[場所1E103(金曜日5限)]
をやりました.
一様収束と広義一様収束
一様収束を定義します.
ポイントは任意の \epsilon>0 に対して、x\in I によらずに、N>0 が存在して、主張がなりたつということです.
つまり、|f_n(x)-f(x)|<M_n なるx によらない M_n が存在して、M_n\to 0 となるということです.このような評価ができれば一様収束といえます.
関数項級数 \sum_{n=0}^\infty f_n(x) が一様収束するとは、関数列 \sum_{k=0}^nf_k(x) が一様収束することを言います.
例えば、あるべき級数 \sum_{k=0}^\infty a_nx^n が一様収束するかどうかを調べます.
例
\sum_{n=0}^\infty x^n
がI=[-1/2,1/2] で一様収束することを証明します.f_n(x)=\sum_{k=0}^nx^k となるような関数列を考えます.このとき、ここで、I=[-1/2,1/2] でなくても、0<r<1 なる [-r,r] であれば、成り立ちます.
(証明) f_n(x)=\sum_{k=0}^n x^k とし、|f_n(x)-f(x)|=|\sum_{k=n+1}^\infty x^k|= \frac{|x|^{n+1}}{|1-x|}\le \frac{|x|^{n+1}}{1-|x|}\le \frac{(1/2)^{n+1}}{\frac{1}{2}}\le \left(\frac{1}{2}\right)^n=M_n
となり、この最右辺は x によらない定数で、n\to \infty のとき、M_n\to 0 となります.
一様収束について次が成り立ちます.
次に、一様収束を拡張した概念を定義します.
定義からすぐ分かることは、I が有界閉区間の場合は一様収束と同じ意味です.ですので、I として、例えば、開区間などを考えると意味があります.
例
同じ例
\sum_{n=0}^\infty x^n
が (-1,1) で広義一様収束することを示します.そのために、(-1,1) の中の任煮の有界閉集合 F\subset (-1,1) を考えます.このとき、r=\max\{|x||x\in F\} とすると、 r<1 となります.よって、
F\subset [-r,r]\subset (-1,1)
が成り立ちます.
F で一様収束を示すには、[-r,r] での一様収束を示せれば十分です.
よって、I=[-r,r] とすると、上の評価から、|f_n(x)-f(x)|\le \frac{|x|^{n+1}}{1-|x|}\le\frac{r^{n+1}}{1-r}=M_n
とすると、M_n は r にはよるが、x\in [-r,r] にはよらない定数で、
n\to \infty となるとき、M_n\to 0 となります.
よって、f_n(x) は F で一様収束します.
つまり、f_n(x) は (-1,1) で広義一様収束します.
このような定義がどのような意味があるかというと、次の定理が成り立ちます.
特に、収束半径内 (|z-a|<R ) でのべき級数 \sum_{n=0}^\infty a_n(z-a)^n は広義一様収束しますので、項別微積分定理
\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty na_nx^{n-1}
\int_{0}^x\sum_{n=0}^\infty a_nt^ndt=\sum_{n=0}^\infty a_n\int_{0}^x\frac{t^{n+1}}{n+1}dt
が成り立ち、収束半径は微積分した後も同じです.
よって、収束半径内において、\sum_{n=0}^\infty a_nx^n は C^\infty 級関数ということになります.
この知識と今までの微積分を用いて、、
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}
を示します.
(1) \int_{0}^1\frac{\text{Arcsin}(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx を求めます.
(\text{Arcsin}(x))'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} であるので、t=\text{Arcsin}(x) とおくと、この積分は \int_0^{\pi/2}tdt=\frac{\pi^2}{8} となります.
(2) \text{Arcsin}(x) のべき級数展開(テイラー展開)を求めます.
(\text{Arcsin}(x))'=(1-x^2)^{-\frac{1}{2}} です.
ここで、2項定理により、
(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty\binom{\alpha}{n}x^n
となります.ここで、\binom{\alpha}{n} は2項係数で、\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n-1)}{n!} です.
