数学リテラシー2(第6回)

 [場所:2H101（火曜日15:15〜16:30, 16:45〜18:00）](2026年度)

数学リテラシー2のHP(2026年度)

第6回の授業について書いておきます。

数学リテラシー2の後半は空間図形になります。

内積と外積

空間というのは ${\mathbb R}^3$ のことであり、これは、$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$ のような

3つの実数の組みのことでありそれ全体が空間を成しています。

数学リテラシー1でやったように、縦ベクトルで表しておきます。

そこで、

$\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}$ 

のように書き、そのベクトルの長さを

$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ とします。

同様に

$|\overrightarrow{v}|=\sqrt{y_1^2+y_2^2+y_3^2}$ となります。

内積とその性質

また、内積を

$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$ と定義します。

そうすると、次の性質

1. $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}=|\overrightarrow{u}|^2$
2. $(a\overrightarrow{u})\cdot \vec{v}=a(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v})$
3. $(\overrightarrow{u}_1+\overrightarrow{u}_2)\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}_1\cdot \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}_2\cdot \overrightarrow{v}$
4. $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}$ 

が導かれます。

内積とは、長さの2乗の概念を2つのベクトル上の関数として拡張したものと

考えるものということになります。

つまり、写像の言葉では

$${\mathbb R}^3\times {\mathbb R}^3\to {\mathbb R},\ \ \  (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\mapsto \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}$$

と表すことができます。ここで、${\mathbb R}^3\times {\mathbb R}^3$ は2つの ${\mathbb R}^3$ のペアの集合を表しています。

つまり、$\{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})|\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in {\mathbb R}^3\}$ ということです。

上の条件2,3,4から、内積は、２つのベクトルのそれぞれに対して線形性をもちます。

これを双線形性といいます。

かつ、4から入れ替えても変わりません。これを対称性といいます。

後半のベクトル空間についての線形性

$$\overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v}_1+\overrightarrow{v}_2)=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}_1+\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}_2$$

の条件がないと思うかもしれませんが、4の対称性があるので

この性質も自然に導かれます。

また、1 の条件は、$\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$ ならば、

$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}>0$ であり、このことを

正定値であると言います。

このような、正定値で、双線形性と対称性をもつ写像${\mathbb R}^3\times {\mathbb R}^3\to {\mathbb R}$

を正定値対称双線形形式といいます。

つまり、内積は、正定値対称双線型形式のことを言います。

また、内積の性質として、

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cos\theta$$

があります。ここで、$\theta$ は $\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ の間の角度です。

この性質は、高校の頃にすでにやっていると思われますので省略します。

外積とその性質

次に外積を考えましょう。

$\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}$ 

に対して、

$$\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}={}^t\left(\det\begin{pmatrix}x_2&x_3\\y_2 &y_3\end{pmatrix},\det\begin{pmatrix}x_3&x_1\\y_3 &y_1\end{pmatrix},\det\begin{pmatrix}x_1&x_2\\y_1 &y_2\end{pmatrix}\right)$$

として定義します。

このとき、外積は、内積と違って

$${\mathbb R}^3\times {\mathbb R}^3\to {\mathbb R}^3,\ \ \  (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\mapsto \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}$$

2つのベクトルに対して、1つのベクトルを対応させていることに注意します。

内積同様に、外積の性質を見てみると、

1. $\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{u}=0$
2. $(a\overrightarrow{u})\times\vec{v}=a(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v})$
3. $(\overrightarrow{u}_1+\overrightarrow{u}_2)\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}_1\times \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}_2\times \overrightarrow{v}$
4. $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=-\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{u}$ 

が成り立ちます。

1. に関しては、行列式は、平行なベクトル同士では0になることから来ています。

また、2,3に関しては、行列式が双線形形式であること、つまり、

$$\det\begin{pmatrix}a_1+a_1'&a_2+a_2'\\b_1&b_2\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{pmatrix}+\det\begin{pmatrix}a_1'&a_2'\\b_1&b_2\end{pmatrix}$$

であること、

$$\det\begin{pmatrix}aa_1&aa_2\\b_1&b_2\end{pmatrix}=a\det\begin{pmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{pmatrix}$$

