トポロジー入門演習(第5回)

[場所1E202（月曜日4限）]

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位相空間
講義の方は位相空間に入りました。
距離空間の距離の概念を用いると、部分集合の内部、閉包、境界、
開集合、閉集合、などが定義できるようになりました。

また、開集合と閉集合が定義できれば、近傍が定義できます。
この近傍を用いて写像の連続性が定義できるようになるのです。
正確に言えば近傍を用いなくても開集合だけでも連続性は定義はできます。

距離を用いることで写像の連続性について議論できるようになったのですが
距離空間の連続性は、距離の性質ではなく、距離から作られた
開集合の性質と捉えることができます。

例えば、${\mathbb R}^n$ 上の距離として、ユークリッド距離
$$d^{(n)}({\bf x},{\bf a})=\sqrt{(x_1-a_1)^2+\cdots +(x_n-a_n)^n}$$
を用いても、
$$d_{MH}({\bf x},{\bf a})=|x_1-a_1|+\cdots+|x_n-a_n|$$
を用いても、${\mathbb R}^n$ の中の開集合全体は変わりません。
${\bf x}=(x_1,\cdots, x_n)$ かつ ${\bf a}=(a_1,\cdots, a_n)$ です。
すなわちどちらの意味の距離を用いても写像の連続性には変わりはないということに
なります。

つまり、連続性の本質は距離関数には依存せず、距離から作られた開集合にのみ
依存するということになります。
開集合さえ存在すれば連続性の議論ができるのですから、
最初から距離はなくとも、ある一定の性質をもつ開集合の存在が仮定されていれば
連続性を議論することができるはずです。

そこで、位相空間という概念が登場します。
距離なしに、最初から開集合が存在する状況とは以下の状況です。

$X$ を集合とし、以下のような冪集合の部分集合 $\mathcal{O}\subset \mathcal{P}(X)$
を考えます。

(1) $\emptyset \in \mathcal{O}$ かつ $X\in \mathcal{O}$ である。
(2) 有限個の $O_1,\cdots, O_n\in \mathcal{O}$ をとると $O_1\cap \cdots \cap O_n\in \mathcal{O}$
(3) $\{O_\lambda\in \mathcal{O}|\lambda\in \Lambda\}$ を$\mathcal{O}$ の族とすると、$\underset{\lambda\in \Lambda}\cup O_\lambda\in \mathcal{O}$ である。

この3つを満たす $\mathcal{O}$ を $X$ の位相と言います。
$\mathcal{O}$ の元のことを開集合と言います。
位相 $\mathcal{O}$ をもつ空間 $X$ のことを位相空間と言います。
位相空間を $(X,\mathcal{O})$ と書きます。

位相空間の定義には、もはや距離がなくなります。
距離 $d$ から作られる開集合全体を $\mathcal{O}_d$ とすると、
$\mathcal{O}_d$ はこの３つの性質を満たします。
このような位相空間 $(X,\mathcal{O}_d)$ を距離位相空間といいます。
距離から作られない位相空間もあります。

例えば、$X$ を任意の集合とし、$\mathcal{O}=\{\emptyset,X\}$ とすると、
$(X,\mathcal{O})$ は定義から位相空間となります。
この位相を密着位相と言います。

しかし、この位相空間は一般に距離からくるものではありません。
$X$ を2点以上ある集合とします。
このとき、$p,q\in X$ を異なる2点とします。$p$ を含む開集合は、密着位相なら唯一つ $X$
しかありませんが、
距離空間からくる距離位相空間なら、$\delta=d(p,q)$ とすると、
$B_d(p,\delta)$ も $p$ を含む開集合であり、 $q$ を含まないので、$X$ とは
違う開集合となります。
なので、$p$ を含む開集合は、$X$ 以外に $B_d(p,\delta)$ もあります。

よって、密着位相は、一般に距離位相とは同じにはなりません。

このように、位相空間を定義したことによって距離位相空間とは違う位相空間が山ほど
構成できるようになります。

距離空間から、部分集合の内部、閉包、境界が得られていましたが、
位相空間においてもこれらを定義することができます。

$(X,\mathcal{O})$ を位相空間とします。
内部　$A\subset X$ を部分集合とする。$A$ の内部 $A^i$ を $A$ に包まれる開集合のうち最大のものと定義する。$A^i$ の点を $A$ の内点という。

閉包　$A\subset X$ を部分集合とする。$A$ の閉包 $\bar{A}$ を $A$ を包む閉集合のうち最小のものと定義する。$\bar{A}$ の点を $A$ の触点という。

境界　$A\subset X$ を部分集合とする。$A$ の境界 $A^f$ を $\bar{A}\setminus A^i$ と定義する。$A^f$ の点を境界点という。

また、位相空間 $(X,\mathcal{O}_X)$ と $(Y,\mathcal{O}_Y)$ の間の写像 $X\to Y$
が連続であるとは、
$\forall U\in \mathcal{O}_Y$ に対して、$f^{-1}(U)\in \mathcal{O}_X$ を満たす写像を言います。

このようにして距離がなくても、部分集合の内部、閉包、境界、連続性について
議論することができるようになりました。