トポロジー入門演習(第11回)(ヒント集6)

[場所1E103（月曜日4限）]

配布プリント

HPに行く．

第9,10回で残っている問題

問題93
開写像ではない連続写像をあげよ．

(ヒント)
${\mathbb R}\to {\mathbb R}$ への関数で、$\mathbb{R}$ のある開集合が像において、その内部の点において折り返すようなものでよい．$y=x^2$ などでよい．

問題94

開写像だが、連続でない例をあげよ．

(ヒント)
位相が細かくなる方向に恒等写像を作ればよい．

問題95

$f:{\mathbb R}\to {\mathbb R}$　を連続関数とする．

このとき、この $f$ のグラフ $\Gamma:=\{(x,f(x))\in {\mathbb R}^2|x\in{\mathbb R}\}$

は $F:{\mathbb R}\to \Gamma$ からの埋め込み写像が構成できることを示せ．

(ヒント)
積空間への連続写像を作るには、その写像と、それぞれの成分への射影の合成が連続であればよい．

問題96

$\{0,1\}^{\mathbb N}$ は非可算集合であることを示せ．

(略解答)

$(a_n)\in \{0,1\}^{\mathbb N}$ から $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{2^n}$ として $[0,1]$ の実数に対応をつけることで、非可算集合に全射を作ることができる．

問題100

無限集合上の有限補集合位相において、任意の無限部分集合の閉包は全体と一致することを示せ．

(略解答)
有限補集合位相の閉集合は有限点集合か、全体集合である．
無限部分集合 $X$ を包むような閉集合は全体集合しかありえない．

問題101

可算無限集合上の有限補集合位相は、第一可算であることを示せ．

(略解答)
任意の $x\in X$ に対して $x\in U_n$ なる開集合の族 $\{U_n\}$ で $U_{n-1}$ に対して、ある $y\in U_{n-1}$ に対して、 $U_n=U_{n-1}\setminus y$ として帰納的に定義する．
このとき、$\{U_n\}$ は近傍基であることを示す．

問題102

非可算無限集合上の有限補集合位相は、第一可算ではないことを示せ．

(ヒント)
$x\in X$ において、$\mathcal{U}(x)$ が可算集合となる近傍基とする．
$\cap_{B\in \mathcal{U}(x)}B=\{x\}$ となります．
$X-\{x\}=X-\cap_{B\in \mathcal{U}(x)}B=\cup_{B\in \mathcal{U}(x)}(X\setminus B)$

より矛盾がいえる．

問題103

$X$ は $A$ の内部、外部、境界の直和となることを示せ．

(ヒント)
$A$ の内部、外部、境界の条件から直ちに分かる．

問題105

$A,B$ を $X$ の部分集合とするとき、次のことが成り立つことを示せ．

(1) $\text{Int}(A)\subset A$

(2) $\text{Int}(\text{Int}(A))=\text{Int}(A)$

(3) $\text{Int}(A\cap B)=\text{Int}(A)\cap\text{Int}(B)$

(4) $\text{Int}(X)=X$

(5) $A\subset B$ ならば、$\text{Int}(A)\subset\text{Int}(B)$

(ヒント)

(1) 集合 $A$ に含まれる開集合の最大であることからあきらか．

(2) $\text{Int}(A)$ は開集合であり、$\text{Int}(A)$ に含まれる最大の開集合は $\text{Int}(A)$ そのものである．
(4) $X$ は開集合であるから、明らか．
(5) $x\in \text{Int}(A)$ ならば、$x\in U\subset A\subset B$ となる $U$ が存在するので、主張は明らか．