トポロジー入門演習(第4回)

[場所1E202（月曜日4限）]

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今回は、開集合、連続の性質について発表してもらいました。
後半は連続性についての問題でした。

開集合の性質
$A$ の内部の点 $x$ とは、
$x$ のある $\epsilon$-近傍が $A$ に包まれるような点
のことをでした。
数式を用いれば、
$\exists \epsilon>0$ に対して $N(x;\epsilon)\subset A$
となります。

また、

$A$ の閉包の点 $x$ とは、
$x$ の任意の$\epsilon$-近傍が $A$ と共通部分をもつような点
のことです。
数式を用いることで、
$\forall  \epsilon>0$ に対して $N(x;\epsilon)\cap  A\neq \emptyset$

となります。

よって、補集合 $A^c$ の内部は、
ある $\epsilon$-近傍が $A^c$ に包まれるような点です。
($\exists \epsilon>0$ に対して、$N(x;\epsilon)\subset A^c$)

その否定は、

任意の $\epsilon$-近傍が $A^c$ に包まれない点
($\forall \epsilon>0$ に対して、$N(x;\epsilon)\not\subset A^c$)

つまり、任意の $\epsilon$-近傍が $A$ と共通部分をもつ点ということで、
($\forall \epsilon>0$ に対して、$N(x;\epsilon)\cap A\neq \emptyset$)

これは、$A$ の閉包を表しているのに違いありません。

このことは、

$A$ の内部を $A^i$ で表し、閉包を $\bar{A}$ と表せば、

$((A^c)^i)^c=\bar{A}$
と言うことになります。

$\bar{A}\setminus A^i=A^f$ とすると、
$((A^c)^i)^c=\bar{A}=A^i\sqcup A^f$
となります。ここで、$\sqcup$ は交わりのない和集合を表します。

よって、全体集合を $X$ とすると、
$X=(A^c)^i\sqcup ((A^c)^i)^c =(A^c)^i\sqcup A^i\sqcup A^f$
となります。
$(A^c)^i=A^e$ とおき、$A$ の外部と呼ぶことにすれば、

全体集合 $X$ は
$A^i\sqcup A^f\sqcup A^e$ のような
３つの交わりのない集合の和集合としてかけることがわかります。

$A^i\sqcup A^f$ は $A$ の閉包で、$A^f\sqcup A^e$ は、$A^c$ の閉包となります。


今回説明してもらったことは、
$A$ の内部 $A^i$ とは、$A$ に包まれる最大の開集合である

ということと

$A$ の閉包 $\bar{A}$ とは、$A$ を包む最小の閉集合である
ということです。
内部と閉包をこのように言い換えることができます。

連続写像
連続関数の定義は1年生のころに習ったと思います。
1変数のときは、$\epsilon$-$\delta$ 論法を使ったやり方、
多変数のときは、任意の近づき方によってその(1次元での意味での)
極限が存在するということ。
これらのことについては、先週クラスセミナーでも話しましたし
その話はブログ(リンク)にも書きました。

このように連続性について、空間が違うと少し違った見方をしているようにみえます。
しかし、実はそれはどちらも距離空間の上の関数の連続性として同じ定義に基づくものです。
基礎となるのは $\epsilon$-$\delta$ 論法のときに出てきた極限の考え方です。

距離空間から距離空間への写像が連続であることの定義を
$\epsilon$-$\delta$ 論法を一般化して以下のように定義します。

$f:X\to Y$ が $x\in X$ で連続であるとは、

$\forall \epsilon>0$ に対して、ある $\delta>0$ が存在し、
$\forall y\in N(x;\delta)\Rightarrow f(y)\in N(f(x),\epsilon)$
が成り立つ。
($N(x;\delta)$ の記号は、$x$ での) $\delta$-近傍を表します。)

となります。
つまり、
$\forall \epsilon>0$ に対して、ある $\delta>0$ が存在し、
$f(N(x;\delta))\subset N(f(x),\epsilon)$
が成り立つ。

と書き直すことができます。

また、$f^{-1}$ を両辺にかけることで、
$N(x;\delta)\subset f^{-1}(N(f(x);\epsilon))$
と同値となります。

この性質は、$N(x;\delta)$ を包むような $x$ を含む集合は
$x$ の近傍である。
よって、$x\in X$ で連続であるとは、
$f^{-1}(N(f(x);\epsilon))$ が $x$ の近傍であることを意味します。

さらに、$N(f(x);\epsilon)\subset V$ は $f(x)$ の近傍となるので、

$x\in X$ で $f$ が連続であるとは、
$V$ を $f(x)$ の近傍とするとき、$f^{-1}(V)$ は $x$ の近傍である
ことである。

とかなり簡潔にかけることがわかります。
よって、

$f:X\to Y$ が連続であることと、

$Y$ の開集合 $U$ に対して $f^{-1}(U)$ は $X$ の開集合である

と言い換えることができます。