[場所1E103（金曜日5限）]
HPに行く
manabaに行く
今回は
HPに行く
manabaに行く
今回は
- ロピタルの定理
- マクローリン展開
についてやりました。
宿題は後でmanabaを通じて配布するとしていましたが、先日manabaにおきました
で受け取ってください。
Web掲示板にも告知がしてあると思います。
ロピタルの定理の使い方と、マクローリン展開のやり方は
お隣の数学類でのページに書いたのでそちらを参照してください。
2017年微積分I演習数学類(第6回)(リンク)
今回のやり方の説明は、このリンクと合わせてみていただければと思います。
また、このページを利用して、今回の授業中に
やっていた問題が途中になったので下の方でその計算を書きました。
宿題は後でmanabaを通じて配布するとしていましたが、先日manabaにおきました
で受け取ってください。
Web掲示板にも告知がしてあると思います。
ロピタルの定理の使い方と、マクローリン展開のやり方は
お隣の数学類でのページに書いたのでそちらを参照してください。
2017年微積分I演習数学類(第6回)(リンク)
今回のやり方の説明は、このリンクと合わせてみていただければと思います。
また、このページを利用して、今回の授業中に
やっていた問題が途中になったので下の方でその計算を書きました。
マクローリン展開のやり方補足
また、説明のマクローリン展開の部分で、いきなり、
$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}$ の極限を考え出したことがよくわからなかった人がいたようです。
まず、$e^x$ のマクローリン展開、つまり、
$$e^x=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n+o(x^n)$$
を得たい時、上の極限を考えたのは、この展開の最初の項を求めるために考えた
のです。
実際、この計算はちょうど、$x=0$ での微分係数を求めることと一致します。
やってみるとこんな感じです。
まず、$a_0$ を求めたいとします。
そのためには、両辺に $x=0$ 代入してやればよいです。
代入した結果、$e^0=a_0$ となるので、$a_0=1$ がいえたことになります。
次に $a_1$ を求めます。
このとき、求めた $1$ を左辺に移項して、$e^x-1=a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n+o(x^n)$ として、さらに、全体を $x$ で割ってやります。そうすると、
$\frac{e^x-1}{x}=a_1+a_2x+....+a_nx^{n-1}+o(x^{n-1})$ が得られます。
このとき、右辺に、$\frac{e^x-1}{x}$ なる式が現れていることに注意してください。
この両辺に $x=0$ を代入してやります。左辺は、$\lim_{x\to 0}$ をすることに対応します。
この極限は、ちょうど関数 $e^x$ の $x=0$ での微分係数を求めていることになります。
ゆえに、代入した結果、$1=a_1$ であることがわかります。
つまり、マクローリン展開の最初の2項は、
$$e^x=1+x+a_2x^2+a_3x^3+....+a_nx^n+o(x^n)$$
であるとわかるのです。
また、2番目以降も、係数がわかった部分を左辺に移項して、$x^2$ を全体で割り、
$x=0$ を代入してやることで求まります。
具体的な計算は、上のリンクに同じことを書きましたので省略します。
ロピタルの定理の計算例について
授業中に途中までになった計算を最後まで書いてみます。
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x\tan x-x^2}{\sin^4x}$$
の計算です。まず、ロピタルの定理を当てはめて、
$$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x\tan x+\sin x\frac{1}{\cos^2x}-2x}{4\sin^3x\cos x}$$
$$=\lim_{x\to 0}\frac{\cos^3 x\tan x+\sin x-2x\cos^2x}{4\sin^3x\cos^3 x}$$
$$=\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2 x\sin x+\sin x-2x\cos^2x}{4\sin^3x\cos^3 x}\hspace{1cm}(1)$$
となります。
この極限が不定形なので、分母の $4\cos^3x$ などは除いてロピタルの定理を適用させると、
$$\lim_{x\to 0}\frac{-2\cos x\sin^2 x+\cos^3x+\cos x-2\cos^2x+4x\cos x\sin x}{3\sin^2x\cos x}$$
分母の $3$ を除いてさらにロピタルの定理を使うと、
$$\lim_{x\to 0}\frac{6\cos x(-\sin x)+2\sin x+4\sin x+4x\cos x}{2\sin x\cos x}$$
$$=\lim_{x\to 0}\frac{-3\cos x\sin x+3\sin x+2x\cos x}{\sin x\cos x}$$
$$=\lim_{x\to 0}\left(-3+\frac{3\sin x+2x\cos x}{\sin x\cos x}\right)\hspace{1cm}(3)$$
また、説明のマクローリン展開の部分で、いきなり、
$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}$ の極限を考え出したことがよくわからなかった人がいたようです。
まず、$e^x$ のマクローリン展開、つまり、
$$e^x=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n+o(x^n)$$
