[場所1E103（月曜日4限）]
HPに行く．
位相空間の連結性のまとめはこちらに書きました．
以下、引用している定理番号はそちらのページのものです．
$x$ の連結成分 $C(x)$ は閉集合です．そのためにまずは、下の定理を証明します．
この定理の証明は以下のようにします．
(証明) $B=C\cup D$ なる $C,D$ を離れた集合とします．このとき、定理7から、$A\subset C$ もしくは、$A\subset D$ となります．ここで、$A\subset C$ が成り立つとします．閉包をとると、
$\text{Cl}(A)\subset \text{Cl}(C)$ となり、$C,D$ は離れた集合であることから、$\text{Cl}(A)\cap D=\emptyset$ となるので $D\cap \text{Cl}(A)=\emptyset $ となり、$D$ が空集合ではなければ仮定に反する．
よって、$B$ は定理7から連結となります．（証明終了）
よって次が分かります．
各連結成分は閉集合にはなるが、一般に開集合にはなりません．そのすぐ分かる例は通常の距理位相おける ${\mathbb Q}\subset {\mathbb R}$ です．各 $r\in {\mathbb Q}$ の連結成分は $r$ 自身つまり、$C_{\mathbb Q}(r)=\{r\}$ であるが、$\{r\}$ は開集合にはなりません．
連結性において大事な定理が次です．
(注)連続像とは、連続な写像の像のことです．
(略証) $f:X\to Y$ を連続写像として、$U\subset f(X)$ を $f(X)$ においてclopenな集合とします．このとき、$f^{-1}(U)$ も $X$ でclopenであるので空集合か、$X$ に一致します．空集合であるとすると、もちろん $U$ も空集合になり、$f^{-1}(U)=X$ となるとすると、$f(X)=U$ となります．ゆえに、$f(X)$ は連結となります．(証明終了)
ここで、連結性と弧状連結性の間に次のような関係が成り立ちます．
(証明) $X$ を弧状連結な位相空間とします．$p,q\in X$ を任意の2点とします．このとき、$X$ は弧状連結なので、$p,q$ を含む区間 $I$ からの連続像が存在します．定理11からこの像は連結であり、$p,q$ を含むので、定理5から $X$ は連結となります．（証明終了）
この主張の逆は成り立ちません．トポロジストのサインカーブとして有名な例があります．教科書の例17.2．
局所連結は、各点において、いくらでも小さい連結な近傍が存在することとを意味しており、この性質は連結な開集合からなる開基が存在することと同値です．
局所連結の定義を用いて次の定理を証明します．
(証明) (1) を仮定つまり、$(X,\mathcal{O})$ が局所連結であるとします．このとき、$G\in \mathcal{O}$ とします．このとき、$D$ を $G$ の中での連結成分とします．$x\in G$ のとき、$G$ は $x$ の近傍なので、ある連結近傍 $U(x)$ が存在して、$x\in U(x)\subset G$ となります．ここで、$D$ は $x$ を含む連結な集合の最大のものだから、$x\in U(x)\subset D$ となります．よって、これは $D\in \mathcal{O}$ であることを意味しています．
(2) を仮定します．このとき、$x\in X$ かつ $x\in U(x)$ をその任意の開近傍とします．このとき、$U(x)$ の連結成分を $D$ つまり、$C_{U(x)}(x)=D$ とします．このとき、条件から、$D\in \mathcal{O}$ となるので、$x\in D\subset U(x)$ となる連結な近傍が存在するので、$X$ は局所連結である．(証明終了)
事実として、局所連結であるからといって連結は成り立ちませんし、連結であるからといって局所連結とも限りません．
トポロジストのサインカーブは局所連結ではないが、連結となる例です．
最後に、証明はしませんが、以下の定理を出しておきます．
この定理は少し奇妙なことを言っています．(1) から (2) はいろいろな定理を鑑みれば明らかですが、(2) から (1) は全く明らかではなく、本当にそうなのか疑ってしまいます．例えば、$I\to I\times I$ なる連続全射も存在することを主張しています．これを初めて発見したのはペアノ(1890)でした．行き先は $I\times I$ に限らず、 $I\times I\times I$ や $I\times I\times I\cdots I$ でも $I\times I\times I\cdots =I^{\mathbb N}$ でもかまいません．
