[場所1E103（水曜日4限）]
HPに行く．
今日は
固有値、固有ベクトル
固有値、固有ベクトルというのは、初めての登場でしょうか．
ここでは、数ベクトル空間の場合にまずやります．
数ベクトル空間の固有、固有ベクトル
Aを n\times n 行列とします．
{\mathbb C}^n のゼロではないベクトル {\bf v} と複素数(一般にスカラー）\lambda が存在して、A{\bf v}=\lambda{\bf v} となるとき、
\lambda を固有値といい、{\bf v} を A の（\lambda に付随する）固有ベクトルといいます．
移項して考えれば、連立一次方程式
(\lambda E-A){\bf v}=0
を使って、\lambda {\bf v} を探すという問題になります．
ここまでの最重要ポイントは、{\bf v}\neq 0 ということです．
このことをお忘れなく．
\lambda,{\bf v} を探すのですが、(\lambda E-A){\bf v}=0 であることから、\lambda E-A は正則ではないことが分かります．
もし正則なら、\lambda E-A の逆行列を左からかけて、{\bf v}=0 となってしまうからです．
行列が正則ではないことの必要十分条件から、 \det(\lambda E-A)=0 がなりたちます．
この式の \lambda を t に変えて \lambda を求める式を書いたものを
\Phi_A(t)=\det(t E-A) とかき、A の固有多項式といいます．
つまり固有値は固有多項式の根になり、逆に固有多項式の根は、行列 A の固有値になります．
逆の方は \lambda が根とすれば、\det(\lambda E-A)=0 となるので、正則ではない行列から作られる連立一次方程式には、非自明解 (つまり {\bf v}\neq 0 となるベクトル) が存在します．
最後の主張は、線形代数をもうすぐ卒業となる人たちならもう証明できますね？
よって、\lambda は \Phi_A(t)=0 をとくことで求められます．\Phi_A(t) は n 次多項式です．
そして、\lambda に付随する固有ベクトル {\bf v}\neq 0 は連立一次方程式 (\lambda E-A){\bf v}=0 を解いて得られます．
固有空間
\lambda を行列 A の固有値とします．つまり、\det(\lambda E-A)=0 となる複素数です．
このとき、
W_\lambda=\{{\bf v}\in {\mathbb C}^n|(\lambda E-A){\bf v}={\bf 0}\}
なる空間を固有空間といいます．
この空間には、ゼロではないベクトルを含みますので、必ず次元は１以上あります．
つまり、\dim W_{\lambda}\ge 1 です．
授業中にも言いましたが、\lambda が固有値でなくても、W_\lambda が定義できますが、その場合 W_{\lambda} はゼロベクトルからなるゼロ次元ベクトル空間となります．
計算中 W_\lambda がゼロベクトルからなるものができるとすると、\lambda は固有値ではないか、W_\lambda を求めるところで計算間違いしたかどちらであり、このことは非常に分かりやすい検算方法といえるでしょう．
大抵の場合、一箇所計算ミスをすると \lambda E-A は正則になってしまいますから、たちまち W_\lambda はゼロベクトル空間になってしまいます．
固有値と固有空間が求まりましたので、数ベクトル空間での話は終わりです．
一般の線形変換の固有値、固有ベクトル
一般のベクトル空間 V の間の線形変換 F:V\to V に対しても固有値、固有ベクトルが定義できます．これは授業中でやったものです．
F({\bf w})=\lambda {\bf w} となる非ゼロベクトル {\bf v} を固有ベクトル、\lambda を固有値といいます．
同じように移項して、(\lambda I-F)({\bf w})=0 なる \lambda, {\bf w} を求めればよいです．
I は {\bf u}\mapsto {\bf u} となる恒等変換です．
このことから、{\bf w}\in \text{Ker}(\lambda I-F) となります．
一般のベクトル空間の核 (Ker) を求めるには、一度基底を使って
\lambda I-F を表現しておく必要があります．
F({\bf w}_1,\cdots, {\bf w}_n)=({\bf w}_1,\cdots, {\bf w}_n)A
と表現しておきます．授業中指摘されましたが、この左辺は
F({\bf w}_1,\cdots, {\bf w}_n)=(F({\bf w}_1),\cdots,F({\bf w}_n)) の意味です。
よって、\lambda I-F の表現行列は、
\lambda E-A となります．つまり、
(\lambda I-F)({\bf w}_1\cdots,{\bf w}_n)=({\bf w}_1\cdots,{\bf w}_n)(\lambda E-A)
です．
{\bf w}\in V を上の基底を使って表示したものを
{\bf w}=({\bf w}_1,\cdots, {\bf w}_n)\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} とします．
ここで、{\bf v}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} とします．
(\lambda I-F)({\bf w})=0 \Leftrightarrow (\lambda E-A){\bf v}=0
を以下証明します．
