数学外書輪講I(第9回)

[場所1E501（月曜日5限）]

HPに行く

これは6月17日の分の内容です。

ユークリッド空間の中の n 点の集合

今回は、ユークリッド空間 ${\mathbb R}^n$ の中の $n+1$ 点は

その間の距離をどのように決めたときに、その点達

は実際存在しうるか？

という問題です。

Miniature 6 では ${\mathbb R}^2$ の中の4点が存在するか？

という問題でしたから、今回の話とは独立です

問題意識は似ていますが、本質的に違った証明になります。

$n+1$ 点は重複があっても良いですが、そのとき、

もし${\mathbb R}^n$ 上に乗っているとすると、すでに${\mathbb R}^n$

のなかの $n-1$ 次元アフィン空間 ${\mathbb R}^{n-1}$ と同じもの

に乗っていなければならず、次元が落ちた状況で考えることになります。

平面では、三角不等式を満たす3点は必ず3点として存在します。

三角不等式は必要条件でもあるので、三角不等式は平面上に3点が存在するための

必要十分条件ということになります。

今回は一般にどうか？ということです。つまり高次元化されています。

${\mathbb R}^n$ の中の $n+1$ 点の場合に、そのうちの任意の３点が三角不等式を満たす

ということも必要な条件なのですが、実はそれだけではないというのが

この問題の主題です。

定理は、実際以下のようになります。

定理

$m_{ij}$ を$i,j=0,1,\cdots, n$ とし、非負実数とし、$m_{ij}=m_{ji}$

とし、$m_{ii}=0$ とします。

このとき、ある${\bf p}_0,{\bf p}_1\cdots {\bf p}_n\in {\mathbb R}^{n}$ が存在して、

$m_{ij}=||{\bf p}_i-{\bf p}_j||$ であるための必要十分条件は、

$g_{ij}=\frac{1}{2}(m_{0i}^2+m_{0j}-m_{ij}^2)$ として $n\times n$ 行列 $G=(g_{ij})$ 

を構成したときに、$G$ が半正定値であることと同値である。

行列は半正定値であるとは、その固有値が全て0以上の実数で

あることです。

この定理は、$n+1$ 点の任意の３点に対して三角不等式を満たす

という条件より本質的に強い条件になっています。

$G=(g_{ij})$ が半正定値

であることは、$G$ が対称行列であることもあり、

$G=XX^t$ となる正方実行列 $X$ が存在することと同値です。