を得たい時、上の極限を考えたのは、この展開の最初の項を求めるために考えた
のです。
実際、この計算はちょうど、$x=0$ での微分係数を求めることと一致します。
やってみるとこんな感じです。
まず、$a_0$ を求めたいとします。
そのためには、両辺に $x=0$ 代入してやればよいです。
代入した結果、$e^0=a_0$ となるので、$a_0=1$ がいえたことになります。
次に $a_1$ を求めます。
このとき、求めた $1$ を左辺に移項して、$e^x-1=a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n+o(x^n)$ として、さらに、全体を $x$ で割ってやります。そうすると、
$\frac{e^x-1}{x}=a_1+a_2x+....+a_nx^{n-1}+o(x^{n-1})$ が得られます。
このとき、右辺に、$\frac{e^x-1}{x}$ なる式が現れていることに注意してください。
この両辺に $x=0$ を代入してやります。左辺は、$\lim_{x\to 0}$ をすることに対応します。
この極限は、ちょうど関数 $e^x$ の $x=0$ での微分係数を求めていることになります。
ゆえに、代入した結果、$1=a_1$ であることがわかります。
つまり、マクローリン展開の最初の2項は、
$$e^x=1+x+a_2x^2+a_3x^3+....+a_nx^n+o(x^n)$$
であるとわかるのです。
また、2番目以降も、係数がわかった部分を左辺に移項して、$x^2$ を全体で割り、
$x=0$ を代入してやることで求まります。
具体的な計算は、上のリンクに同じことを書きましたので省略します。
ロピタルの定理の計算例について
授業中に途中までになった計算を最後まで書いてみます。
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x\tan x-x^2}{\sin^4x}$$
の計算です。まず、ロピタルの定理を当てはめて、
$$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x\tan x+\sin x\frac{1}{\cos^2x}-2x}{4\sin^3x\cos x}$$
$$=\lim_{x\to 0}\frac{\cos^3 x\tan x+\sin x-2x\cos^2x}{4\sin^3x\cos^3 x}$$
$$=\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2 x\sin x+\sin x-2x\cos^2x}{4\sin^3x\cos^3 x}\hspace{1cm}(1)$$
この極限が不定形なので、分母の $4\cos^3x$ などは除いてロピタルの定理を適用させると、
$$\lim_{x\to 0}\frac{-2\cos x\sin^2 x+\cos^3x+\cos x-2\cos^2x+4x\cos x\sin x}{3\sin^2x\cos x}$$
$$=\lim_{x\to 0}\frac{2\cos x(\cos^2 x-1)+\cos^3x+\cos x-2\cos^2x+4x\cos x\sin x}{3\sin^2x\cos x}$$
$$=\lim_{x\to 0}\frac{3\cos^2 x-2\cos x-1+4x\sin x}{3\sin^2x}\hspace{1cm}(2)$$
となります。(分母の一部を除いて考える理由は、上の数学類のblogのリンクを見てください。)
分母の $3$ を除いてさらにロピタルの定理を使うと、
$$\lim_{x\to 0}\frac{6\cos x(-\sin x)+2\sin x+4\sin x+4x\cos x}{2\sin x\cos x}$$
$$=\lim_{x\to 0}\frac{-3\cos x\sin x+3\sin x+2x\cos x}{\sin x\cos x}$$
$$=\lim_{x\to 0}\left(-3+\frac{3\sin x+2x\cos x}{\sin x\cos x}\right)\hspace{1cm}(3)$$
となり、和の後半部分を考えると、
$$\lim_{x\to 0}\frac{3\sin x+2x\cos x}{\sin x}\hspace{1cm}(4)$$
の部分にロピタルの定理を使って、
$$\lim_{x\to 0}\frac{3\cos x+2\cos x-2x\sin x}{\cos x}=5$$
となります。
ゆえに、(4) の極限がもとまって、
$$\lim_{x\to 0}\frac{3\sin x+2x\cos x}{\sin x\cos x}=5$$
であるから、(3)の極限が求められ、
$$\lim_{x\to 0}\left(-3+\frac{3\sin x+2x\cos x}{\sin x\cos x}\right)=2$$
となります。また、(2) の極限も求まり、
$$\lim_{x\to 0}\frac{3\cos^2 x-2\cos x-1+4x\sin x}{3\sin^2x}=\frac{2}{3}$$
となります。ゆえに、(1) の極限が求められたことになり、
$$\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2 x\sin x+\sin x-2x\cos^2x}{4\sin^3x\cos^3 x}=\frac{1}{6}$$
だということがわかります。
そしてさらに戻れば、最初の極限が
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x\tan x-x^2}{\sin^4x}=\frac{1}{6}$$
だということがわかります。
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