(\lambda I-F)({\bf w})=0 ならば、\sum_{i=1}^na_i(\lambda I-F)({\bf w}_i)=0 となり、(\lambda I-F)({\bf w}_1,\cdots, {\bf w}_n)\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}=({\bf w}_1,\cdots, {\bf w}_n)(\lambda E-A)\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}=0 となります．
今、{\bf w}_1,\cdots, {\bf w}_n は基底ですので、(\lambda E-A)\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}=0
がいえるわけです．この議論を逆に辿ることで、上の同値関係
(\lambda I-F)({\bf w})=0 \Leftrightarrow (\lambda E-A){\bf v}=0
がわかります．
よって、
\lambda\text{ が }F\text{ の固有値}\Leftrightarrow \lambda\text{ が }A\text{ の固有値}
もいえます．
つまり、F の固有値を計算するには、まず線形変換を行列で表現しておいてその行列を使って固有値、固有ベクトルを求め、もう一度基底をつかって戻すということになります．
基底をとったことによる不定性
基底はこちらで適当に選びました．そのことによる不定性はないのか？
という疑問がわくかもしれません．
このことは授業中にも述べたように大丈夫です．
意味としては、基底を別なものに取り替えたときに、固有値や固有ベクトルも別なものに取り替えられないのか？ということです．
基底を正則行列 P を使って ({\bf w}_1',\cdots, {\bf w}_n')=({\bf w}_1,\cdots, {\bf w}_n)P
のように変換したとき、F の表現行列は、P^{-1}AP となります．
あたらしく {\bf w}_1',\cdots, {\bf w}_n' を基底として F の固有値を求めるとすると、
\Phi_{P^{-1}AP}(t) を求めることになりますが、この多項式は \Phi_A(t) と一致することが
下のようにして直接分かります．
\Phi_{P^{-1}AP}(t)=\det(t I-P^{-1}AP)=\det(P^{-1}(tI-A)P) =\det(P^{-1})\det(tI-A)\det(P)=\det(P)\det(P^{-1})\det(tI-A) =\det(P^{-1}P)\det(tI-A)=\det(tI-A)=\Phi_A(t)
さらに、固有空間も一致することが証明できますが、ここでは省略します．
また、具体例は授業中に述べたのでここでは省略します．
宿題の健闘を祈ります．
訂正
前回の宿題において、B-11-2 がヒントと書きましたが、B-11-2 は間違っておりました．
手習い塾で指摘されました．
正確には (y_1,\cdots,y_n)=(w_1,\cdots, w_n)P^{-1} であることを示せということです．
HPに行く．
今日は
- 固有値、固有ベクトル
- 固有空間
固有値、固有ベクトル
固有値、固有ベクトルというのは、初めての登場でしょうか．
ここでは、数ベクトル空間の場合にまずやります．
数ベクトル空間の固有、固有ベクトル
Aを n\times n 行列とします．
{\mathbb C}^n のゼロではないベクトル {\bf v} と複素数(一般にスカラー）\lambda が存在して、A{\bf v}=\lambda{\bf v} となるとき、
\lambda を固有値といい、{\bf v} を A の（\lambda に付随する）固有ベクトルといいます．
移項して考えれば、連立一次方程式
(\lambda E-A){\bf v}=0
を使って、\lambda {\bf v} を探すという問題になります．
ここまでの最重要ポイントは、{\bf v}\neq 0 ということです．
このことをお忘れなく．
\lambda,{\bf v} を探すのですが、(\lambda E-A){\bf v}=0 であることから、\lambda E-A は正則ではないことが分かります．
もし正則なら、\lambda E-A の逆行列を左からかけて、{\bf v}=0 となってしまうからです．
行列が正則ではないことの必要十分条件から、 \det(\lambda E-A)=0 がなりたちます．
この式の \lambda を t に変えて \lambda を求める式を書いたものを
\Phi_A(t)=\det(t E-A) とかき、A の固有多項式といいます．
つまり固有値は固有多項式の根になり、逆に固有多項式の根は、行列 A の固有値になります．
逆の方は \lambda が根とすれば、\det(\lambda E-A)=0 となるので、正則ではない行列から作られる連立一次方程式には、非自明解 (つまり {\bf v}\neq 0 となるベクトル) が存在します．
最後の主張は、線形代数をもうすぐ卒業となる人たちならもう証明できますね？
よって、\lambda は \Phi_A(t)=0 をとくことで求められます．\Phi_A(t) は n 次多項式です．
そして、\lambda に付随する固有ベクトル {\bf v}\neq 0 は連立一次方程式 (\lambda E-A){\bf v}=0 を解いて得られます．
固有空間
\lambda を行列 A の固有値とします．つまり、\det(\lambda E-A)=0 となる複素数です．
このとき、
W_\lambda=\{{\bf v}\in {\mathbb C}^n|(\lambda E-A){\bf v}={\bf 0}\}
なる空間を固有空間といいます．
この空間には、ゼロではないベクトルを含みますので、必ず次元は１以上あります．
つまり、\dim W_{\lambda}\ge 1 です．
授業中にも言いましたが、\lambda が固有値でなくても、W_\lambda が定義できますが、その場合 W_{\lambda} はゼロベクトルからなるゼロ次元ベクトル空間となります．
