[場所1E101（水曜日4限）]
HPに行く．
今日は
今日は
- パラメータをを含む関数の積分を
やりました．微分と積分の順序の交換です．
ただ、それを使って解いてくれる人はあまりいませんでしたね．
ただ、それを使って解いてくれる人はあまりいませんでしたね．
パラメータを含む関数の積分
パラメータ t のある関数とは、f_t(x) という実数 t に対して一変数関数が決まる
ものですが、これは、単に二変数関数 f(x,t) ということと同じです．
2変数関数は習っていませんが、パラメータ付きの関数を f(x,t) と書くことにします．
また、途中で出てくる偏微分も習っていませんが、ここで簡単に
説明をします．
偏微分 \frac{\partial f(x,t)}{\partial t} とは、2変数関数 f(x,t) のうち、
変数 x を定数だと思うと、f(x,t) は、t に関する一変数関数となります．その
関数を一変数関数として、普通に微分したものです．
例えば、
f(x,t)=tx なら、\frac{\partial f(x,t)}{\partial t}=x
f(x,t)=e^{tx} なら、\frac{\partial f(x,t)}{\partial t}=xe^{tx}
ものですが、これは、単に二変数関数 f(x,t) ということと同じです．
2変数関数は習っていませんが、パラメータ付きの関数を f(x,t) と書くことにします．
また、途中で出てくる偏微分も習っていませんが、ここで簡単に
説明をします．
偏微分 \frac{\partial f(x,t)}{\partial t} とは、2変数関数 f(x,t) のうち、
変数 x を定数だと思うと、f(x,t) は、t に関する一変数関数となります．その
関数を一変数関数として、普通に微分したものです．
例えば、
f(x,t)=tx なら、\frac{\partial f(x,t)}{\partial t}=x
f(x,t)=e^{tx} なら、\frac{\partial f(x,t)}{\partial t}=xe^{tx}
f(x,t)=\frac{t}{x^2+t^2} なら、\frac{\partial f(x,t)}{\partial t}=-\frac{t^2-x^2}{(x^2+t^2)^2}
このとき、次の定理が成り立ちます．
(1,2) の条件は、2変数関数としての連続性であり、まだ習っていませんので
それに関してはここではやりません．
でてくる関数が連続性や、偏微分可能性は十分に成り立つと仮定しているとします．
この最後の条件 (3) は、広義積分でなければ(閉区間上の積分であれば)、広義積分可能なは入らずいつでも成り立ちます．なので、(3) は広義積分のときに必要な条件です．
例
授業中にやっていた例をここでもやってみます．
\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx
の積分を計算します．そのために、
F(t)=\int_{0}^\infty e^{-tx}\frac{\sin x}x\,dx
を一度考えます．この被積分関数は、連続であり、偏微分可能です．一度 t で偏微分すると、
-e^{-tx}\sin x となります．
今、t\ge t_0 のとき、|e^{-tx}\sin x|\le e^{-tx}\le e^{-t_0x} なので、このとき、t によらず、有界です．
よって、上の定理25を使うことができて、F'(t)=-\int_0^\infty e^{-tx}\sin xdx が成り立ち、実際、これを計算すると、
F'(t)=-\frac{1}{t^2+1} となります．
ゆえに、これを積分することで、F(t)=C-\text{arctan}(t) となります．
ここで、C は積分定数です．
t\to \infty なる極限を考えることで、C を決定します．そのためには、
\lim_{t\to \infty}\int_0^\infty e^{-tx}\frac{\sin x}{x}dx の極限を積分の中に入れる必要があります．
極限と積分の順序を交換することができるための条件もあります．
今、\Big|e^{-tx}\frac{\sin x}{x}\Big|\le \frac{e^{-t_0x}}{x} このとき、この関数は x\to \infty で広義積分可能となります．
また、\Big|e^{-tx}\frac{\sin x}{x}\Big|\le e^{-tx}\le 1 となり x\to 0 においても積分可能となります．
よって、\lim_{t\to \infty}F(t)=\int_0^\infty \lim_{t\to \infty}e^{-tx}\frac{\sin x}{x}dx=0
一方、\lim_{t\to \infty}F(t)=\lim_{t\to \infty}(C-\text{arctan}(t))=C-\frac{\pi}{2}
