微積分I演習(物理学類)(第3回)

[場所1E103（金曜日5限）]

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今日は

• 逆三角関数
• 双曲線関数
• 逆双曲線関数
• 不等式

についてやりました。

小テストについてまとめておきます。

集合の上限を求める問題、不等式を作る問題を作りました。

結果は、頑張って挑んでもらった結果、あまりよくありませんでした。

最初は $\sqrt{1-\frac{1}{n}}$ の上限が $1$ であることを求める問題でした。

やることは、$1$ が上界であり、1よりちいさい任意の $s$ が

上界でないことを示すことです。

1が上界であることは、$\sqrt{1-\frac{1}{n}}<1$ であることからわかりますが、

$\forall s<1$ が上界でないことは、$s<1$ において、$s<\sqrt{1-\frac{1}{n}}$ となる

実数が存在することを示すことになります。

$s<\sqrt{1-\frac{1}{n}}$ を満たす条件は、$\frac{1}{1-s^2}<n$ ですが、

このような $n$ の存在はアルキメデスの原理です。

$s\le 0$ となる $s$ は明らかに $s$ は $E$ の上界ではありません。

次に、$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}$ の有界性の問題です。

このような無限級数の有界性はよく知っている無限級数に帰着させることでうまくいきます。

この場合は、

$n>3$ のとき、$\frac{1}{n!}<\frac{1}{2^n}$ が成り立ちます。

よって、

$\sum_{n=0}^m\frac{1}{n!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\sum_{n=4}^m\frac{1}{n!}<\frac{8}{3}+\sum_{n=4}^m\frac{1}{2^n}=\frac{19}{24}+\sum_{n=0}^m\frac{1}{2^n}=\frac{19}{24}+2(1-(\frac{1}{2})^{m+1}<\frac{19}{24}+2$

実際、この無限級数の和は自然対数 $e$ になりますが、この授業が全て

終わった頃には、それはほとんどの学生が理解できていると思います。

最後の問題は、不等式 $\frac{{}_nC_k}{n^k}<\frac{{}_{n+1}C_k}{(n+1)^k}$ の証明です。

これは分母と分子を別々にみてもよくわかりません。

$n$ を $n+1$ に変えて大きくなる表示に持っていくことが必要です。

$\frac{{}_nC_k}{n^k}=(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})$ ですが、

この $n$ を $n+1$ に直すと、大きくなりますので、

$\frac{{}_nC_k}{n^k}<(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{k-1}{n+1})$ となり、

この右辺は、$\frac{{}_{n+1}C_k}{(n+1)^k}$ となります。

逆三角関数

三角関数 $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=\tan x$ に対して、その逆関数を

$y=\text{Arcsin}(x)$, $y=\text{Arccos}(x)$, $y=\text{Arctan}(x)$

とします。この関数の定義域は前半２つは $-1$ から $1$ ですが、

$\text{Arctan}(x)$ は実数全体です。

また、三角関数が周期関数であるので、三角関数の単調な部分を持ってきて、

逆関数をつくるとき、どの部分を持ってくるのかは一般にする方法はありませんが、

三角関数の場合には、教科書にあるようにいつも同じ方法で持ってきます。

$\text{Arcsin}(x)$ の値域は、$-\frac{\pi}{2}\le y\le \frac{\pi}{2}$ のもの。

$\text{Arccos}(x)$ の値域は、$0\le y\le \pi$  のもの。

$\text{Arctan}(x)$ は、$\tan(x)$ の$-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ の部分の逆関数を

とります。

今日は、この逆三角関数を使って演習を行いました。

(例) $\text{Arcsin}(x)=\text{Arccos}(2x)$ となる $x$ を求めます。

この両辺を $y$ とおくと、$\sin y=x$ かつ $\cos y=2x$ です。

ここで、$y$ を消去すると、$x^2+4x^2=1$ となります。

よって、$x=\pm\frac{1}{\sqrt{5}}$ となります。

ここで、$\text{Arcsin}(\pm\frac{1}{\sqrt{5}})=\pm\text{Arcsin}(\frac{1}{\sqrt{5}})$

ですが、$\text{Arccos}(x)$ の値域は正の数なので、$x=\frac{1}{\sqrt{5}}$ となります。

双曲線関数

双曲線関数を、$\sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}, \cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ $\tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$ 

と定義します。

またこの関数の逆関数は逆双曲線関数といい、

$\text{Arsinh}(x), \text{Arcosh}(x), \text{Artanh}(x)$ と書きます。

本によって $\text{Arcsinh}(x)$ などと書く場合もありますが、

今回は c を抜かした表記に統一しました。

これらの関数は、

$\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$ や $1-\tanh^2(x)=\frac{1}{\cosh^2(x)}$ が成り立ちます。

これらの関数は三角関数と似た形の式が満たされています。

逆双曲線関数

双曲線関数の逆関数は逆双曲線関数といいます。

それらは、$\text{Arsinh}(x)$  $\text{Arcosh}(x)$, $\text{Artanh}(x)$ と書きます。

これらの逆関数を使って問題を解いてもらいました。

(例)次の関数を簡単にしなさい。

$\tanh(2\text{Arsinh}(\frac{x}{2}))$ 

(解答) 

$y=\text{Arsinh}(\frac{x}{2})$ とます。

このとき、$\sinh(y)=\frac{x}{2}$ となります。

$\tanh(y)=\frac{\sinh(y)}{\cosh(y)}=\frac{\sinh(y)}{\sqrt{1+\sinh^2(y)}}=\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{1+\frac{x^2}{4}}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}$

$\tanh(2y)=\frac{2\tanh(y)}{1+\tanh^2(y)}=\frac{2\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{1+\left(\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}\right)^2}=\frac{\frac{2x}{\sqrt{4+x^2}}}{1+\frac{x^2}{4+x^2}}=\frac{2x\sqrt{4+x^2}}{(4+x^2)+x^2}$

$=\frac{x\sqrt{4+x^2}}{2+x^2}$

となります。

不等式

不等式の処理の仕方について教えました。

上に書いたような方法では、

$n>3$ のとき、

$n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1>2\cdot 2\cdot 2\cdots 2\cdot 2=2^n$

などがありました。

しかし、授業でも言ったように、この不等式では、

$\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}\to 0$ であることは、示されません。

これは、微積分Iが終わる頃には、収束半径の公式(をもし勉強すれば)すぐわかるのですが、

今の段階ではこの説明はできません。

次のような不等式の処理ではこんな解答もあり得ます。

$\sqrt[n]{n!}$ がいくらでも大きくなることを示します。

つまり、$M$ を十分大きい任意の実数とし、$n$ を十分大きい任意の整数として、
$\sqrt[n]{n!}>M$ とできることを示します。

例えば、1より大きい任意の $M$ に対して $\frac{n}{2}>M^2$ となる $n$ を任意に
とります。

このとき、$n$ が偶数なら

$$n!=n(n-1)\cdots (\frac{n}{2}+1)\frac{n}2\cdots 2\cdot 1>n(n-1)\cdots (\frac{n}{2}+1)$$

$$>M^2\cdot M^2\cdots M^2=M^n$$

となる。よって、$\sqrt[n]{n!}>M$ となる。

$n$が奇数なら

$$n!=n(n-1)\cdots \frac{n+1}{2}(\frac{n-1}2-1)\cdots 2\cdot 1>n(n-1)\cdots \frac{n+1}{2}$$

$$>M^2\cdot M^2\cdots M^2=M^{n+1}>M^n$$

どちらにしても、$\sqrt[n]{n!}>M$ がいえます。