微積分I演習(数学類)(第5回)

[場所1E103（水曜日4限）]

HPに行く
manabaに行く

今回は

• ランダウの記号の計算規則
• ライプニッツの公式

をやりました。

ランダウの記号について

ランダウの記号のさらなる使い方について学びました。

もう一度書いておきます。ここでは特別に、$x\to 0$ とした場合を考えます。

そのほかの場合も対応する極限を考えます。

(1) $x^mo(x^n)=o(x^{n+m})$

(2) $\forall c\in {\mathbb R}, co(x^n)=o(x^n)$

(3) $x^{n+1}=o(x^n)$

(4) $o(x^n)+o(x^m)=o(x^n)\ \ \ (n\le m)$

(5) $o(x^n)o(x^m)=o(x^{n+m})$

証明も書いておきます。
(1) $f(x)=o(x^n)$ とすると、$\lim_{x\to 0}\frac{x^mf(x)}{x^{n+m}}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^n}=0$
(2) $c\in {\mathbb R}$ として、$f(x)=o(x^n)$ とすると、$\lim_{x\to 0}\frac{cf(x)}{x^n}=c\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^n}=0$
(3) $\lim_{x\to 0}\frac{x^{n+1}}{x^n}=\lim_{x\to 0}x=0$
(4) $f(x)=o(x^n)$ $g(x)=o(x^m)$ とすると、$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)+g(x)}{x^n}=\lim_{x\to 0}\left(\frac{f(x)}{x^n}+x^{m-n}\frac{g(x)}{x^m}\right)=0$
(5) $f(x)=o(x^n), g(x)=o(x^m)$ とすると、$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)g(x)}{x^{n+m}}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^n}\frac{g(x)}{x^m}=0$

となります。

２次近似

２回微分可能な関数 $f(x)$ は、
$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+o((x-a)^2)$$
のような式が成り立ちます。この式は、関数 $f(x)$ が $x=a$ の近くで、
多項式関数 $y=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2$ が関数 $f(x)$
と近いことが分かります。

その差 $o((x-a)^2)$ は $x=a$ に近づくに従って、$(x-a)^2$ よりも小さい量で $0$
に近づくので、 $f(x)$ と $f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2$ がそのような
量で近くということがわかります。

このような２次多項式関数 $f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2$ は関数 $f(x)$ の２次(多項式)近似といいます。

ライプニッツの公式

積の微分の公式は $(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ として知られていますが、それを一般化した公式をライプニッツの公式といいます。

２回微分のときは、
$$(f(x)g(x))''=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x)$$
3回微分のときは
$$(f(x)g(x))'''=f'''(x)g(x)+3f''(x)g'(x)+3f(x)g''(x)+f(x)g'''(x)$$

となります。これらは積の微分を繰り返せば得られます。

一般に、$n$ 回微分のときは、

$$(f(x)g(x))^{(n)}=f^{(n)}(x)g(x)+nf^{(n-1)}(x)g'(x)+\cdots +f(x)g^{(n)}(x)$$

$$=\sum_{k=0}^n{}_nC_kf^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)$$

となります。これをライプニッツの公式といいます。

宿題について

宿題5-1  定義に戻って示してください。

宿題5-2  逆関数の微分法を２回用いる。

宿題5-3  宿題5-1を使って示しますが、必ず、近似多項式は２次多項式にして下さい。