より、C=\frac{\pi}2 となり、
\int_0^\infty e^{-tx}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}-\text{arctan}(t)=\text{arctan}(\frac{1}{t})
が成り立ちます．
ここまでの証明だと、F(t) は t>0 でしか、収束が示されませんが、
本当は、部分積分などをすることで、t\ge 0 でもこの広義積分が収束することが
示せます．そこで、
F(0)=\lim_{t\to 0}\int_0^\infty e^{-tx}\frac{\sin x}{x}dx=\int_0^\infty\lim_{t\to \infty}e^{-tx}\frac{\sin x}{x}dx=\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx
一方、F(0)=\frac{\pi}{2} なので、
\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}
がわかります．
級数の収束について
この前のプリントで13-Bの問題は、すべて有理数の数列を用いて作れという問題がありましたが、
多くの人は、テイラー展開を使って作ると思うのですが、テイラー展開には、収束半径
というものがあります．
テイラー展開
a_0+a_1(x-a)+a_1(x-a)^2+a_2(x-a)^2+\cdots
のような級数を整級数、もしくは、べき級数と言います．
x=a のことを、この整級数展開の中心ということにします．
例えば、一番簡単な整級数として、
\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots
があります．
これは、左辺の関数を 0 を中心とした整級数としてテイラー展開したもので、剰余項は収束しています．
このイコールは恒等式という意味ですが、少し偏っています．左辺には、x に代入できる実数は、x\neq 1 ですが、右辺に代入できる実数は、|x|<1 と限られているからです．
なので、恒等式というと少し語弊があるかも知れません．
見方としては、左辺の関数を、x=0 の周りで詳しく観察したものが右辺ということです．
なので、左辺は、値はわかりますが、右辺でその値の詳しい成り立ちがわかります．
例えば、近似計算などがわかったり、接線の式がわかったりします．
そして、詳しいことがわかる代わりに、わかる範囲が決められているのです．
ちょうど、関数を顕微鏡で覗いているようなもので、その詳しい様子を調べることができる代わりに、視野は狭まっているというわけです．その視野の半径のことを収束半径
と言います．下でちゃんと定義をします．
中心を少しずつ変えて展開をしてやれば、どの点でも関数を詳しく見ることができます．
収束半径
|x|<1 であれば、上の関数 \frac{1}{1-x} 絶対収束します．
級数 \sum_{n=0}^\infty a_n が絶対収束というのは、\sum_{n=0}^\infty |a_n| が収束することを言います．
今の例で言えば、|x|<1 であるとき、|x|=r とすると、
\sum_{n=0}^\infty |x^n|=\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac{1}{1-r} となり、
\sum_{n=0}^\infty |x^n| は収束します．(単調増加な有界数列は収束する．)
よって、\sum_{n=0}^\infty x^n は、|x|<1 で絶対収束します．
整級数
\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n
の収束半径とは、級数が絶対収束するための、展開の中心からの距離の上限
と定義します．記号で書けば、
\sup\left\{r\in{\mathbb R}||x-a|<r\text{ で$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$ が絶対収束する.}\right\}
となります．
上の例では、|x|<1 では、いつでも絶対収束しますので
収束半径を R とすると、R\ge 1 です．しかし、x=1を代入すると、
1+1+1+\cdots
と右辺は発散し、もちろん、絶対収束しません．
よって、R\le 1 が成り立ちます．
なので、級数
\sum_{n=0}^\infty x^n
の収束半径は、 R=1 とわかります．
収束半径を計算する一つの方法として、展開の中心を a とし、 r=|x-a| としたとき、r<R においては、いつでも絶対収束し、r=R のときに、発散する点(もしくは一般に絶対収束しない点)を見つけられれば、R が収束半径ということになります．
他の例として、