よって、\binom{-\frac{1}{2}}{n}=\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})\cdots (-\frac{1}{2}-n+1)}{n!}=(-1)^n\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}
となります.
(\text{Arcsin}(x))'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{2n} となるので、この式に、微分と極限の交換を考えます.積分して、
\text{Arcsin}(x)=\int_0^x(\text{Arcsin}(t))'dt=\int_0^x\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}t^{2n}dt として、
この積分記号が\sum_{n=0}^\infty の中に入るためには、\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}t^{2n} が (-1,1) で広義一様収束していればよいことになります.
そのためには、[-r,r] 上で一様収束することを示せば十分なので、
確かめてみると、|\sum_{k=n+1}^\infty \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}t^{2k}|\le\sum_{k=n+1}^\infty|\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}||t|^{2k}\le \sum_{k=n+1}^\infty |t|^{2k}\le \frac{r^{2(n+1)}}{1-|r|}
この右辺は、t\in [-r,r] に関係なく、0 に収束します.
よって、この級数は (-1,1) で広義一様収束するので、積分記号が 、\sum の中に入ることで、
\text{Arcsin}(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}
が成り立ちます.
(3) よって、(-1,1) で連続関数 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} を掛けても広義一様収束なので、
\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{1}{2n+1}\frac{x^{2n+1}}{\sqrt{1-x^2}}
は広義一様収束します.
(4) (3) から、この関数を積分をすると、
\int_0^1\frac{\text{Arcsin}(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int_{0}^1 \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{1}{2n+1}\frac{x^{2n+1}}{\sqrt{1-x^2}}dx
=\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{1}{2n+1}\int_{0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{\sqrt{1-x^2}}dx となり、
x^2=t とすると、dt=2xdx かつ、\Gamma(n+\frac{3}{2})=(n+\frac{1}{2})(n-\frac{1}{2})\cdots\frac{3}{2}\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2}) を用いて、
\int_{0}^1 \frac{x^{2n+1}}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{1}{2}\int_0^1t^n(1-t)^{-\frac{1}{2}}dt=\frac{1}{2}B\left(\frac{1}{2},n+1\right)=\frac{1}{2}\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma(n+1)}{\Gamma\left(n+\frac{3}{2}\right)}=\frac{1}{2}\frac{2^{n+1}n!}{(2n+1)!!}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}
(5) (4) の結果を(3)に代入すると、(1) の積分は次のように計算されます.
\int_{0}^1\frac{\text{Arcsin}(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{1}{2n+1}\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}
=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}
一方 (1) から
\frac{\pi^2}{8}=\int_{0}^1\frac{\text{Arcsin}(x)}{\sqrt{1-t^2}}dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}
となります.求める級数の和をS とおくと、
S=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}=\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{8}+\frac{S}{4}
より、
S=\frac{4}{3}\frac{\pi^2}{8}=\frac{\pi^2}{6}
となります。
今日は
- 一様収束と、広義一様収束、項別微積分の定理と
- \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}を示すこと
一様収束と広義一様収束
一様収束を定義します.
定義1(一様収束)
I を区間とし、I 上の関数列 f_n(x)\ \ (n=1,2,\cdots) が f(x) に一様収束するとは、任意の \epsilon>0 に対して、ある N が存在して、n>N なる任意の n について、任意の x\in I について |f_n(x)-f(x)|\le \epsilon となる.
I を区間とし、I 上の関数列 f_n(x)\ \ (n=1,2,\cdots) が f(x) に一様収束するとは、任意の \epsilon>0 に対して、ある N が存在して、n>N なる任意の n について、任意の x\in I について |f_n(x)-f(x)|\le \epsilon となる.
ポイントは任意の \epsilon>0 に対して、x\in I によらずに、N>0 が存在して、主張がなりたつということです.
つまり、|f_n(x)-f(x)|<M_n なるx によらない M_n が存在して、M_n\to 0 となるということです.このような評価ができれば一様収束といえます.
