微積分II演習(第11回)

[場所1E103（金曜日5限）]

配布プリント

HPに行く．

今日は、

• n次元球体の体積
• グリーンの公式
• 平面上の領域の面積

についてやりました．

n次元球の体積

n次元球体の体積ですが、高木貞治の解析概論(P393)に基づいて一般化した、

$$V_{\alpha,n}(r)=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in {\mathbb R}^n||x_1|^{\alpha}+|x_2|^{\alpha}+\cdots+|x_n|^{\alpha}\le r^{\alpha}\}$$

なる領域の体積を求めました．$\alpha=2$ の場合が普通の球体の体積ということになります．

そのために、宿題の公式を使います．以下の条件を満たす $n$ 次元四面体領域 $\Delta_n$ 

を $x_1,x_2,\cdots,x_n\ge 0$ かつ $x_1+x_2+\cdots+x_n\le 1$ を満たす領域とすると、

公式
$\Delta_n$ において
$$\int\int_\cdots\int_{\Delta_n}x_1^{s_1-1}x_2^{s_2-1}\cdots x_{n}^{s_{n}-1}(1-x_1-x_2\cdots-x_{n})^{s_{n+1}-1}dx_1\cdots dx_{n}=\frac{\Gamma(s_1)\Gamma(s_2)\cdots \Gamma(s_{n+1})}{\Gamma(s_1+s_2+\cdots+s_{n+1})}$$
が成り立ちます．


この公式を用いて、上のように n次元球体を一般化した図形 $V_{\alpha,n}(r)$ の
体積を求めます．

$V_{\alpha,n}(r)$ の体積を $|V_{\alpha,n}(r)|$ とします．
$D$ を $V_{\alpha,n-1}(r)$ の $x_1,x_2\cdots x_{n-1}\ge 0$ の部分とすると、
$$|V_{\alpha,n}(r)|=2^n\int\int\cdots\int_D(r^\alpha-|x_1|^\alpha-|x_2|^\alpha-\cdots-|x_{n-1}|^\alpha)^{\frac{1}{\alpha}}dx_1dx_2\cdots dx_{n-1}$$
となり、$X_i=|\frac{x_i}{r}|^\alpha$ と変数変換すると、$X_1,X_2,\cdots,X_{n-1}\ge 0$ なる領域においてヤコビアンは、
$\frac{\partial (x_1,\cdots,x_{n-1})}{\partial(X_1,X_2,\cdots,X_{n-1})}=\det\begin{pmatrix}r\frac{1}{\alpha}X_1^{\frac{1}{\alpha}-1}&0&\cdots&0\\0&r\frac{1}{\alpha}X_2^{\frac{1}{\alpha}-1}&\cdots&0\\0&\cdots&\cdots&0\\0&\cdots&0&r\frac{1}{\alpha}X_{n-1}^{\frac{1}{\alpha}-1}\end{pmatrix}=(\frac{r}{\alpha})^{n-1}(X_1\cdots X_{n-1})^{\frac{1}{\alpha}-1}$
となり、$V_{\alpha,n}(r)$ の値は

$$|V_{\alpha,n}(r)|=2^n\int\int\cdots\int_D(r^\alpha-|x_1|^\alpha-|x_2|^\alpha-\cdots-|x_{n-1}|^\alpha)^{\frac{1}{\alpha}}dx_1dx_2\cdots dx_{n-1}$$
$$=2^n\int\int\cdots\int_{\Delta_{n-1}}r(1-X_1-X_2-\cdots X_{n-1})^{\frac{1}{\alpha}}(\frac{r}{\alpha})^{n-1}(X_1\cdots X_{n-1})^{\frac{1}{\alpha}-1}dX_1dX_2\cdots dX_{n-1}$$

$$=\frac{(2r)^n}{\alpha^{n-1}}\int\cdots\int_{\Delta_{n-1}}X_1^{\frac{1}{\alpha}-1}X_2^{\frac{1}{\alpha}-1}\cdots X_{n-1}^{\frac{1}{\alpha}-1}(1-X_1-\cdots-X_{n-1})^{\frac{1}{\alpha}}dX_1dX_2\cdots dX_{n-1}$$

$$=\frac{(2r)^{n}}{\alpha^{n-1}}\frac{\Gamma(\frac{1}{\alpha})\Gamma(\frac{1}{\alpha})\cdots\Gamma(\frac{1}{\alpha}+1)}{\Gamma(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\alpha}+\cdots+\frac{1}{\alpha}+1)}=\frac{(2r)^{n}}{\alpha^{n}}\frac{\Gamma(\frac{1}{\alpha})^{n}}{\frac{n}{\alpha}\Gamma(\frac{n}{\alpha})}=\frac{(2r)^{n}}{n\alpha^{n-1}}\frac{\Gamma(\frac{1}{\alpha})^n}{\Gamma(\frac{n}{\alpha})}$$

よって、n次元球体の体積は、
$$|V_{2,n}(r)|=\frac{(2r)^n}{n2^{n-1}}\frac{\sqrt{\pi}^n}{\Gamma(\frac{n}{2})}=\frac{2r^n}{n}\frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma(\frac{n}{2})}=\begin{cases}\frac{\pi^{\frac{n}{2}}2^{\frac{n}{2}}}{2\cdot 4\cdot 6\cdots n}r^n&n\text{が偶数}\\\frac{\pi^{\frac{n-1}{2}}2^{\frac{n+1}{2}}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots n}&n\text{が奇数}\end{cases}$$

となります．他にも、アステロイドの内部の面積は、$n=2$, $\alpha=\frac{2}{3}$ とすればよく、
$$V_{\frac{2}{3},2}(r)=\frac{(2r)^2}{\frac{4}{3}}\frac{\Gamma(\frac{3}{2})^2}{\Gamma(3)}=\frac{3\pi}{8}r^2$$
となります．

線積分とグリーンの定理

線積分とは、平面上の曲線 $C$ に沿って、$P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ を積分することで、
$$\int_C(P(x,y)dx+Q(x,y)dy)$$
とかきます．計算の仕方は、曲線 $C$ のパラメータ表示 $C=C(t)\ \ (t_0\le t\le t_1)$ を用意して、
$C(t)=(x(t),y(t))$ とすると、
$$\int_{t_0}^{t_1}\left(P(x(t),y(t))\frac{dx(t)}{dt}+Q(x(t),y(t))\frac{dy(t)}{dt}\right)dt$$
として計算します．この計算結果は、パラメータ表示の取り方に依らないので、曲線 $C$ と　$P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ にしかよりません．
この、関数 $P,Q$ も $C$ において定義されていればよく、平面全体の関数である必要はありません．

グリーンの定理（公式）
$C$ を交わらない閉曲線とする(始点と終点が一致する)．その内部を $D$ とする．
$P(x,y),Q(x,y)$ が $D$ 上で定義された関数だとすると、
$$\int_C(P(x,y)dx+Q(x,y)dy)=\int\int_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$
と計算される．

この定理により、平面上の閉曲線上の線積分は、その内部の重積分として計算することができることがわかります．

平面上の領域 $D$ においてその境界を $C$ とすると
$D$ の面積を $S(D)$ としてグリーンの定理を用いると
$$S(D)=\int_Ddxdy=\int_D(1-0)dxdy=\int_Cxdy$$
$$S(D)=\int_D\left(\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})\right)dxdy=\frac{1}{2}\int_C(xdy-ydx)$$
として線積分によって計算をすることができます．