であることからきます。

また、4は

$$\det\begin{pmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{pmatrix}=-\det\begin{pmatrix}b_1&b_2\\a_1&a_2\end{pmatrix}$$

であることからわかります。これらは $2\times 2$ 行列の行列式の定義から直接導かれます。

4の性質は反対称性といいます。ですので外積は

反対称双線形写像ということができます。

次に外積の性質を見ていきます。

$\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}$ 

に対して、外積と内積を組み合わせて、

次の計算をします。

$$(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{u}=x_1\det\begin{pmatrix}x_2&x_3\\y_2 &y_3\end{pmatrix}+x_2\det\begin{pmatrix}x_3&x_1\\y_3 &y_1\end{pmatrix}+x_3\det\begin{pmatrix}x_1&x_2\\y_1 &y_2\end{pmatrix}$$

$$=x_1(x_2y_3-x_3y_2)+x_2(x_3y_1-x_1y_3)+x_3(x_1y_2-x_2y_1)=0$$

となります。同様に、

$$(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{v}=0$$

が成り立ちます。

すなわち、外積 $\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}$ は $\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ の両方に直交するベクトルを与えていることになります。

また、外積の絶対値 $|\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}|$ が何かを求めます。

最初に答えを言っておくと、この値は $\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ で作られる平行四辺形の面積になります。

まず、そのような平行四辺形の面積 $S$ は

$$S=|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}||\sin\theta|$$

として与えられることが簡単にわかります。

ここで $\theta$ は同様にそれらのベクトルのなす角を表します。

そこで、この式を変形していきましょう。

$$|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}||\sin\theta|=|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|\sqrt{1-\cos^2\theta}$$

$$=\sqrt{|\overrightarrow{u}|^2|\overrightarrow{v}|^2-|\overrightarrow{u}|^2|\overrightarrow{v}|^2\cos^2\theta}$$

$$=\sqrt{|\overrightarrow{u}|^2|\overrightarrow{v}|^2-(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})^2}$$

$$=\sqrt{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2)-(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3)^2}$$

$$=\sqrt{x_1^2(y_2^2+y_3^2)+x_2^2(y_1^2+y_3^2)+x_3^2(y_1^2+y_2^2)-2(x_1x_2y_1y_2+x_1x_3y_1y_3+x_2x_3y_2y_3)}$$

$$=\sqrt{(x_1y_2-x_2y_1)^2+(x_1y_3-x_3y_1)^2+(x_2y_3-x_3y_2)^2}$$

$$=|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|$$

となり、確かに主張 $S=|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|$ が成り立ちます。

つまり、上で与えた外積 $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$とは、長さが

$\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ で作られる平行四辺形の面積をもち、

$\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ のどちらにも直交するベクトルであるということになります。

例1：$\overrightarrow{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{e}_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{e}_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ とすると、計算により

$\overrightarrow{e}_1\times \overrightarrow{e}_2=\overrightarrow{e}_3$ となります。

いくつかの体積への応用

平行六面体の体積

ベクトル $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}$ で作られる

$(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w}$を考えます。

これをスカラー三重積といいますが、この値の絶対値は実は

これらの３つで作られる平行六面体の体積になります。 

ここで、平行六面体とは、

$$\{r\overrightarrow{u}+t\overrightarrow{v}+s\overrightarrow{w}\in {\mathbb R}^3|0\le r,s,t\le 1\}$$

を満たす集合(またはそれを平行移動したもの)のことです。

平行六面体の底面を $\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ で構成できる平行四辺形とすると、

その平行六面体の高さを $h$ とすると、$\overrightarrow{w}$ の $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$ への正射影の長さであるから、

その間の角度を $\theta$ とすると、$h=|\overrightarrow{w}|\cdot|\cos\theta|$ になります。

よって、

$$V=Sh=|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|\cdot |\overrightarrow{w}||\cos\theta|=|(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w} | $$