関数項級数 \sum_{n=0}^\infty f_n(x) が一様収束するとは、関数列 \sum_{k=0}^nf_k(x) が一様収束することを言います.
例えば、あるべき級数 \sum_{k=0}^\infty a_nx^n が一様収束するかどうかを調べます.
例
\sum_{n=0}^\infty x^n
がI=[-1/2,1/2] で一様収束することを証明します.f_n(x)=\sum_{k=0}^nx^k となるような関数列を考えます.このとき、ここで、I=[-1/2,1/2] でなくても、0<r<1 なる [-r,r] であれば、成り立ちます.
(証明) f_n(x)=\sum_{k=0}^n x^k とし、|f_n(x)-f(x)|=|\sum_{k=n+1}^\infty x^k|= \frac{|x|^{n+1}}{|1-x|}\le \frac{|x|^{n+1}}{1-|x|}\le \frac{(1/2)^{n+1}}{\frac{1}{2}}\le \left(\frac{1}{2}\right)^n=M_n
となり、この最右辺は x によらない定数で、n\to \infty のとき、M_n\to 0 となります.
一様収束について次が成り立ちます.
定理2(連続関数の一様収束極限)
I 上の連続関数の列 f_n(x)\ \ (n=1,2,\cdots) が f(x) に一様収束するとき、f(x) は連続関数となる.
I 上の連続関数の列 f_n(x)\ \ (n=1,2,\cdots) が f(x) に一様収束するとき、f(x) は連続関数となる.
次に、一様収束を拡張した概念を定義します.
定義3(広義一様収束)
I を区間とし、I 上の関数列 f_n(x)\ \ (n=1,2,\cdots) が f(x) に広義一様収束するとは、I の任意の有界閉集合において、一様収束することをいいます。
I を区間とし、I 上の関数列 f_n(x)\ \ (n=1,2,\cdots) が f(x) に広義一様収束するとは、I の任意の有界閉集合において、一様収束することをいいます。
定義からすぐ分かることは、I が有界閉区間の場合は一様収束と同じ意味です.ですので、I として、例えば、開区間などを考えると意味があります.
例
同じ例
\sum_{n=0}^\infty x^n
が (-1,1) で広義一様収束することを示します.そのために、(-1,1) の中の任煮の有界閉集合 F\subset (-1,1) を考えます.このとき、r=\max\{|x||x\in F\} とすると、 r<1 となります.よって、
F\subset [-r,r]\subset (-1,1)
が成り立ちます.
F で一様収束を示すには、[-r,r] での一様収束を示せれば十分です.
よって、I=[-r,r] とすると、上の評価から、|f_n(x)-f(x)|\le \frac{|x|^{n+1}}{1-|x|}\le\frac{r^{n+1}}{1-r}=M_n
とすると、M_n は r にはよるが、x\in [-r,r] にはよらない定数で、
n\to \infty となるとき、M_n\to 0 となります.
よって、f_n(x) は F で一様収束します.
つまり、f_n(x) は (-1,1) で広義一様収束します.
このような定義がどのような意味があるかというと、次の定理が成り立ちます.
定理4(項別微積分定理)
f_n(x) が I で f(x) に広義一様収束するとする.このとき、
\frac{d}{dx}\lim_{n\to \infty}f_n(x)=\lim_{n\to \infty}\frac{d}{dx}f_n(x)
\int_a^x\lim_{n\to \infty}f_n(t)dt=\lim_{n\to \infty}\int_a^xf_n(t)dt
が成り立つ.
f_n(x) が I で f(x) に広義一様収束するとする.このとき、
\frac{d}{dx}\lim_{n\to \infty}f_n(x)=\lim_{n\to \infty}\frac{d}{dx}f_n(x)
\int_a^x\lim_{n\to \infty}f_n(t)dt=\lim_{n\to \infty}\int_a^xf_n(t)dt
が成り立つ.
