トポロジー入門(第2回)

[場所1E303,203（月曜日3,4限）]

トポロジー入門のHP

トポロジー入門演習のHP

今日は開集合の性質を使って距離空間
の開集合の性質について以下の6つの定理を示しました。
ここでも証明を書いておきます。
講義中は証明したものでも以下では少し省略しているものもあります。

$U\subset X$ が開集合である定義は、
$\forall x\in U\exists\epsilon>0(B_d(x,\epsilon)\subset U)$
を満たすものをいいいました。

以下、$(X,d)$ を距離空間として共通して用います。
$X$ と書けばすべてこの距離空間とします。
また、$(X,d)$ の開集合をすべて合わせた集合を
開集合系といい、$\mathcal{O}_d$ と表すことにします。

定理2.1
$\emptyset,X\in \mathcal{O}_d$ である。

(証明) 空集合は元が取れないので、開集合の条件は無条件に成り立ちます。
よって空集合は開集合です。
$x\in X$ に対して、$B_d(x,\epsilon)\subset X$
であるので $X$ は開集合です。

注 空集合 $\emptyset$ は $\forall x(x\not\in \emptyset)$
を満たす唯一の集合です。
また、$A$ が開集合かどうかは、$x\in A$ が存在するときの条件しか
ありませんが、ということは元がとれない場合は無条件だということです。

定理2.2
$U,V\in \mathcal{O}_d$ とすると、$U\cup V$ と $U\cap V\in \mathcal{O}_d$ である。

(証明)
$U,V$ を開集合とします。
$\forall x\in U\cup V$ とすると、$x\in U$ もしくは　$x\in V$ です。
仮に、$x\in U$ としたら、
$\exists \epsilon>0(B_d(x,\epsilon)\subset U)$ です。
$U\subset U\cup V$ であるから、
$B_d(x,\epsilon)\subset U\cup V$ となり、$U\cup V$ が開集合であることが
わかります。
$x\in V$ であるときも同様です。
よって $U\cup V$ は開集合です。

同じように証明することで $U\cap V$ も開集合となります。

定理2.3
$x\in X$ と$\epsilon>0$ に対して、
$B_d(x,\epsilon)$ は開集合である。

(証明)
$y\in B_d(x,\epsilon)$ とし、$\delta=\epsilon-d(y,x)$ とおきます。
このとき、$\delta>0$ となります。
$\forall z\in B_d(y,\delta)$ とすると、
$d(z,x)\le d(z,y)+d(y,x)< \delta+d(y,x)=\epsilon$
となり、$z\in B_d(x,\epsilon)$ です。
ゆえに、$B_d(y,\delta)\subset B_d(x,\epsilon)$ が成り立ち、
$B_d(x,\epsilon)$ は開集合であることがわかります。


定理2.4
$x\in X$ に対して、$\{x\}$ は閉集合である。

(証明)
$\{x\}^c$ が開集合であることを示せば十分です。
$\forall y\in \{x\}^c$ とします。
$\delta=d(x,y)>0$ とします。
このとき、$\forall z\in B_d(y,\frac{\delta}{2})$
とすると、$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$ であり、
$d(x,z)\ge d(x,y)-d(z,y)=\delta-d(z,y)\ge \delta-\frac{\delta}{2}=\frac{\delta}{2}>0$
ですから、$x\neq z$ となります。
よって、$B_d(y,\frac{\delta}{2})\subset \{x\}^c$ であるから、
$\{x\}^c$ は開集合であることがわかりました。

この証明から、帰納法を使えば、開集合を有限個集めて共通集合を
とっても開集合であることがわかるし、
$\{U_\lambda\in \mathcal{O}_d|\in \lambda\in \Lambda\}$ のように
開集合を任意に持ってきたとしたら、
$\cup_{\lambda\in \Lambda}U_\lambda\in \mathcal{O}_d$ となります。

上のことをまとめますと、以下のようになります。
(I) $\emptyset,X\in \mathcal{O}_d$ となる。
(II) $n\in {\mathbb N}$ に対して、$U_1,U_2,\cdots, U_n\in \mathcal{O}_d$ である。
(III) 開集合の集まり $\{U_\lambda\in \mathcal{O}_d|\lambda\in \Lambda\}$ に対して、$\cup_{\lambda\in \Lambda}U_\lambda\in \mathcal{O}_d$ となる。


定義2.1
$(X,d)$ を距離空間とし、$A\subset X$ とする。
$x\in A$ が $A$ の内点であるとは、
$\exists\epsilon >0(B_d(x,\epsilon)\subset A)$
を満たすことである。
$A^\circ$ を $A$ の内点全体の集合を表し、
$A$ の内部という。

定義2.2
$(X,d)$ を距離空間とし、$A\subset X$ とする。
$x\in X$ が $A$ の蝕点であるとは、
$\forall \epsilon >0(B_d(x,\epsilon)\cap A\neq \emptyset)$
を満たすことである。
$\bar{A}$ を $A$ の蝕点全体の集合を表し、
$A$ の閉包という。

定理2.5
$A^\circ$ は開集合であり、$\bar{A}$ は閉集合である。

証明
$x\in A^\circ$ とすると、内点の定義から
$\exists \epsilon>0(B_d(x,\epsilon)\subset A)$ がわかります。
$B_d(x,\epsilon)$ は開集合であるから $\forall y\in B_d(x,\epsilon)$ に対して、
$\epsilon’>0(B_d(y,\epsilon')\subset B_d(x,\epsilon))$
が成り立ちます。
よって $B_d(y,\epsilon’)\subset A$ であるから $y\in A^\circ$ となります。
つまり、$B_d(x,\epsilon)\subset A^\circ$ ですから、
$A^\circ$ は開集合であることがわかります。

$(\bar{A})^c$ が開集合であることを示します。
$\forall x\in (\bar{A})^c$ とすると、$x\not\in \bar{A}$ であり、
$\exists \epsilon>0$ に対して、$B_d(x,\epsilon)\cap A= \emptyset$
となります。$y\in B_d(x,\epsilon)$ に対して、
$\exists \epsilon'>0(B_d(y,\epsilon’))$ であり、$B_d(y,\epsilon’)\cap A=\emptyset$
ですから、$y\in (\bar{A})^c$ となります。
つまり、$B_d(x,\epsilon)\subset (\bar{A})^c$ がわかりました。

定理2.6
$A$ が開集合 $\Leftrightarrow A=A^\circ$
$A$ が閉集合 $\Leftrightarrow A=\bar{A}$
を満たす。

(証明)
$A$ を開集合とします。$A^\circ\subset A$ ですから、$A^\circ\subset A$ を示せばよい
ことになります。このとき、$\forall x\in A$ としますと、
$\exists \epsilon>0(B_d(x,\epsilon)\subset A)$
が成り立ち、$x\in A^\circ$ となります。
よって、$A=A^\circ$ が成り立ちます。
逆に $A=A^\circ$ であるとすると、$A^\circ$ は開集合であったから $A$ は開集合
となります。

閉集合の場合も同様の証明なのでここでは省略します。