[場所1E101（水曜日4限）]
今日は
積分値によりこの関数が定義づけられていますので、広義積分可能かどうかが問題となります．
$s\ge 1$ のとき、
$e^{-x}x^{s-1}$ は $x\to \infty$ でのみ広義積分になります．
$0<s<1$ のとき、
$e^{-x}\frac{1}{x^{1-s}}$ は、$x\to 0$ と $x\to \infty$ の両方で広義積分となります．
このいずれの広義積分も収束することを示してください
というのが、今回の宿題です．
例えば、簡単なのは、$x\to \infty$ での広義積分において、
$|x^2e^{-x}x^{s-1}|\le |e^{-x}x^{s+1}|$
であり、まず、$x>1$ なる $x$ において、$|e^{-x}x^{s+1}|\le |e^{-x}x^N|$ となる自然数 $n$ が存在します．
また、ロピタルの定理を繰り返すことで、
$$\lim_{x\to \infty}e^{-x}x^{N}=\lim_{x\to \infty}\frac{x^N}{e^x}=\lim_{x\to \infty}\frac{Nx^{N-1}}{e^x}=\cdots=\lim_{x\to \infty}\frac{N!}{e^x}=0$$
よって、ある実数 $M$ が存在して、$x>M$ なる任意の $x$ において
$|x^2e^{-x}x^{s-1}|<C$ なる$C$ が存在する．
よって、$|e^{-x}x^{s-1}|<\frac{C}{x^2}$ よって、
$\frac{C}{x^2}$ は $x\to \infty $ において、広義積分 $\int_M^\infty\frac{1}{x^2}dx$ は収束しますので、
よって、$s\ge1$ のとき、
$$\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}dx$$
は収束します．残りの $0<s<1$ についても、同じように収束性が必要です．
今日は
- ガンマ関数
- ベータ関数
ガンマ関数
数ある特殊関数の中で、大学生のうちに出てくるもので、最初のものです．
広義積分で定義されているので、だいたい、この機会に紹介されることが多いです．
定義は、以下のようになります．
定義23（ガンマ関数）
$s>0$ なる実数に対して、
$$\Gamma(s)=\int_0^{\infty}e^{-x}x^{s-1}dx$$
$$\Gamma(s)=\int_0^{\infty}e^{-x}x^{s-1}dx$$
積分値によりこの関数が定義づけられていますので、広義積分可能かどうかが問題となります．
$s\ge 1$ のとき、
$e^{-x}x^{s-1}$ は $x\to \infty$ でのみ広義積分になります．
$0<s<1$ のとき、
$e^{-x}\frac{1}{x^{1-s}}$ は、$x\to 0$ と $x\to \infty$ の両方で広義積分となります．
このいずれの広義積分も収束することを示してください
というのが、今回の宿題です．
例えば、簡単なのは、$x\to \infty$ での広義積分において、
$|x^2e^{-x}x^{s-1}|\le |e^{-x}x^{s+1}|$
であり、まず、$x>1$ なる $x$ において、$|e^{-x}x^{s+1}|\le |e^{-x}x^N|$ となる自然数 $n$ が存在します．
また、ロピタルの定理を繰り返すことで、
$$\lim_{x\to \infty}e^{-x}x^{N}=\lim_{x\to \infty}\frac{x^N}{e^x}=\lim_{x\to \infty}\frac{Nx^{N-1}}{e^x}=\cdots=\lim_{x\to \infty}\frac{N!}{e^x}=0$$
よって、ある実数 $M$ が存在して、$x>M$ なる任意の $x$ において
$|x^2e^{-x}x^{s-1}|<C$ なる$C$ が存在する．
よって、$|e^{-x}x^{s-1}|<\frac{C}{x^2}$ よって、
$\frac{C}{x^2}$ は $x\to \infty $ において、広義積分 $\int_M^\infty\frac{1}{x^2}dx$ は収束しますので、
よって、$s\ge1$ のとき、
$$\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}dx$$
は収束します．残りの $0<s<1$ についても、同じように収束性が必要です．
そちらは同じように、自力で解答してください．
このガンマ関数の関係式が大事です．
いろいろな、広義積分の値が楽に計算できるという利点があります．
ガンマ関数の関係式
$$\Gamma(s+1)=\int_0^{\infty}e^{-x}x^sdx=\left[-e^{-x}x^s\right]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-x}sx^sdx$$
$$=s\cdot\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}dx=s\Gamma(s)$$
となります．
この部分積分を込みで覚えれば、ガンマ関数の関係式も頭に入るはずです．
よって、
$$\Gamma(s+1)=s\cdot \Gamma(s)$$
よって、$\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-x}dx=1$ 自然数 $n$ に対して $\Gamma(n)=(n-1)!$ となります．
この式 $\Gamma(s+1)=s\cdot\Gamma(s)$ から、実数 $s>0$ における関数から、実数全体への関数とみなすことができます．しかし、$s=0,-1,-2,\cdots$ なる、非正整数の値は発散します．
例えば、$s=-\frac{1}{2}$ の値は、
$$\Gamma(-\frac{1}{2})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=-2\sqrt{\pi}$$
となります．
また、結果から書いておけば、ガンマ関数 $\Gamma(s)$ は定義できる領域内において解析関数になっています．
その他の関係式も授業中に教えましたが、ここでは証明するのには少し手狭です．
また、どこかで書きたいと思います．
