トポロジー入門演習(第10回) (ヒント集5)

[場所1E103（月曜日4限）]

配布プリント

HPに行く．

$A$ を ${\mathbb R}$ の部分集合のとき、$A\times (0,1]$ の辞書式順序によって定義される順序位相によって得られる位相空間についての問題がありました．

Lynn Arthur Steen & J. Arthur Seebach, Jr のCounterexamples in Topology には

$[0,1]\times [0,1]$ に辞書式順序(lexicographic ordering)を入れたもの
の順序位相について書いて有りますのでそちらを参考にしてください．

順序位相について

集合 $X$ 上の順序位相とは
任意の点 $x$ の近傍を $x\in (a,b)$ となる $a,b\in X$ をとります．
ここで、 $(a,b)=\{y\in X|a<y<b\}$ なる部分集合のこととします．
ここで、$a,b$ は $X$ に入らない理想元 $\infty$ もしくは $-\infty$ をとってもよいです．
ただし、$\infty $ は $X$ の任意の元よい大きい元とし、$-\infty$ は $X$ の任意の元より小さい元とする．

例えば、${\mathbb R}$ に普通の実数の順序を入れた位相は、通常の ${\mathbb R}$ 上の距離位相と同値になります．



第8回で残っている問題

問題79
つぎの条件は同値であることを示せ．
(1) $X\to Y$ は連続である．
(2) 任意の $B\subset Y$ に対して $f^{-1}(\text{Int}(B))\subset\text{Int}(f^{-1}(B))$．
(3) 任意の $B\subset Y$ に対して $f^{-1}(\text{Cl}(B))\supset\text{Cl}(f^{-1}(B))$．

(略解答)

(1)から(2)

$f^{-1}(\text{Int}(B))\subset(f^{-1}(B))$

は開集合であり、$\text{Int}(f^{-1}(B))$ は $f^{-1}(B)$ の中の最大の開集合であること．

(2)から(3) $f^{-1}(\text{Int}(Y-B))\subset\text{Int}(f^{-1}(Y-B))$ より、
$f^{-1}(X-\text{Cl}(B))\subset \text{Int}(X-f^{-1}(B))=X-\text{Cl}(B)$ となる．

(3)から(1) 閉集合の逆像が閉集合であることを示せ．

問題82

$f : X \to Y$ が連続ならば、$X$ の任意の収束点列 $\{x_n\}$ に対し、$\{f(x_n)\}$ は $Y$ の収束点列となることを証 明せよ. 

問題83
$X$を非可算集合とする．
$x_0\in  X$に対して、$x_0$の近傍を$x_0\in U$となる$U\subset X$であり、
$X-U$が可算集合となるものだけを考える．
また、$x\neq x_0$なる$x\in X$においては、$\{x\}$だけを近傍とする．

このような近傍系をとると、$X$上に位相を定義できることを示せ．

(ヒント)
位相の条件を満足することを示せ．


問題84
上のような位相空間$X$において、$A=X-\{x_0\}$は$x_0$の集積点であるが、

$x_0$とは異なる点よりなる点列$\{a_n\}$は決して$x_0$に収束しないことを示せ．

(ヒント)

点列 $\{a_n\}$ が $a$ に収束すると は、$a$ の任意の近傍に対して、ある $N$ が存在して、点列 $\{a_n\}$ の $\{a_n|n>n\}$ がすべて含まれることをいう．

$x_0$ の近傍で、$x_0$ とは違う点列 $\{a_n\}$ が一つも含まれないものを構成することで示される．

問題85
$X$を上のように定義された位相空間とする．$Y$を$X$上に離散位相を与えた位相空間とする．$f:X\to Y$を恒等写像とする．

この$f$は、この３つ前の問題の逆は成り立っているといえるか？

(略解答)

$X$ 上のすべての収束点列は、離散位相の収束点列と同じであることを証明せよ．また、恒等写像が連続でないことを示せ．

問題87

$f:X\to Y$ が閉写像であるためには、$X$ の任意の開集合$U$に対し、$\{y\in Y|f^{-1}(y)\subset U\}$ が $Y$ の開集合となることが必要十分であることを証明せよ．

(ヒント)
$\{y\in Y|f^{-1}(y)\subset U\}$ は $f(X-U)$ と一致することを示せ．

問題88
$f:X\to Y$は全射、$\varphi:X\to I=[0,1]$ を連続写像とする．写像 $\psi:Y\to I$を$\psi(y)=\text{inf}\{\varphi(x)|x\in f^{-1}(y)\}$ で定めると、

$f$が開写像ならば、$\psi^{-1}([0,r))$は$Y$の開集合．

を示せ．

(ヒント)
$\psi^{-1}([0,r))$ は $f(\varphi^{-1}([0,r)))$ を示せ．


問題89
$f:X\to Y$は全射、$\varphi:X\to I=[0,1]$ を連続写像とする．写像$\psi:Y\to I$を$\psi(y)=\text{inf}\{\varphi(x)|x\in f^{-1}(y)\}$で定めると、

$f$が閉写像ならば、$\psi^{-1}((r,1])$は$Y$の開集合．

を示せ．


問題90
$f:X\to Y$は全射、$\varphi:X\to I=[0,1]$は連続写像とする．写像$\psi:Y\to I$を$\psi(y)=\text{inf}\{\varphi(x)|x\in f^{-1}(y)\}$で定めると、

$f$が開写像かつ閉写像ならば、$\psi$は連続．

を示せ．

(略解答)
問題89と90と119を使え．

問題91
写像$f:(X,\rho)\to (Y,\rho')$が、$\rho'(f(x),f(x'))=\rho(x,x')$（$x,x'\in X$）を満たすならば、$f$は埋蔵写像となることを示せ．

(略解答)
距離空間の連続性の定義を使って $f$ の連続性を示す．
この性質から単射であることはすぐに導かれる．
また、$X\to f(X)$ が連続かつ開写像であることを示す必要がある．

問題92
$a\in I$に対し、$f_a\in C(I)$を$f_a(t)=a\ (t\in I)$と定めたとき、$\varphi:I\to (C(I),d);\varphi:a\mapsto f_a$は埋蔵となることを示せ．

(ヒント)
定数関数全体が $C(I)$ において $I$ と同相であることを示す問題．
単射連続であることはすぐわかる．$I\to \varphi(I)$ が同相であることを示す．