となります。

特に、$\overrightarrow{w}$ が $\overrightarrow{u}$ と $\overrightarrow{v}$ と同じ平面上の

ベクトルつまり、$\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$ である場合、

$\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}$ で作られる平行六面体の

高さは0の平行六面体であるから、

$(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w}=0$

となります。

四面体の体積

3つのベクトル $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}$

において、そのベクトルの終点と原点で四面体が作られます。

例2：この体積は

$$\frac{1}{6}|(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w})|$$

として計算できます。

平行六面体の体積は

$|(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w})|$

であった。

求める体積の四面体は、その底面の平行四辺形を半分にして得られる

三角形上の三角錐であるから、

平行六面体の

$$\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}$$

倍であることがわかります。

故に、求める四面体の体積は $\frac{1}{6} |(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w}|$

であることがわかります。

例3：一辺が1の正四面体の体積をスカラー三重積を用いて求めてみます。

そのような四面体は、

$$\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\0\end{pmatrix},\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix},\overrightarrow{w}=\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$$

として実現できます。全て長さが1で、内積が全て$\frac{1}{2}$ であることを確認

してください。

このとき、スカラー三重積を取ると、

$\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$ であり、

$|(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\cdot\overrightarrow{w}|=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 

と計算できます。よって上の公式から、

そのような正四面体の体積は、

$$\frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{12}$$

となります。

数学リテラシー2(第5回)

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数学リテラシー2のHP(2026年度)

今回は $\epsilon$-$\delta$ 論法の復習をしました。

まず定義ですが、

$\epsilon$-$N$論法で数列 $a_n$ の収束は、

$n\to \infty \Rightarrow a_n\to \alpha$ であることを

$\forall \epsilon>0$ に対して、$\exists N \in {\mathbb N}$ に対して、

$$\forall n>N\Rightarrow |a_n-\alpha|<\epsilon $$ 

ことである。

として定義しました。

そこで、これを変形して、

$\frac{1}{n}\to 0\Rightarrow a_n\to \alpha$ であることを

$\forall \epsilon>0$ に対して、$\exists N \in {\mathbb N}$ に対して、

$$\forall n,  0<\frac{1}{n}<\frac{1}{N}\Rightarrow |a_n-\alpha|<\epsilon $$ 

を満たすことである。

このことを関数の極限に応用してみます。

すると、次のように書き変わるでしょう。

$x\to a\Rightarrow f(x)\to \alpha$ であること、

つまり、

$x-a\to 0\Rightarrow f(x)\to \alpha$ であることを

$\forall \epsilon>0$ に対して、$\exists\delta>0$ に対して、

$$\forall x,  0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-\alpha|<\epsilon $$ 

を満たすことである。

ここで、$1/n$ によって0に近づいているとき

正の数からしか近づきませんが、一般に、$0$ に近づくのは正負の両方から近づくので

絶対値をつけて近づける範囲を両側にしています。また、

近づく範囲を指定するのに、$1/N$ として $n$ の範囲の限界を指定しましたが、

$1/N$ ではなくて実数でいいので、

$1/N$ の代わりに $\delta$ に変えています。

これで$\epsilon$-$N$ 論法を関数の極限値の収束の状況に当てはめることができました。

よって、関数 $f(x)$ が $x\to a$ によって、$\alpha$ に収束することを、

次のように定義します。

定義(関数がある極限値に収束すること)

関数 $f(x)$ がある領域 $I$ で定義された関数であるとする。

$x\in I$ が $a$ に近づくとき $f(x)$ が $\alpha$ に収束する

つまり $x\to a$ のとき $f(x)\to \alpha$ であることを

$\forall \epsilon>0$ に対して、$\exists\delta>0$ を用いて、

$$0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-\alpha|<\epsilon $$ 

を満たすこととして定義する。

これを、$\lim_{x\to a}f(x)=\alpha$ とかく。

この定義は $a$ が $f(x)$ の定義域 $I$ に入っていない場合も有効であることが

わかります。

例えば、$I=(0,1)$ の場合に、$f(x)=\frac{\sin x}{x}$ の場合が考えられます。

この場合、$x=0$ では定義されていませんが、極限は存在します。

しかし、$a\in I$ である場合、関数 $f(x)$ が $I$ で連続である定義をすることができます。

つまり、

定義(関数の連続性)