簡単に分かる方法（ガンマ関数の無限積表示）を、こちら(リンク)に証明を書きました．
ベータ関数
ベータ関数の定義は、
です．この関数も、$0<a<1$ もしくは、 $0<b<1$ のとき、広義積分ですが、収束します．
$\int_0^{\frac{1}{2}}\frac1{x^s}dx$ のとき、$0<s<1$ であれば、この広義積分は収束しますのでこのことが対応します．
ベータ関数は次のようなガンマ関数を用いた等式があります．
$$B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$
ですので、ガンマ関数の等式がそのままベータ関数の等式となります．
このベータ関数のこの等式は重積分などを使って証明されますので、１年生の後期に習うと思います．
例えば、高校のとき習った公式、$\int_a^b(x-a)(x-b)dx=-\frac{(b-a)^3}{6}$ は、
$t=\frac{x-a}{b-a}$ とおくと、$x-a=t(b-a)$ かつ、$x-b=a+t(b-a)-b=(a-b)(1-t)$
$$\int_a^b(x-a)(x-b)dx=(b-a)\int_0^1(b-a)t\cdot (a-b)(1-t)dt$$
$$=-(b-a)^3\int_0^1t(1-t)dt=-(b-a)B(2,2)$$
となります．上の関係式を使えば、
$$B(2,2)=\frac{\Gamma(2)\Gamma(2)}{\Gamma(4)}=\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}$$
となります．
同じような変形により、$a,b$ を自然数とすると、
$$\int_A^B(x-A)^{a-1}(x-B)^{b-1}dx=(-1)^{b-1}(B-A)^{a+b-1}B(a,b)$$
$$=(-1)^{b-1}(A-B)^{a+b-1}\frac{(a-1)!(b-1)!}{(a+b-1)!}$$
となります．
実数についてのプリントに問題も出しましたが、特に何も説明しませんでしたので
ここでも省略します．
このガンマ関数の関係式が大事です．
いろいろな、広義積分の値が楽に計算できるという利点があります．
ガンマ関数の関係式
$$\Gamma(s+1)=\int_0^{\infty}e^{-x}x^sdx=\left[-e^{-x}x^s\right]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-x}sx^sdx$$
$$=s\cdot\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}dx=s\Gamma(s)$$
となります．
この部分積分を込みで覚えれば、ガンマ関数の関係式も頭に入るはずです．
よって、
$$\Gamma(s+1)=s\cdot \Gamma(s)$$
よって、$\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-x}dx=1$ 自然数 $n$ に対して $\Gamma(n)=(n-1)!$ となります．
この式 $\Gamma(s+1)=s\cdot\Gamma(s)$ から、実数 $s>0$ における関数から、実数全体への関数とみなすことができます．しかし、$s=0,-1,-2,\cdots$ なる、非正整数の値は発散します．
例えば、$s=-\frac{1}{2}$ の値は、
$$\Gamma(-\frac{1}{2})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=-2\sqrt{\pi}$$
となります．
また、結果から書いておけば、ガンマ関数 $\Gamma(s)$ は定義できる領域内において解析関数になっています．
その他の関係式も授業中に教えましたが、ここでは証明するのには少し手狭です．
また、どこかで書きたいと思います．
簡単に分かる方法（ガンマ関数の無限積表示）を、こちら(リンク)に証明を書きました．
ベータ関数
ベータ関数の定義は、
定義24（ベータ関数）
$a,b>0$ なる実数に対して、
$$B(a,b)=\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$$
です．この関数も、$0<a<1$ もしくは、 $0<b<1$ のとき、広義積分ですが、収束します．
$\int_0^{\frac{1}{2}}\frac1{x^s}dx$ のとき、$0<s<1$ であれば、この広義積分は収束しますのでこのことが対応します．
ベータ関数は次のようなガンマ関数を用いた等式があります．
$$B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$
ですので、ガンマ関数の等式がそのままベータ関数の等式となります．
このベータ関数のこの等式は重積分などを使って証明されますので、１年生の後期に習うと思います．
例えば、高校のとき習った公式、$\int_a^b(x-a)(x-b)dx=-\frac{(b-a)^3}{6}$ は、
$t=\frac{x-a}{b-a}$ とおくと、$x-a=t(b-a)$ かつ、$x-b=a+t(b-a)-b=(a-b)(1-t)$
$$\int_a^b(x-a)(x-b)dx=(b-a)\int_0^1(b-a)t\cdot (a-b)(1-t)dt$$
$$=-(b-a)^3\int_0^1t(1-t)dt=-(b-a)B(2,2)$$
となります．上の関係式を使えば、
$$B(2,2)=\frac{\Gamma(2)\Gamma(2)}{\Gamma(4)}=\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}$$
となります．
同じような変形により、$a,b$ を自然数とすると、
$$\int_A^B(x-A)^{a-1}(x-B)^{b-1}dx=(-1)^{b-1}(B-A)^{a+b-1}B(a,b)$$
$$=(-1)^{b-1}(A-B)^{a+b-1}\frac{(a-1)!(b-1)!}{(a+b-1)!}$$
となります．
実数についてのプリントに問題も出しましたが、特に何も説明しませんでしたので
ここでも省略します．
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