計算中 W_\lambda がゼロベクトルからなるものができるとすると、\lambda は固有値ではないか、W_\lambda を求めるところで計算間違いしたかどちらであり、このことは非常に分かりやすい検算方法といえるでしょう．
大抵の場合、一箇所計算ミスをすると \lambda E-A は正則になってしまいますから、たちまち W_\lambda はゼロベクトル空間になってしまいます．
固有値と固有空間が求まりましたので、数ベクトル空間での話は終わりです．
一般の線形変換の固有値、固有ベクトル
一般のベクトル空間 V の間の線形変換 F:V\to V に対しても固有値、固有ベクトルが定義できます．これは授業中でやったものです．
F({\bf w})=\lambda {\bf w} となる非ゼロベクトル {\bf v} を固有ベクトル、\lambda を固有値といいます．
同じように移項して、(\lambda I-F)({\bf w})=0 なる \lambda, {\bf w} を求めればよいです．
I は {\bf u}\mapsto {\bf u} となる恒等変換です．
このことから、{\bf w}\in \text{Ker}(\lambda I-F) となります．
一般のベクトル空間の核 (Ker) を求めるには、一度基底を使って
\lambda I-F を表現しておく必要があります．
F({\bf w}_1,\cdots, {\bf w}_n)=({\bf w}_1,\cdots, {\bf w}_n)A
と表現しておきます．授業中指摘されましたが、この左辺は
F({\bf w}_1,\cdots, {\bf w}_n)=(F({\bf w}_1),\cdots,F({\bf w}_n)) の意味です。
よって、\lambda I-F の表現行列は、
\lambda E-A となります．つまり、
(\lambda I-F)({\bf w}_1\cdots,{\bf w}_n)=({\bf w}_1\cdots,{\bf w}_n)(\lambda E-A)
です．
{\bf w}\in V を上の基底を使って表示したものを
{\bf w}=({\bf w}_1,\cdots, {\bf w}_n)\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} とします．
ここで、{\bf v}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} とします．
(\lambda I-F)({\bf w})=0 \Leftrightarrow (\lambda E-A){\bf v}=0
を以下証明します．
(\lambda I-F)({\bf w})=0 ならば、\sum_{i=1}^na_i(\lambda I-F)({\bf w}_i)=0 となり、(\lambda I-F)({\bf w}_1,\cdots, {\bf w}_n)\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}=({\bf w}_1,\cdots, {\bf w}_n)(\lambda E-A)\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}=0 となります．
今、{\bf w}_1,\cdots, {\bf w}_n は基底ですので、(\lambda E-A)\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}=0
がいえるわけです．この議論を逆に辿ることで、上の同値関係
(\lambda I-F)({\bf w})=0 \Leftrightarrow (\lambda E-A){\bf v}=0
がわかります．
よって、
\lambda\text{ が }F\text{ の固有値}\Leftrightarrow \lambda\text{ が }A\text{ の固有値}
もいえます．
つまり、F の固有値を計算するには、まず線形変換を行列で表現しておいてその行列を使って固有値、固有ベクトルを求め、もう一度基底をつかって戻すということになります．
基底をとったことによる不定性
基底はこちらで適当に選びました．そのことによる不定性はないのか？
という疑問がわくかもしれません．
このことは授業中にも述べたように大丈夫です．
意味としては、基底を別なものに取り替えたときに、固有値や固有ベクトルも別なものに取り替えられないのか？ということです．
基底を正則行列 P を使って ({\bf w}_1',\cdots, {\bf w}_n')=({\bf w}_1,\cdots, {\bf w}_n)P
のように変換したとき、F の表現行列は、P^{-1}AP となります．
あたらしく {\bf w}_1',\cdots, {\bf w}_n' を基底として F の固有値を求めるとすると、
\Phi_{P^{-1}AP}(t) を求めることになりますが、この多項式は \Phi_A(t) と一致することが
下のようにして直接分かります．
\Phi_{P^{-1}AP}(t)=\det(t I-P^{-1}AP)=\det(P^{-1}(tI-A)P) =\det(P^{-1})\det(tI-A)\det(P)=\det(P)\det(P^{-1})\det(tI-A) =\det(P^{-1}P)\det(tI-A)=\det(tI-A)=\Phi_A(t)
さらに、固有空間も一致することが証明できますが、ここでは省略します．
また、具体例は授業中に述べたのでここでは省略します．
宿題の健闘を祈ります．
訂正
前回の宿題において、B-11-2 がヒントと書きましたが、B-11-2 は間違っておりました．
手習い塾で指摘されました．
正確には (y_1,\cdots,y_n)=(w_1,\cdots, w_n)P^{-1} であることを示せということです．
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