\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6\cdots
は、|x|<1 で、絶対収束しますが、x=\pm1 を入れると、右辺の級数は、
1-1+1-1+1-\cdots と収束しません．またこの級数は、絶対収束しません．
実際、各項に絶対値をつけた作った数列は、1+1+1+\cdots です．
なので、この収束半径も R=1 となります．
この関数の場合、左辺に、\pm1 を入れた場合、\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} となり、
有限な値になります．つまり、左辺にはどこにも発散する点がないにも関わらず、この等式
\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots
も、|x|<1 でしか成り立ちません．
（収束半径とは一体なんなのか？ということは、関数の定義域を複素数にまで広げると
分かるようになります．もう少し先で習う関数論で答えが出ます．
実は、この関数は、複素数にまで範囲を広げると、x=\pm i において発散する点を見つけることができます．）
13-Bの問題で、\log 5 を有理数の数列で作りなさいという問題がありますが、
多くの間違った解答は次のようになります．
\log(x+1) は x が 0 の近くで、
\log (x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots
となりますが、この式に、x=4 を入れてしまうというものです．
そうすると、
\log 5=4-\frac{4^2}{2}+\frac{4^3}{3}-\frac{4^4}{4}+\cdots
となりますが、\log (x+1) という関数の、x=0 を中心としたテイラー展開で
意味があるのは、収束半径内の |x|<1 のときのみです．
それに、有効ではない値 4 を入れてしまっています．
もちろん、この右辺は、収束しませんのでこの等式には意味はありません．
\pi を作る数列を作りなさいという解答も
\arctan(x) の展開で作るというのが一般的であるかもしれませんが、
積分して、\pi になるような関数を持ってきて、それを展開をしても良いでしょう．
例えば、すぐ思いつくものとして、
\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac{\pi}{4}
として、左辺は、
\int_0^1\sum_{n=0}^\infty \binom{\frac{1}{2}}{n}(-x^2)^ndx
となります．この級数の収束半径は、1です．
なので、|x|<1 でこの級数は、絶対収束します．
なので、項別微分ができて(収束半径内であれば、項別微積分ができる)、
それぞれの項を積分する形にすることができます．
ただ、x=1 では、収束半径内ではありませんが、交代級数ですので、収束が示せます．
定義25（パラメータを含む関数の積分）
(1) f(x,t) が連続で、
(2) 偏微分 \frac{f(x,t)}{\partial t} が存在し、連続であり、
(3) \frac{\partial f}{\partial t} が t によらず、ある(広義積分可能な)関数 \varphi(x) によって\Big|\frac{\partial f}{\partial t}\Big|\le \varphi(x)となるなら、F(t)=\int_a^bf(x,t)dx とおくと、
F'(t)=\int_a^b\frac{\partial f}{\partial t}dx
が成り立ち、F'(t) も連続である．
(1,2) の条件は、2変数関数としての連続性であり、まだ習っていませんので
それに関してはここではやりません．
でてくる関数が連続性や、偏微分可能性は十分に成り立つと仮定しているとします．
この最後の条件 (3) は、広義積分でなければ(閉区間上の積分であれば)、広義積分可能なは入らずいつでも成り立ちます．なので、(3) は広義積分のときに必要な条件です．
例
授業中にやっていた例をここでもやってみます．
\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx
の積分を計算します．そのために、
F(t)=\int_{0}^\infty e^{-tx}\frac{\sin x}x\,dx
を一度考えます．この被積分関数は、連続であり、偏微分可能です．一度 t で偏微分すると、
-e^{-tx}\sin x となります．
今、t\ge t_0 のとき、|e^{-tx}\sin x|\le e^{-tx}\le e^{-t_0x} なので、このとき、t によらず、有界です．
よって、上の定理25を使うことができて、F'(t)=-\int_0^\infty e^{-tx}\sin xdx が成り立ち、実際、これを計算すると、