このような、ある意味病的な例は、ペアノが最初に提出して、その当時の数学界を驚かせたといいます．
そのことに因んで、コンパクト、連結、局所連結な距離空間のことをペアノ連続体といいます．
一般に、コンパクト、連結な距離空間のことを連続体といい、現在でも盛んに研究されており、筑波大の加藤先生は連続体についての第一線の研究者の一人です．連続体に関して、まだまだ分からないことだらけで、研究するには豊富な分野ではないかと思います．、
HPに行く．
位相空間の連結性のまとめはこちらに書きました．
以下、引用している定理番号はそちらのページのものです．
定義9(連結成分)
位相空間 $x\in X$ として、その連結成分 $C(x)$ は $x$ を含む最大の連結集合のこととする．
位相空間 $x\in X$ として、その連結成分 $C(x)$ は $x$ を含む最大の連結集合のこととする．
$x$ の連結成分 $C(x)$ は閉集合です．そのためにまずは、下の定理を証明します．
定理10
$A\subset X$ を連結集合とすると、$A\subset B\subset \text{Cl}(A)$ となる任意の集合 $B$ は連結である．
$A\subset X$ を連結集合とすると、$A\subset B\subset \text{Cl}(A)$ となる任意の集合 $B$ は連結である．
この定理の証明は以下のようにします．
(証明) $B=C\cup D$ なる $C,D$ を離れた集合とします．このとき、定理7から、$A\subset C$ もしくは、$A\subset D$ となります．ここで、$A\subset C$ が成り立つとします．閉包をとると、
$\text{Cl}(A)\subset \text{Cl}(C)$ となり、$C,D$ は離れた集合であることから、$\text{Cl}(A)\cap D=\emptyset$ となるので $D\cap \text{Cl}(A)=\emptyset $ となり、$D$ が空集合ではなければ仮定に反する．
よって、$B$ は定理7から連結となります．（証明終了）
よって次が分かります．
系10
連結成分 $C(x)$ は閉集合である．
連結成分 $C(x)$ は閉集合である．
各連結成分は閉集合にはなるが、一般に開集合にはなりません．そのすぐ分かる例は通常の距理位相おける ${\mathbb Q}\subset {\mathbb R}$ です．各 $r\in {\mathbb Q}$ の連結成分は $r$ 自身つまり、$C_{\mathbb Q}(r)=\{r\}$ であるが、$\{r\}$ は開集合にはなりません．
連結性において大事な定理が次です．
定理11
連結空間の連続像は連結である．
連結空間の連続像は連結である．
(注)連続像とは、連続な写像の像のことです．
(略証) $f:X\to Y$ を連続写像として、$U\subset f(X)$ を $f(X)$ においてclopenな集合とします．このとき、$f^{-1}(U)$ も $X$ でclopenであるので空集合か、$X$ に一致します．空集合であるとすると、もちろん $U$ も空集合になり、$f^{-1}(U)=X$ となるとすると、$f(X)=U$ となります．ゆえに、$f(X)$ は連結となります．(証明終了)
定義12(弧状連結)
位相空間 $X$ が弧状連結であるとは、任意の $p,q\in X$ に対して、$I=[0,1]$ からの連続写像 $\varphi:I\to X$ が存在して、$\varphi(0)=p$ かつ $\varphi(1)=q$ とできるときにいいます．
位相空間 $X$ が弧状連結であるとは、任意の $p,q\in X$ に対して、$I=[0,1]$ からの連続写像 $\varphi:I\to X$ が存在して、$\varphi(0)=p$ かつ $\varphi(1)=q$ とできるときにいいます．
ここで、連結性と弧状連結性の間に次のような関係が成り立ちます．
定義13
弧状連結なら連結である．
弧状連結なら連結である．
(証明) $X$ を弧状連結な位相空間とします．$p,q\in X$ を任意の2点とします．このとき、$X$ は弧状連結なので、$p,q$ を含む区間 $I$ からの連続像が存在します．定理11からこの像は連結であり、$p,q$ を含むので、定理5から $X$ は連結となります．（証明終了）
