微積分I演習(第11回)

[場所1E101（水曜日4限）]

配付プリント

HPに行く．

今日は

• 広義積分の収束判定

についてやりました．

授業で話した内容に訂正があります．配付プリントは訂正してあります．

広義積分の収束について

広義積分とは、
$$\lim_{c\to b}\int_a^cf(x)dx$$
であり、この積分が収束するかどうかが問題です．
よく使う方法は、

定理19（広義積分の判定法）

任意の$x$ に対して、$|f(x)|\le g(x)$ であり、広義積分 $\int_a^bg(x)dx$ が収束するなら

$\int_a^bf(x)dx$ も広義積分可能．

この積分判定法は広く使われています．
また、発散の判定法として、次のものもあげておきます．

定理20（広義積分の判定法）

任意の $x$ に対して、$|f(x)|\ge g(x)$ であり、広義積分 $\int_a^bg(x)dx$ が発散するなら
$\int_a^bf(x)dx$ は広義積分は不可能．

例1

$$\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^2}$$
の広義積分の収束を調べるとします．
そのとき、$\frac{1}{1+x^2}\le \frac{1}{x^2}$ であり、$\int_1^c\frac{1}{x^2}dx=[-\frac{1}{x}]_1^c=-\frac{1}{c}+1\to 1$
となります．よって、
$\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2}=\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}+\int_1^\infty\frac{dx}{1+x^2}$ は
収束します．

例2

広義積分 $\int_0^\infty\frac{dx}{\log (x+1)}$ の収束について考えます．

$x\to \infty$ と $x\to 0$ の両方の広義積分を考える必要あります．

まず、$x\ge 0$ において、不等式$|\log (x+1)|\le x$ が成り立ちます．
($\because f(x)=x-\log (x+1)$ とすると、$f'(x)=1-\frac{1}{x+1}=0$ ならば、$x=0$ であり、そのとき、最小．$f(1)=0-\log 1=0$)

なので、
$$\frac{1}{|\log (x+1)|}\ge  \frac{1}{x}$$
となり、広義積分 $\int_1^c\frac{dx}{|\log (x+1)|}\ge \int_1^c \frac{dx}{x}\to\infty\ \ (c\to \infty)$

よって、無限区間での積分 $\int_1^\infty\frac{dx}{\log x}$ は広義積分可能ではありません．
また、$x\to 0$ での積分可能性についてですが、

$x>0$ において、
$\frac{1}{|\log (x+1)|}>\frac{1}{x}$ ですので 、
$\int_c^1\frac{dx}{|\log (x+1)|}\ge \int_c^1\frac{dx}{x}=[\log x]_{c}^1$
$c\to 0$ のとき、この積分は収束しません．

よって、
$$\int_0^\infty \frac{dx}{\log (x+1)}$$
どちらの極限においても収束しません．


べき関数の広義積分収束性
多くの場合、このような、積分しやすいべき関数の積分に帰着させる場合が多いです．
べき関数の積分の収束を書いておくと、

$$\int_1^\infty\frac{dx}{x^s}=\begin{cases}\text{広義積分可能:}&s>1\\\text{広義積分不可能:}&s\le 1\end{cases}$$

となり、有限区間であれば、

$$\int_0^1\frac{dx}{x^s}=\begin{cases}\text{広義積分可能:}&s<1\\\text{広義積分不可能:}&s\ge 1\end{cases}$$

となります．特に、$\frac{1}{x}$ という関数は、無限大にでも、$x=0$ の付近でも、
広義積分は収束しません．

下に描いた関数は、青い線は$y=1/x$で、この線を境に、この線の下側は、無限区間でも $x=0$ の近くでも収束していません．$y=x$ において、この関数が対称であることからもわかると思いますが．
一方、この関数より少しでも下側にあるようなべき関数、例えば、橙色の線は、$y=1/x^2$ ですが、
この関数は、無限区間で広義積分可能で、$x=1$ から $\infty$ では、全部の面積の和は $1$ になります．しかし、$0<x<1$ では、$y=1/x$ より、上側にあるような関数になってしまっていますので、もちろん、広義積分可能ではありません．