F'(t)=-\frac{1}{t^2+1} となります．
ゆえに、これを積分することで、F(t)=C-\text{arctan}(t) となります．
ここで、C は積分定数です．
t\to \infty なる極限を考えることで、C を決定します．そのためには、
\lim_{t\to \infty}\int_0^\infty e^{-tx}\frac{\sin x}{x}dx の極限を積分の中に入れる必要があります．
極限と積分の順序を交換することができるための条件もあります．
定義26（極限と積分の順序交換）
十分大きい任意の t に対して、f(x,t) が t によらないある関数 \varphi(x) によって|f(x,t)|\le \varphi(x)となり、\int_a^b \varphi(x)dx<\infty であるなら
\lim_{t\to c}\int_a^bf(x,t)dx=\int_a^b\lim_{t\to c}f(x,t)\,dx
が成りたつ．
今、\Big|e^{-tx}\frac{\sin x}{x}\Big|\le \frac{e^{-t_0x}}{x} このとき、この関数は x\to \infty で広義積分可能となります．
また、\Big|e^{-tx}\frac{\sin x}{x}\Big|\le e^{-tx}\le 1 となり x\to 0 においても積分可能となります．
よって、\lim_{t\to \infty}F(t)=\int_0^\infty \lim_{t\to \infty}e^{-tx}\frac{\sin x}{x}dx=0
一方、\lim_{t\to \infty}F(t)=\lim_{t\to \infty}(C-\text{arctan}(t))=C-\frac{\pi}{2}
より、C=\frac{\pi}2 となり、
\int_0^\infty e^{-tx}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}-\text{arctan}(t)=\text{arctan}(\frac{1}{t})
が成り立ちます．
ここまでの証明だと、F(t) は t>0 でしか、収束が示されませんが、
本当は、部分積分などをすることで、t\ge 0 でもこの広義積分が収束することが
示せます．そこで、
F(0)=\lim_{t\to 0}\int_0^\infty e^{-tx}\frac{\sin x}{x}dx=\int_0^\infty\lim_{t\to \infty}e^{-tx}\frac{\sin x}{x}dx=\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx
一方、F(0)=\frac{\pi}{2} なので、
\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}
がわかります．
級数の収束について
この前のプリントで13-Bの問題は、すべて有理数の数列を用いて作れという問題がありましたが、
多くの人は、テイラー展開を使って作ると思うのですが、テイラー展開には、収束半径
というものがあります．
テイラー展開
a_0+a_1(x-a)+a_1(x-a)^2+a_2(x-a)^2+\cdots
のような級数を整級数、もしくは、べき級数と言います．
x=a のことを、この整級数展開の中心ということにします．
例えば、一番簡単な整級数として、
\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots
があります．
これは、左辺の関数を 0 を中心とした整級数としてテイラー展開したもので、剰余項は収束しています．
このイコールは恒等式という意味ですが、少し偏っています．左辺には、x に代入できる実数は、x\neq 1 ですが、右辺に代入できる実数は、|x|<1 と限られているからです．
なので、恒等式というと少し語弊があるかも知れません．
見方としては、左辺の関数を、x=0 の周りで詳しく観察したものが右辺ということです．
なので、左辺は、値はわかりますが、右辺でその値の詳しい成り立ちがわかります．
例えば、近似計算などがわかったり、接線の式がわかったりします．
そして、詳しいことがわかる代わりに、わかる範囲が決められているのです．
ちょうど、関数を顕微鏡で覗いているようなもので、その詳しい様子を調べることができる代わりに、視野は狭まっているというわけです．その視野の半径のことを収束半径
と言います．下でちゃんと定義をします．
中心を少しずつ変えて展開をしてやれば、どの点でも関数を詳しく見ることができます．
収束半径
|x|<1 であれば、上の関数 \frac{1}{1-x} 絶対収束します．