この主張の逆は成り立ちません．トポロジストのサインカーブとして有名な例があります．教科書の例17.2．
定義14(局所連結)
位相空間 $X$ の任意の $x\in X$ と $x$ の任意の近傍 $x\in U\subset X$ に対してある連結な $x$ の近傍 $x\in V$ が存在して、$V\subset U$ となるとき、$X$ を局所連結という．
位相空間 $X$ の任意の $x\in X$ と $x$ の任意の近傍 $x\in U\subset X$ に対してある連結な $x$ の近傍 $x\in V$ が存在して、$V\subset U$ となるとき、$X$ を局所連結という．
局所連結は、各点において、いくらでも小さい連結な近傍が存在することとを意味しており、この性質は連結な開集合からなる開基が存在することと同値です．
局所連結の定義を用いて次の定理を証明します．
定理15
次の(1) (2) は同値である．
(1) $X$ が局所連結である．
(2) $X$ の任意の開集合において、その開集合の各連結成分もまた開集合である．
次の(1) (2) は同値である．
(1) $X$ が局所連結である．
(2) $X$ の任意の開集合において、その開集合の各連結成分もまた開集合である．
(証明) (1) を仮定つまり、$(X,\mathcal{O})$ が局所連結であるとします．このとき、$G\in \mathcal{O}$ とします．このとき、$D$ を $G$ の中での連結成分とします．$x\in G$ のとき、$G$ は $x$ の近傍なので、ある連結近傍 $U(x)$ が存在して、$x\in U(x)\subset G$ となります．ここで、$D$ は $x$ を含む連結な集合の最大のものだから、$x\in U(x)\subset D$ となります．よって、これは $D\in \mathcal{O}$ であることを意味しています．
(2) を仮定します．このとき、$x\in X$ かつ $x\in U(x)$ をその任意の開近傍とします．このとき、$U(x)$ の連結成分を $D$ つまり、$C_{U(x)}(x)=D$ とします．このとき、条件から、$D\in \mathcal{O}$ となるので、$x\in D\subset U(x)$ となる連結な近傍が存在するので、$X$ は局所連結である．(証明終了)
事実として、局所連結であるからといって連結は成り立ちませんし、連結であるからといって局所連結とも限りません．
トポロジストのサインカーブは局所連結ではないが、連結となる例です．
最後に、証明はしませんが、以下の定理を出しておきます．
定理16(Hahn-Mazurkiewiczの定理)
$X$ を距離空間とする．このとき、以下は同値である．
(1) $I=[0,1]\to X$ なる連続な全射が存在する．
(2) $X$ はコンパクト、連結、局所連結である．
$X$ を距離空間とする．このとき、以下は同値である．
(1) $I=[0,1]\to X$ なる連続な全射が存在する．
(2) $X$ はコンパクト、連結、局所連結である．
この定理は少し奇妙なことを言っています．(1) から (2) はいろいろな定理を鑑みれば明らかですが、(2) から (1) は全く明らかではなく、本当にそうなのか疑ってしまいます．例えば、$I\to I\times I$ なる連続全射も存在することを主張しています．これを初めて発見したのはペアノ(1890)でした．行き先は $I\times I$ に限らず、 $I\times I\times I$ や $I\times I\times I\cdots I$ でも $I\times I\times I\cdots =I^{\mathbb N}$ でもかまいません．
このような、ある意味病的な例は、ペアノが最初に提出して、その当時の数学界を驚かせたといいます．
そのことに因んで、コンパクト、連結、局所連結な距離空間のことをペアノ連続体といいます．
一般に、コンパクト、連結な距離空間のことを連続体といい、現在でも盛んに研究されており、筑波大の加藤先生は連続体についての第一線の研究者の一人です．連続体に関して、まだまだ分からないことだらけで、研究するには豊富な分野ではないかと思います．、
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