トポロジー入門演習(第13回)

[場所1E103（月曜日4限）]

配布プリント

HPに行く．

今日は、連結性について少し解説しました。
ここで、まとめておきます．

連結な位相空間

集合 $X$ の部分集合　$U,V$ が互いに素とは、$U\cap V=\emptyset$ となることをいいます。
位相空間 $X$ の部分集合 $A\subset X$ が閉かつ開のとき、$A$ をclopen（クロオープン）といいます．

定義1(連結)
位相空間 $(X,\mathcal{O})$ が連結とは、$X$ が空ではない互いに素な開集合の和として $X=U\cup V$ と書けないときをいう．

よって、位相空間 $X$ が非連結であるとは、互いに素な空でない開集合 $U,V$ を使って、
$X=U\cup V$ となることをいう．

この定義からわかるとおり、空間が連結であることを示すには、背理法を使うことが多いです．
また、連結は、次の、(2),(3)のどれを使っても同じことです．

定理2
位相空間 $(X,\mathcal{O}$ に対して次は同値。
(1) $X$ は連結である．
(2) $X$ が空ではない互いに素な閉集合の和として $X=U\cup V$ とかけない．
(3) $X$ のclopen な部分集合 $A$ は $A=\emptyset$もしくは $A=X$ となる．

(証明)　(1) と (2) の同値性の証明は簡単で、$U,V$ としてその補集合同士をとればよいです．
(3) から (1)
$U,V\subset X$ を空ではない互いに素な開集合で $X=U\cup V$ となったとき、
$U$ は、clopenであるから、$U=\emptyset$ もしくは、$U=X$ となりますが、どちらにしても、$U,V$ が空でないことに反します．
(1) から (3)
$A\subset X$ をclopen な部分集合とします．
このとき、$X=A\cup (X-A)$ とすると、$A,X-A$ は互いに素な開集合なので、仮定から、$A,X-A$ は空集合でないといけません．（証明終了）


連結性をいうには、
$X$ が2つの空ではない互いに素な開集合（もしくは閉集合）の和になることを仮定して矛盾を導くか、
clopenな部分集合もってきて、それが空集合か全体集合になることを示す．

というのが一般的です．


ここでは ${\mathbb R}$ が連結であることを示しておきます．

定理3(${\mathbb R}$ の連結性)
${\mathbb R}$ は通常の距離空間としての位相により連結である．

(証明) ${\mathbb R}$ が連結でないとする．このとき、空ではない互いに素な閉集合 $A,B$ を使って${\mathbb R}=A\cup B$ とできるとする．空ではないので、$a\in A$ と $b\in B$ を選ぶ．
また、$a<b$ であると仮定しておく．もしそうではなければ、$A,B$ の役割をいれかえておけばよい．

$[a, b]\cap A$ とし、この集合の中の上限を $c$ とする．$[a, b]\cap A$ も再び閉集合なので、
$c\in \text{Cl}([a,b]\cap A)=[a,b]\cap A$ となり、$c\in A$ がいえる．
$A\cap B=\emptyset$ であることと、上限であることから、$(c,b]\subset B$ となる．
また、$B$ も閉集合なので、$c\in \text{Cl}((c,b])\subset \text{Cl}(B)=B$
よって、$c\in B$ となる．よって、$c\in A\cap B$ となるので、$A,B$ が互いに素であることに反する．（証明終了）


また、${\mathbb R}$ の連結部分集合

定理4
${\mathbb R}$ の連結部分集合は、一点集合か、区間である．

(証明) 連結部分集合 $A$ が1点集合でも区間でもないとすると、$x,y\in A$ であって、
$x<z<y$ で、$z\not\in A$ となるような $z$ が存在します．もしそうではないとすると、一点か区間です．このとき、$B=(-\infty,a)\cap A$ と $C=(a,\infty)\cap A$ とすると、部分空間 $A$ は、
空ではない互いに素な開集合 $B,C$ の和になります．よって連結であることに矛盾します．（証明終了）


またつぎのような性質もあります．

定理5
位相空間 $X$ が連結であるための必要十分条件は、任意の2点 $p,q\in X$ に対して、その2点を含む連結集合 $A$ が存在することである．

(証明) 必要性は、$A=X$ としてとれば明らかです．
十分性について．$X$ が連結でないとします．このとき、空ではない互いに素な開集合 $U,V$ が存在して $X=U\cup V$ となったとします．このとき、 $p\in U,q\in V$ をとります．この $p,q$ に対してこの2点を含む連結集合を $A$ とします．このとき、$B=A\cap U$, $C=A\cap V$ とすると、$B,C$ は $A$ が連結開集合であることに反することになります．（証明終了）

教科書では、背理法を用いずに証明されていますね．（系16.9）

互いに素な集合 $B,C$ のうち、次のような概念を定義します．

定義6
$B,C$ が$\text{Cl}(B)\cap C=\emptyset$ かつ $B\cap \text{Cl}(C)=\emptyset$ を満たすとき、$B,C$ は離れた集合という．

つまり、お互い、点列を取っても近づけないという関係です．互いに素だからと言って離れた集合とは限りません．$(0,1),[1,2]$ は互いに素ですが、離れてはいません．互いに素な開集合は離れた集合です．

このとき、次がなりたちます　　

定理7
位相空間 $X$ の部分集合 $A$  に対して、次が同値である．
(1) $A$ は連結
(2) $A=B\cup C$ となる任意の離れた集合 $B,C$ は $B=\emptyset$ もしくは $C=\emptyset$ である．
(3) $G,H$ を $A\subset G\cup H$ なる任意の離れた集合とする．このとき、$A\subset G$ もしくは $A\subset H$ となる．

 証明は、省略します．教科書の定理16.6です．
少し長くなったので続きはまた書きます．