また、緑の関数は、$y=1/\sqrt{x}$ ですが、反対に無限区間では、$y=1/x$ より、上に来ているので、$[1,\infty)$ では、広義積分可能ではありません．また、$0<x<1$ となる範囲では、$y=1/x$ より下に来ているべき関数なので、積分可能です．

ちなみに、$y=1/x$ より、下に位置する(べき関数とは限らない)関数だからといって積分できるわけではありません．例えば、代表的な関数

$$y=\frac{1}{x\log (x+1)}$$

は、$x$ が $e-1$ より大きくなると、明らかに、$1/x$ よりは小さくなりますが、広義積分可能ではありません．

証明は簡単です．

$t=\log (x+1)$ とおくと、
$\int_1^c\frac{dx}{x\log (x+1)}=\int_{\log 2}^{\log (c+1)}\frac{e^t}{(e^t-1)t}dt$
となりますから、
これらの関数が正の関数であることを考慮すると、

$\int_1^c\frac{dx}{x\log (x+1)}=\int_{\log 2}^{\log (c+1)}\frac{e^t}{(e^t-1)t}dt>\int_{\log 2}^{\log (c+1)}\frac{dt}{t}\to \infty$
となります．

よってこの積分は収束しません．
ちなみに、この関数は、 Mathematicaに入れてみると、収束判定はしてくれませんね．



授業中で学生の解答を見ていた時、

$$\int_0^1\frac{dx}{x(1-x)}$$
の収束判定について、TAは収束すると言っていましたが、
この広義積分は $x=0,1$ の両方に置いて収束しません．

$x=0$ においてやると、$0<x<1$ において、
$$\frac{1}{|x(1-x)|}=\frac{1}{|x|(1-|x|)}>\frac{1}{|x|}$$
となり、$\frac{1}{|x|}$ は $x=0$ での広義積分 $\int_0^{b}\frac{dx}{x(1-x)}$ は収束しません．

よって、$x=1$ においても広義積分はもちろん収束しません．



関数のオーダー(ラージオー)と広義積分の収束について 

関数のオーダー（スモールオー）について、以前やりました．

この授業内の話であれば、こちら(リンク)です．
一般的な話については、こちら(リンク)です．

この前の授業では、ラージオーと広義積分の収束についての関係の話を少しだけしました．
ラージオーは、この授業では初めてで、このブログ内でしたら、こちら(リンク)に
書きました．定義が知りたい人は、上のリンクから辿って定義を確認してください．

しかし、新しい話ではなく、上で書いた話をまとめただけです．
また、授業で行ったことに少し訂正がありますので、それについても書きます．

上の広義積分の収束判定をラージオーを用いて書くと、

定理21（広義積分の判定法）

関数 $f(x)$ が $f(x)=O(x^{-s})\ \ (x\to \infty)$ かつ、$s>1$ であるなら、
$$\int_a^\infty f(x)dx$$
広義積分は可能．

となります．授業中の話で訂正すべきところは、この逆は成り立たないということです．

$f(x)=O(x^{-s})\ (x\to \infty)$ で、$s\le 1$ であっても、収束しないとは限らないということです．

当たり前な例として、

$f(x)=1/x^2$ としてやると、$x\to \infty$ において、
$\frac{1/x^2}{1/x}=\frac{1}{x}\to 0\ \ (x\to \infty)$ なので、
$$\frac{1}{x^2}=O(\frac{1}{x})$$
ですが、上で書いたように、$\int_1^\infty\frac{dx}{x^2}$ は収束します．

もう一つの収束判定法を書いておくと、

定理22（広義積分の判定法）

関数 $f(x)$ が $(a,b]$ で定義される関数で、$f(x)=O((x-a)^{-s})\ \ (x\to a)$ かつ、$s<1$ であるなら、
$$\int_a^bf(x)dx$$
広義積分は可能．

ですが、この逆も成り立ちません．


このように、関数本体がどのような関数で抑えられるかわからなくても、関数のオーダーだけで、広義積分の収束を言うことができます．この方法もすっきりしていますが、
結局、不等式を使って関数を作るので、上で書いたこととほとんど同じような手間と思います．