$I$ 上で定義された関数 $f(x)$ が $a\in I$ で連続であるとは、

$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ を満たすこととして定義する。 

上の極限値の収束の定義に基づいた極限値の値の計算は、こちら

にもありますが、今回は、授業で用いたものをここで証明をしてみることにします。

とりあえず関数のある極限値へ収束することの否定文もこちらで作っておきます。

定義(関数がある極限値に収束しないこと)

関数 $f(x)$ がある領域 $I$ で定義された関数であるとする。

$x\in I$ が $a$ に近づくとき $f(x)$ が $\alpha$ に収束しない

つまり $x\to a$ のとき $f(x)\not\to \alpha$ であることを

$\exists \epsilon>0$ に対して、$\forall\delta>0$ を用いて、

$$\exists x,0<|x-a|<\delta\text{かつ}|f(x)-\alpha|\ge \epsilon $$ 

を満たすこととして定義する。

個々の多項式については上のリンクを見てもらうことにして、まずは

例1：任意の多項式は連続関数である。

を示します。

任意の多項式関数 $f(x)$ を $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$

と書きます。

この多項式関数が $x=a$ で連続であることを示します。

そのために、準備をしておきます。

因数定理を用いることで、

$$f(x)-f(a)=(x-a)(d_1+d_2(x-a)+\cdots+d_n(x-a)^{n-1})$$

とかけます。ここで、$d_i$ は関数$f(x) $と$ a$にしか依存しない定数で、

$$d=\max_{i=1,\cdots,n}\{|d_i|\}$$

もそうです。

ここまでが準備です。

ここで、$\forall \epsilon>0$ に対して、$0<\delta<\min\{1,\frac{\epsilon}{nd}\}$ となる

実数として定めておきます。このような実数が存在するのは、

$\epsilon$ に依存しない $n,d$ が定数だからです。

また、どうしてこのように $\delta$ を定めておくといいのかは後で

判明します。

このとき、

そのような $\delta$ に対して、$|x-a|<\delta$ となる任意の $x$ に対して、三角不等式と

上の仮定を用いることで、

$$|f(x)-f(a)|=| (x-a)(d_1+d_2(x-a)+\cdots+d_n(x-a)^{n-1})|$$

$$=|x-a|\cdot | d_1+d_2(x-a)+\cdots+d_n(x-a)^{n-1} |$$

$$\le \delta(|d_1|+|d_2|\cdot|x-a|+|d_3|\cdot |x-a|^2+\cdots+|d_n|\cdot |x-a|^{n-1})$$

$$\le \delta(|d_1|+|d_2|\cdot \delta +|d_3|\cdot \delta ^2+\cdots+|d_n|\cdot \delta^{n-1})$$

$$\le \delta(|d_1|+|d_2|+\cdots+|d_n|)$$

$$\le \delta \cdot nd< \epsilon$$

となり、確かに$x=a$ で関数が連続であることがわかります。

次の例にいきます。

例2 関数 $f(x)=\sin \frac{1}{x}$ は $x=0$ において極限値を持たない。

これもこちらで証明はしているのですが、授業中でもやった方法で証明してみます。

(証明)

$f(x)$ が$\alpha$ に収束しないことを示します。

$f(x)$ は定数関数ではないので、

$\sin \frac{1}{x_\alpha}\neq \alpha$ となるような $x_\alpha>0$ が存在します。

ここで、$\epsilon=\frac{1}{2}|\sin\frac{1}{x_\alpha}-\alpha|$ とする。

どうしてこのように定義すればいいのか後で判明します。

ここで、$\forall \delta>0$ をとります。このとき、

$0<|x|<\delta$ において $|\sin \frac{1}{x}-\alpha|$ が $\epsilon$ より大きくなる

$x$ を取ればいいのですが、

上のような任意の$\delta$ に対して、

$\frac{x_\alpha}{2n\pi x_\alpha+1}<\delta$ となる

自然数 $n$ が存在します。分母が限りなく大きくなるのでそうですが、

アルキメデスの原理を用いるなら、$\frac{1}{2\pi x_\alpha}(\frac{x_\alpha}{\delta}-1)<n$

となる自然数 $n$ が存在するからです。

ここで、$x_{\alpha,n}= \frac{x_\alpha}{2n\pi x_\alpha+1}$ とおくと、

$0<|x_{\alpha,n}|<\delta$ を満たし、かつ

$|\sin\frac{1}{x_{\alpha,n}}-\alpha|=|\sin(\frac{1}{x_\alpha}+2n\pi)-\alpha|=|\sin\frac{1}{x_\alpha}-\alpha|=2\epsilon\ge \epsilon$

