
対数関数の合成のマクローリン展開
\frac{-f’(x)}{1-f(x)}=-f’(x)\left(1+f(x)+f(x)^2+f(x)^3+\cdots +f(x)^n+o(x^n)\right)
=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+o(x^n)
と展開するとき、積分することで、
\log(1-f(x))=a_0x+a_1\frac{x^2}{2}+a_2\frac{x^3}{3}+\cdots+a_n\frac{x^{n+1}}{n+1}+o(x^{n+1})
となります。
\int_0^x o(x^n)dx=o(x^{n+1}) であることを示します。
h(x)=o(x^n) であるとします。
\int_0^x h(x)dx=H(x) であるとします。
\lim_{x\to 0}\frac{H(x)}{x^{n+1}}
を求めます。ロピタルの定理を用いると、
\lim_{x\to 0}\frac{\left(\int_0^x h(x)dx\right)’}{(n+1)x^n}=\lim_{x\to 0}\frac{h(x)}{(n+1)x^n}=0
となるので、
\lim_{x\to 0}\frac{H(x)}{x^{n+1}}=0 となります。
よって、\int_0^x o(x^n)dx=o(x^{n+1}) がいえます。
対数関数の合成のマクローリン展開は、次のようにして求めることができます。
\log(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+\frac{x^n}{n}+o(x^n)
であるから、f(x)=a_1x+a_2x^2+\cdots の展開を持つとすると、
\log(1-f(x))=f(x)+\frac{f(x)^2}{2}+\frac{f(x)^3}{3}+\cdots+\frac{f(x)^n}{n}+o(x^n)
とすることができます。
=1-\frac{x^2}{3}-\frac{x^4}{45}+o(x^4)
となります。
対数関数の合成のマクローリン展開
\frac{-f’(x)}{1-f(x)}=-f’(x)\left(1+f(x)+f(x)^2+f(x)^3+\cdots +f(x)^n+o(x^n)\right)
=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+o(x^n)
と展開するとき、積分することで、
\log(1-f(x))=a_0x+a_1\frac{x^2}{2}+a_2\frac{x^3}{3}+\cdots+a_n\frac{x^{n+1}}{n+1}+o(x^{n+1})
となります。
\int_0^x o(x^n)dx=o(x^{n+1}) であることを示します。
h(x)=o(x^n) であるとします。
\int_0^x h(x)dx=H(x) であるとします。
\lim_{x\to 0}\frac{H(x)}{x^{n+1}}
を求めます。ロピタルの定理を用いると、
\lim_{x\to 0}\frac{\left(\int_0^x h(x)dx\right)’}{(n+1)x^n}=\lim_{x\to 0}\frac{h(x)}{(n+1)x^n}=0
となるので、
\lim_{x\to 0}\frac{H(x)}{x^{n+1}}=0 となります。
よって、\int_0^x o(x^n)dx=o(x^{n+1}) がいえます。
対数関数の合成のマクローリン展開は、次のようにして求めることができます。
\log(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+\frac{x^n}{n}+o(x^n)
であるから、f(x)=a_1x+a_2x^2+\cdots の展開を持つとすると、
\log(1-f(x))=f(x)+\frac{f(x)^2}{2}+\frac{f(x)^3}{3}+\cdots+\frac{f(x)^n}{n}+o(x^n)
とすることができます。
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