トポロジー入門演習(第12回)

[場所1E103（月曜日4限）]

HPに行く．

コンパクト開位相

位相空間 $X,Y$ において、連続写像 $X\to Y$ のなす集合を $C(X,Y)$ とかきます．
$C(X,Y)$ は集合ですので、この集合上に位相を導入し、空間とすることができます．
$Y$ が距離空間である場合は、$C(X,Y)$ は一様収束位相という位相をいれることができますが、そうではない場合、位相の入れるために一工夫する必要があります．

$X$ の部分集合 $A$, $Y$ の部分集合 $B$ に対して、
$$W(A,B)=\{f\in C(X,Y)| f(A)\subset B\}$$
と定義します．

$A$ をコンパクト、 $B$ を開集合となる、$W(A,B)$ を準開基とする位相、
つまりそのような $W(A,B)$ によって生成される位相を
$C(X,Y)$ 上のコンパクト開位相といいます．
このようにすると、$Y$ に距離を入れなくても位相を導入することができ、
“ある意味”、$C(X,Y)$ 上の一様収束位相の代わりと言えるものができます．

$C(X,Y)$ の部分集合 $H$ にそのような位相を制限してできる相対位相も
$H$ のコンパクト開位相といいます．

$H\subset C(X,Y)$ を部分集合とします．このとき、
$\Phi_H:H\times X\to Y$ を $(f,x)=f(x)$ となる写像とします．

ある空間の位相 $\mathcal{O}_1, \mathcal{O}_2$ に対して $\mathcal{O}_1$ より $\mathcal{O}_2$ の方が大きいとは、単に $\mathcal{O}_1\subset \mathcal{O}_2$ であることを意味し、
論理の上では $\mathcal{O}_1=\mathcal{O}_2$ となることもありえますので、
日本語の言葉にひきずられないようにしてください．

このとき、以下が成り立ちます．

定理
(1)  $\Phi_H$ が連続であるなら、$H$ の上の位相はコンパクト開位相を必ず含む．
つまり、$\Phi_H$ を連続にするためには $H$ 上の位相はコンパクト開位相より大きい．
(2) $X$ が局所コンパクトハウスドルフならば、$H$ がコンパクト開位相で
あれば $\Phi_H$ は連続となる．

要するに、コンパクト開位相とは、$\Phi_H$ を連続にするためには必ず必要であるが、
$X$ が局所コンパクトハウスドルフならそれだけで十分 $\Phi_H$ の連続性がいえるということです．

分離公理に関して以下の定理もあります．ここで、$C(X,Y)$ にはコンパクト開位相
を入れておきます．

定理
(1) $Y$ がハウスドルフならば、$C(X,Y)$ もハウスドルフ
(2) $Y$ が $T_3$ 空間ならば、$C(X,Y)$ も $T_3$ 空間

(1) の証明は、よく考えれば証明もすぐできそうですが、(2) は $T_3$ との同値条件
「任意の近傍 $N$ に対して $\bar{V}\subset N$ となる閉近傍 $\bar{V}$ を含む」
に言い換えて行うとよいです．例えば、参考文献をみよ．


連続関数のなす集合 $C(X)$ に入る位相として、一様収束位相と
コンパクト開位相がありますが、両者を比べると、以下のようになります．

定理
(1) $C(X)$ 上の一様収束位相はコンパクト開位相より大きい．
(2) コンパクト空間 $X$ では、$C(X)$ の一様収束位相とコンパクト開位相は一致する．

(1) の主張は、 $Ｘ$ 上の任意のコンパクト集合 $K$ と ${\mathbb R}$ 上の任意の開集合 $U$
に対して、$W(K,U)$ が一様収束位相に関して開集合であるということです．
(2) はコンパクトであれば、その逆も成り立つということです．

つまり、コンパクト開位相は、ごくありふれた写像空間の位相ということになります．
しかし、$X$ がコンパクトではない場合、一般的に $C(X)$ は一様収束位相よりは
真にちいさい位相であり、場面によっては注意が必要ということになります．


参考文献

• 内田伏一、集合と位相、 裳華房(数学シリーズ)