これにより、$\sin\frac{1}{x}$ は $x\to 0$ のとき、$\alpha$ に近づかない

つまり、$\lim_{x\to a}f(x)\neq \alpha$ となります。

任意の $\alpha$ に近づかないのだから、 $f(x)$ は極限値を持たないことになります。

次の例を示します。

例3：$y=\sin x$ は連続関数である。

これも、$\epsilon$-$\delta$ 論法を用いて示してみます。

まず、次を$\epsilon$-$\delta$ 論法を用いて示しておきます。

補題

$\lim_{X\to 0}\frac{\sin X}{X}=1$である。

(証明)

三角関数の定義から次の不等式が成り立つ。

$0<X<\pi/2$ のとき、

$0<\sin X<X<\tan X$

であり、

$-\pi/2<X<0$ のとき、

$\tan X<X<\sin X<0$

となります。

よって、どちらにしても、

$$0<1-\frac{\sin X}{X}<1-\cos X$$

が成り立ちます。

よって、今、

$\forall \epsilon>0$ に対して、 $0<\delta=\sqrt{2\epsilon}$ として取ると、

$0<|X|<\delta$ となる任意の実数 $X$ に対して、

$|\frac{\sin X}{X}-1|<|1-\cos X|=2\sin^2\frac{X}{2}< 2(\frac{X}{2})^2<\frac{\delta^2}{2}=\epsilon$

よって、$\lim_{X\to 0}\frac{\sin X}{X}=1$ を満たします。$\Box$

上の例に戻ります。

$x=a> 0$ での連続性を示します。$a$ が負の場合は同じなのでここでは $a>0$ としています。

そこで、$\forall \epsilon>0$ をとります。

このとき、$0<\delta<\min\{a,2,\frac{2\epsilon}{3}\}$ をとります。

(なぜこのように$\delta$ を取ればいいのか後で判明します。)

そこで、$0<|x-a|<\delta$ を満たす任意の $x$ をとります。

このとき、上の補題の証明での $\epsilon=\frac{1}{2}$ の場合を考え、$X=\frac{x-a}{2}$ と代入すると、

$0<|X|=|\frac{x-a}{2}|<1$ の場合、

$|\frac{\sin\frac{x-a}{2}}{\frac{x-a}{2}}-1|<\frac{1}{2}$ が成り立ち、つまりこのとき

$$\frac{1}{2}<\frac{\sin \frac{x-a}{2}}{\frac{x-a}{2}}<\frac{3}{2}$$

が成り立ちます。

和積公式を用いて、

$|\sin x-\sin a|=2|\sin\frac{x-a}{2}\cos\frac{x+a}{2}|\le |x-a|\cdot |\frac{\sin \frac{x-a}{2}}{\frac{x-a}{2}}|\le \delta \frac{3}{2}<\epsilon$

となります。

これで、なぜ $\delta$ を上のように取るべきかわかりましたね？

これにより、$\sin x$ が$x=a>0$ で連続であることがわかりました。

$x<0$ の場合も同様ですが、$x=0$ の場合が残りました。

このとき、

$\forall \epsilon>0$ に対して $0<\delta <\epsilon$ となる実数をとれば、

$0<|x|<\delta$ のとき、補題の証明から

$$|\sin x|=|x|\cdot |\frac{\sin x}{x}|\le |x|<\delta<\epsilon$$

であるからこの場合も、$x=0$ にて$\sin x$ が連続であることがわかります。$\Box$

他に、$y=|x|$ の$x=0$ で微分不可能な例なども考えてみます。

例4：$y=|x|$ は $x=0$ で連続である。

$\forall \epsilon>0$ に対して、$\delta=\epsilon$ とすると、

$0<|x|<\delta$ となる任意の $x$ に対して、

$||x|-0|=|x|<\delta=\epsilon$ 

であるから $x=0$ 連続である。