級数 \sum_{n=0}^\infty a_n が絶対収束というのは、\sum_{n=0}^\infty |a_n| が収束することを言います．
今の例で言えば、|x|<1 であるとき、|x|=r とすると、
\sum_{n=0}^\infty |x^n|=\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac{1}{1-r} となり、
\sum_{n=0}^\infty |x^n| は収束します．(単調増加な有界数列は収束する．)
よって、\sum_{n=0}^\infty x^n は、|x|<1 で絶対収束します．
整級数
\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n
の収束半径とは、級数が絶対収束するための、展開の中心からの距離の上限
と定義します．記号で書けば、
\sup\left\{r\in{\mathbb R}||x-a|<r\text{ で$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$ が絶対収束する.}\right\}
となります．
上の例では、|x|<1 では、いつでも絶対収束しますので
収束半径を R とすると、R\ge 1 です．しかし、x=1を代入すると、
1+1+1+\cdots
と右辺は発散し、もちろん、絶対収束しません．
よって、R\le 1 が成り立ちます．
なので、級数
\sum_{n=0}^\infty x^n
の収束半径は、 R=1 とわかります．
収束半径を計算する一つの方法として、展開の中心を a とし、 r=|x-a| としたとき、r<R においては、いつでも絶対収束し、r=R のときに、発散する点(もしくは一般に絶対収束しない点)を見つけられれば、R が収束半径ということになります．
他の例として、
\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6\cdots
は、|x|<1 で、絶対収束しますが、x=\pm1 を入れると、右辺の級数は、
1-1+1-1+1-\cdots と収束しません．またこの級数は、絶対収束しません．
実際、各項に絶対値をつけた作った数列は、1+1+1+\cdots です．
なので、この収束半径も R=1 となります．
この関数の場合、左辺に、\pm1 を入れた場合、\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} となり、
有限な値になります．つまり、左辺にはどこにも発散する点がないにも関わらず、この等式
\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots
も、|x|<1 でしか成り立ちません．
（収束半径とは一体なんなのか？ということは、関数の定義域を複素数にまで広げると
分かるようになります．もう少し先で習う関数論で答えが出ます．
実は、この関数は、複素数にまで範囲を広げると、x=\pm i において発散する点を見つけることができます．）
13-Bの問題で、\log 5 を有理数の数列で作りなさいという問題がありますが、
多くの間違った解答は次のようになります．
\log(x+1) は x が 0 の近くで、
\log (x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots
となりますが、この式に、x=4 を入れてしまうというものです．
そうすると、
\log 5=4-\frac{4^2}{2}+\frac{4^3}{3}-\frac{4^4}{4}+\cdots
となりますが、\log (x+1) という関数の、x=0 を中心としたテイラー展開で
意味があるのは、収束半径内の |x|<1 のときのみです．
それに、有効ではない値 4 を入れてしまっています．
もちろん、この右辺は、収束しませんのでこの等式には意味はありません．
\pi を作る数列を作りなさいという解答も
\arctan(x) の展開で作るというのが一般的であるかもしれませんが、
積分して、\pi になるような関数を持ってきて、それを展開をしても良いでしょう．
例えば、すぐ思いつくものとして、
\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac{\pi}{4}
として、左辺は、
\int_0^1\sum_{n=0}^\infty \binom{\frac{1}{2}}{n}(-x^2)^ndx
となります．この級数の収束半径は、1です．
なので、|x|<1 でこの級数は、絶対収束します．
なので、項別微分ができて(収束半径内であれば、項別微積分ができる)、
それぞれの項を積分する形にすることができます．
ただ、x=1 では、収束半径内ではありませんが、交代級数ですので、収束が示せます．
0 件のコメント:
コメントを投稿