[場所1E103（月曜日4限）]
HPに行く．
一様収束位相
$X$ を位相空間とし、$C(X)$ を $X$ 上の実数値もしくは複素数値連続関数全体のなす距離空間とします．
$C(X)$ 上の一様収束位相とは、$f,g\in C(X)$ に対して、
$$\delta(f,g)=\sup\{|f(x)-g(x)||x\in X\}$$
を定義し、$|f(x)-g(x)|$ が $x$ の値を変えると、どこまでも大きくなる場合、
$\delta(f,g)=\infty$ とします．
$f,g\in C(X)$ に対して、$\delta(f,g)<\infty$ となる場合
(例えば、$X$ がコンパクトである場合)
$\delta$ は $C(X)$ の距離となり、一様収束位相といいます．
この位相は、 $C(X)$ 上に完備距離空間を与えます．
$\{f_n\}$ を基本列(コーシー列)とします．
$f(x)=\lim_{x\to \infty}f(x)$ として定義すると、
$f(x)$ は、$\{f_n\}$ の収束先であり、連続関数となります．
なので、この位相に関して、$C(X)$ は完備距離空間ということになります．
$C(X)$は位相空間だけでなく、線形空間として、や環の構造を持ちます．
バナッハ環
定義(バナッハ環)
$R$ が実数、もしくは、複素数上の結合的多元環(もしくは結合代数)であるとする．
つまり、$x,y,z\in R$ かつ $\lambda\in {\mathbb R},{\mathbb C}$ とするとき、
$(xy)z=x(yz)$, $x(y+z)=xy+xz$, $(x+y)z=xy+yz$, $\lambda(xy)=(\lambda x)y=x(\lambda y)$ を満たすとする．
また、$R$ は完備なノルム(通常バナッハ空間という)、$||\cdot||$ が存在するとする．
つまり, $x\in R$ に対して、
$||x||\ge 0$ かつ、$||x||=0$ なら、$x=0$ である．
$||\lambda x||=|\lambda|\cdot ||x||$ 、$||x+y||\le ||x||+||y||$ が成り立つ．
このとき、
$$||xy||\le ||x||\cdot||y||$$
が成り立つ．
つまり、バナッハ環とは、実数、複素数上の結合代数がバナッハ空間であるとき、
$||xy||\le ||x||\cdot||y||$ を満たすものと言っても良いです．
一般に、バナッハ環は可換とは限りません．
また、$R$ が複素数体上のバナッハ環とします．
$R$ に、$\ast$ という対合写像(i.e., $\ast :R\to R$ があり、$\ast^2=1$ となるもの)が存在し、
$||a^\ast||=||a||$ と、$(ab)^\ast=b^\ast a^\ast$ が成り立つ時、バナッハ$\ast$-環といい、
さらに、$||a^\ast a||=||a||^2$ が成り立つとき、$R$ を$C^\ast$環といいます．
$C^\ast$環は、現在、解析学の作用素環という分野の中心的研究分野です．
私は専門では有りませんので、詳しいことはここでは書けませんが....
下の意味で、$C^\ast$環は位相空間の代数化と見做すことができます．
局所コンパクト空間の複素数値連続関数環(無限遠で $0$ に収束するような空間)は自然に$C^\ast$環となりますが、
以下のように逆も成り立ちます．
定理(Gel'fand)
可換$C^\ast$環は、ある局所コンパクト空間の連続関数環となる．
ようするに、可換$C^\ast$環の研究は、局所コンパクト空間の研究と一致すると
言えます．ただ、その手法は位相空間そのものではなく、環上の解析学となります．
また、$C^\ast$環も非可換なものが存在しますが、その環に対してどのような空間が
対応するのか？ということを考える分野は非可換幾何と言われています．
上のGel’fandの定理の証明の中で重要なのは下の、ストーン-ワイエルシュトラスの定理です．
ここで証明をするのは大変なので、定理だけ述べておきます．
定理(ストーン-ワイエルシュトラス)
$X$ をコンパクト空間とし、$S$ を $X$ 上の連続関数全体 $C(X)$ の部分多元環とする．
このとき、$S$ が以下の2つを満たすなら $S$ は $C(X)$ の中で稠密でである．
(1) $S$ は $X$ の任意の 2 点を分離する．つまり、$X$ の相異なる任意の 2 点 $x, y$ に対して、$f(x)\neq f(y)$ を満たすような $f\in C(X)$ が存在する．
(2) $S$ は $X$ の各点で消滅しない．つまり、$X$ の任意の $x$ に対して、ある、$f\in C(X)$ が存在して、$f(x)\neq 0$ となる．
この定理は、解析学でよく知られている、連続関数の多項式近似定理(ワイエルシュトラス)
の一般化といえます．
HPに行く．
一様収束位相