特に、収束半径内 (|z-a|<R ) でのべき級数 \sum_{n=0}^\infty a_n(z-a)^n は広義一様収束しますので、項別微積分定理
\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty na_nx^{n-1}
\int_{0}^x\sum_{n=0}^\infty a_nt^ndt=\sum_{n=0}^\infty a_n\int_{0}^x\frac{t^{n+1}}{n+1}dt
が成り立ち、収束半径は微積分した後も同じです.
よって、収束半径内において、\sum_{n=0}^\infty a_nx^n は C^\infty 級関数ということになります.
この知識と今までの微積分を用いて、、
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}
を示します.
(1) \int_{0}^1\frac{\text{Arcsin}(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx を求めます.
(\text{Arcsin}(x))'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} であるので、t=\text{Arcsin}(x) とおくと、この積分は \int_0^{\pi/2}tdt=\frac{\pi^2}{8} となります.
(2) \text{Arcsin}(x) のべき級数展開(テイラー展開)を求めます.
(\text{Arcsin}(x))'=(1-x^2)^{-\frac{1}{2}} です.
ここで、2項定理により、
(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty\binom{\alpha}{n}x^n
となります.ここで、\binom{\alpha}{n} は2項係数で、\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n-1)}{n!} です.
よって、\binom{-\frac{1}{2}}{n}=\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})\cdots (-\frac{1}{2}-n+1)}{n!}=(-1)^n\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}
となります.
(\text{Arcsin}(x))'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{2n} となるので、この式に、微分と極限の交換を考えます.積分して、
\text{Arcsin}(x)=\int_0^x(\text{Arcsin}(t))'dt=\int_0^x\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}t^{2n}dt として、
この積分記号が\sum_{n=0}^\infty の中に入るためには、\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}t^{2n} が (-1,1) で広義一様収束していればよいことになります.
そのためには、[-r,r] 上で一様収束することを示せば十分なので、
確かめてみると、|\sum_{k=n+1}^\infty \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}t^{2k}|\le\sum_{k=n+1}^\infty|\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}||t|^{2k}\le \sum_{k=n+1}^\infty |t|^{2k}\le \frac{r^{2(n+1)}}{1-|r|}
この右辺は、t\in [-r,r] に関係なく、0 に収束します.
よって、この級数は (-1,1) で広義一様収束するので、積分記号が 、\sum の中に入ることで、
\text{Arcsin}(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}
が成り立ちます.
(3) よって、(-1,1) で連続関数 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} を掛けても広義一様収束なので、
\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{1}{2n+1}\frac{x^{2n+1}}{\sqrt{1-x^2}}
は広義一様収束します.
(4) (3) から、この関数を積分をすると、
\int_0^1\frac{\text{Arcsin}(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int_{0}^1 \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{1}{2n+1}\frac{x^{2n+1}}{\sqrt{1-x^2}}dx
=\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{1}{2n+1}\int_{0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{\sqrt{1-x^2}}dx となり、
x^2=t とすると、dt=2xdx かつ、\Gamma(n+\frac{3}{2})=(n+\frac{1}{2})(n-\frac{1}{2})\cdots\frac{3}{2}\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2}) を用いて、
\int_{0}^1 \frac{x^{2n+1}}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{1}{2}\int_0^1t^n(1-t)^{-\frac{1}{2}}dt=\frac{1}{2}B\left(\frac{1}{2},n+1\right)=\frac{1}{2}\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma(n+1)}{\Gamma\left(n+\frac{3}{2}\right)}=\frac{1}{2}\frac{2^{n+1}n!}{(2n+1)!!}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}
(5) (4) の結果を(3)に代入すると、(1) の積分は次のように計算されます.
\int_{0}^1\frac{\text{Arcsin}(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{1}{2n+1}\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}
=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}
一方 (1) から
\frac{\pi^2}{8}=\int_{0}^1\frac{\text{Arcsin}(x)}{\sqrt{1-t^2}}dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}
となります.求める級数の和をS とおくと、
S=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}=\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{8}+\frac{S}{4}
より、
S=\frac{4}{3}\frac{\pi^2}{8}=\frac{\pi^2}{6}
となります。
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