線形代数続論演習(第10回)

[場所1E103（金曜日3限）]

配布プリント

HPに行く．

今日は、

• ジョルダン標準形

を求めました．

ジョルダン標準形

ジョルダン標準形とは、任意の正方行列 $A$ に対して、ある正則行列 $P$ に対して、

$P^{-1}AP$ を前回のブログに書いたようたな、ジョルダンブロック行列の和の形に

なることです．

一つのブロック $J(\lambda)$ は、対角成分 $(i,i)$ 成分に固有値 $\lambda$、$(i,i+1)$ 成分に $1$ が

並ぶような正方行列です．

そのような行列を $J(\lambda)$ とすると、

$$\left( \begin{array}{cccc} J(\lambda_1) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J(\lambda_2) & 0\,\cdots & 0 \\ 0 & \cdots\,0 & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & J(\lambda_n) \\ \end{array} \right)$$

となるようになります．このとき、$J(\lambda_i)$ は正方行列です．

任意の行列がこのような表現行列を持つということは、説明しませんでしたが、以下のようなことです．


まず、${\mathbb C}^n$ は広義固有空間の直和に分かれます．

$${\mathbb C}^n=\oplus_{\lambda_i:\text{固有値}} V_{(\lambda_i)}$$

となります．
広義固有空間とは、固有値 $\lambda$ に対して、
十分大きい $m$ に対して、
$$V_{(\lambda)}=\left\{{\bf v}\in{\mathbb C}^n|(A-\lambda E)^m{\bf v}=0\right\}$$

となる空間のことです．広義固有空間の中には、普通の固有空間も
部分空間として入っています．つまり、

$$V_\lambda\subset V_{(\lambda)}$$

です．もちろん、広義固有空間も次元は正の数です．
次元は、固有多項式の $\lambda$ の指数(解の重複度)の分だけあります．

つまり、$\Phi_A(t)$ において、$\lambda$ が $m$ 重根であれば、$\dim V_{(\lambda)}=m$
となります．

全ての固有値で、$V_\lambda= V_{(\lambda)}$ となるとき、行列は、対角化可能と言います．

ジョルダン標準形の求め方

まず、広義固有空間を求めます．
十分大きい、 $m$ とはどれくらいか？というと、その固有値の重複度くらいです．

例をもって説明をしていきます．

例
$$A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 6 & 4 & 5 \\ \end{array} \right)$$

とします．
この行列の固有多項式を求めると、

$$(t-1)^3(t-2)$$

となりますので、固有値は、$1,2$ です．
広義固有空間を求めますが、固有値 $2$ の解の重複度は 1 ですので、$\dim V_{2}\le \dim V_{(2)}=1$ ですので、
$V_{(2)}=V_2$ となり、1次元となります．

その基底を求めると、

$$V_2=\left\langle\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\2\end{pmatrix}\right\rangle$$

となります．
$${\bf w}=\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\2\end{pmatrix}$$

とおきます．

また、固有値 $1$ の広義固有空間は、その重複度が $3$ となりますので、広義固有空間は

$$V_{(1)}=\{{\bf v}\in{\mathbb C}^4|(A-E)^3{\mathbb v}=0\}$$

となります．
3乗をいきなり計算するのは面倒なので、
$$A-E=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 6 & 4 & 4 \\ \end{array} \right)\to \left( \begin{array}{cccc}1 & -3 & -2 & -2 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\  0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)\to \left( \begin{array}{cccc}1 & -3 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\  0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)\to \left( \begin{array}{cccc}1 & 0 & -2 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\  0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)=D$$

$$\left( \begin{array}{cccc}1 & 0 & -2 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\  0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)(A-E)=\left( \begin{array}{cccc} 1 & -1 & -2 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)=C$$

この最後の行列 $C$ のランクは 1 です．
ですので、この行列からなる線形写像の核 $\{{\bf v}\in{\mathbb C}^4|C{\bf v}=0\}$ は3次元あり、丁度 $\dim V_{(1)}$ と一致します．
なので、$V_{(1)}=\{{\bf v}\in{\mathbb C}^4|C{\bf v}=0\}=\{{\bf v}\in{\mathbb C}^4|(A-E)^2{\bf v}=0\}=\text{Ker}((A-E)^2)$  となります．

$$V_{(1)}=\left\langle\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}\right\rangle$$

となります．
この3次元のベクトルに対して、前回やったジョルダンブロック分解を行います．
$$\text{Ker}(A-E)=\{{\bf v}\in{\mathbb C}^4|(A-E){\bf v}=0\}=\{{\bf v}\in{\mathbb C}^4|D{\bf v}=0\}=\left\langle\begin{pmatrix}2\\0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\2\end{pmatrix}\right\rangle$$

よって
$$\text{Ker}((A-E)^2)/\text{Ker}(A-E)=\left\langle\begin{bmatrix}1\\1\\0\\0\end{bmatrix}\right\rangle$$
となります．

${\bf v}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}$ とします．

${\bf v}_2=(A-E){\bf v}_1=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 0 \\ 4 \\ \end{array} \right)$

とします．

単射写像は、

$$\text{Ker}((A-E)^2)/\text{Ker}(A-E)\to \text{Ker}(A-E)$$
$${\bf v}_1\mapsto {\bf v}_2$$

となりますが、$\text{Ker}(A-E)/\langle{\bf v}_2\rangle$

の基底は、$\begin{bmatrix}2\\0\\1\\0\end{bmatrix}$

となります．
ですので、
$${\bf u}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\\0\end{pmatrix}$$

とおくと、
$$V_{(1)}=\langle {\bf v}_2,{\bf v}_1,{\bf u}\rangle$$
$$(A-E){\bf v}_1={\bf v}_2,\ (A-E){\bf v}_2=0,(A-E){\bf u}=0$$

となります．
よって、${\bf v}_2,{\bf v}_1,{\bf u}$ での $A-E$ の表現行列は、

$$(A-E) ({\bf v}_2,{\bf v}_1,{\bf u})=( {\bf v}_2,{\bf v}_1,{\bf u})\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$$

となります．
よって、

$$A({\bf v}_2,{\bf v}_1,{\bf u})=( {\bf v}_2,{\bf v}_1,{\bf u})\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

となります．
ここで、

$$({\bf v}_2,{\bf v}_1,{\bf u},{\bf w})$$
を基底とすると、

$$A({\bf v}_2,{\bf v}_1,{\bf u},{\bf w})=({\bf v}_2,{\bf v}_1,{\bf u},{\bf w})\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&2\end{pmatrix}$$

となり、$P=({\bf v}_2,{\bf v}_1,{\bf u},{\bf w})$ とおけば、
$$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&2\end{pmatrix}$$

のように、ジョルダン標準化されます．

つまり、

ジョルダン標準形を求めるには、広義固有空間ごとに、
前回やったようなジョルダンブロックに分解すれば良いことになります．