$X$ を位相空間とし、$C(X)$ を $X$ 上の実数値もしくは複素数値連続関数全体のなす距離空間とします．
$C(X)$ 上の一様収束位相とは、$f,g\in C(X)$ に対して、
$$\delta(f,g)=\sup\{|f(x)-g(x)||x\in X\}$$
を定義し、$|f(x)-g(x)|$ が $x$ の値を変えると、どこまでも大きくなる場合、
$\delta(f,g)=\infty$ とします．
$f,g\in C(X)$ に対して、$\delta(f,g)<\infty$ となる場合
(例えば、$X$ がコンパクトである場合)
$\delta$ は $C(X)$ の距離となり、一様収束位相といいます．
この位相は、 $C(X)$ 上に完備距離空間を与えます．
$\{f_n\}$ を基本列(コーシー列)とします．
$f(x)=\lim_{x\to \infty}f(x)$ として定義すると、
$f(x)$ は、$\{f_n\}$ の収束先であり、連続関数となります．
なので、この位相に関して、$C(X)$ は完備距離空間ということになります．
$C(X)$は位相空間だけでなく、線形空間として、や環の構造を持ちます．
バナッハ環
定義(バナッハ環)
$R$ が実数、もしくは、複素数上の結合的多元環(もしくは結合代数)であるとする．
つまり、$x,y,z\in R$ かつ $\lambda\in {\mathbb R},{\mathbb C}$ とするとき、
$(xy)z=x(yz)$, $x(y+z)=xy+xz$, $(x+y)z=xy+yz$, $\lambda(xy)=(\lambda x)y=x(\lambda y)$ を満たすとする．
また、$R$ は完備なノルム(通常バナッハ空間という)、$||\cdot||$ が存在するとする．
つまり, $x\in R$ に対して、
$||x||\ge 0$ かつ、$||x||=0$ なら、$x=0$ である．
$||\lambda x||=|\lambda|\cdot ||x||$ 、$||x+y||\le ||x||+||y||$ が成り立つ．
このとき、
$$||xy||\le ||x||\cdot||y||$$
が成り立つ．
つまり、バナッハ環とは、実数、複素数上の結合代数がバナッハ空間であるとき、
$||xy||\le ||x||\cdot||y||$ を満たすものと言っても良いです．
一般に、バナッハ環は可換とは限りません．
また、$R$ が複素数体上のバナッハ環とします．
$R$ に、$\ast$ という対合写像(i.e., $\ast :R\to R$ があり、$\ast^2=1$ となるもの)が存在し、
$||a^\ast||=||a||$ と、$(ab)^\ast=b^\ast a^\ast$ が成り立つ時、バナッハ$\ast$-環といい、
さらに、$||a^\ast a||=||a||^2$ が成り立つとき、$R$ を$C^\ast$環といいます．
$C^\ast$環は、現在、解析学の作用素環という分野の中心的研究分野です．
私は専門では有りませんので、詳しいことはここでは書けませんが....
下の意味で、$C^\ast$環は位相空間の代数化と見做すことができます．
局所コンパクト空間の複素数値連続関数環(無限遠で $0$ に収束するような空間)は自然に$C^\ast$環となりますが、
以下のように逆も成り立ちます．
定理(Gel'fand)
可換$C^\ast$環は、ある局所コンパクト空間の連続関数環となる．
ようするに、可換$C^\ast$環の研究は、局所コンパクト空間の研究と一致すると
言えます．ただ、その手法は位相空間そのものではなく、環上の解析学となります．
また、$C^\ast$環も非可換なものが存在しますが、その環に対してどのような空間が
対応するのか？ということを考える分野は非可換幾何と言われています．
上のGel’fandの定理の証明の中で重要なのは下の、ストーン-ワイエルシュトラスの定理です．
ここで証明をするのは大変なので、定理だけ述べておきます．
定理(ストーン-ワイエルシュトラス)
$X$ をコンパクト空間とし、$S$ を $X$ 上の連続関数全体 $C(X)$ の部分多元環とする．
このとき、$S$ が以下の2つを満たすなら $S$ は $C(X)$ の中で稠密でである．
(1) $S$ は $X$ の任意の 2 点を分離する．つまり、$X$ の相異なる任意の 2 点 $x, y$ に対して、$f(x)\neq f(y)$ を満たすような $f\in C(X)$ が存在する．
(2) $S$ は $X$ の各点で消滅しない．つまり、$X$ の任意の $x$ に対して、ある、$f\in C(X)$ が存在して、$f(x)\neq 0$ となる．
この定理は、解析学でよく知られている、連続関数の多項式近似定理(ワイエルシュトラス)
の一般化といえます．
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